Действия над степенями. Комбинаторный подсчет числа слов. Беседа «Оцениваем рост степени»

Степени

Действия над степенями. Комбинаторный подсчет числа слов. Беседа «Оцениваем рост степени».
В 7 классе начинается систематическое использование понятия степени и подготовка к расширению этого понятия, начиная со степени с натуральным показателем. В тему включены основные сведения о действиях со степенями с натуральным показателем. При делении степеней вводятся нулевой и целый отрицательный показатели, однако отработка этих понятий откладывается на более поздний срок.

В соответствии с алгебраической направленностью курса никаких ограничений на основание степени не накладывается – то, что можно перемножать, то можно и возводить в степень. Разумеется, деление на нуль и его степени невозможно, поэтому 0^k не определяется для k £ 0, но на этом специальное внимание не акцентируется.

При решении задач в этой теме стоит выделить следующие теоретические моменты.

1. Разложение целых чисел на простые множители. Этот материал, знакомый учащимся из арифметики, выступает в параграфе в новом обличье: многие свойства целых чисел связаны с их представлением в виде произведения степеней простых чисел. При работе с заданиями на целые числа будут, разумеется, отрабатываться навыки действий со степенями, но одновременно расширятся знания о целых числах.

2. Стандартная запись чисел. Хотя этому вопросу будет посвящен специальный урок в 8 классе, уже сейчас полезно активно использовать стандартную запись, особенно при решении задач, где вычисления делаются приближенно. Разговоры об оценке погрешности здесь еще не ведутся.

3. Рост степени и неравенства. Эта типично «функциональная» сторона степени тем не менее является крайне важной и должна быть затронута здесь еще до систематического изучения свойств неравенств.

4. Позиционные системы счисления.

5. Число размещений с повторениями. С помощью степеней записывается одна из важнейших формул комбинаторики – число расстановок на k местах объектов из множества в n предметов с независимой расстановкой (n^k). Разумеется, всех этих слов и названий произносить на уроке не надо, но принцип подсчета числа таких расстановок должен быть отработан тщательно.

Как уже было отмечено ранее, вся содержательная линия, связанная с дискретной математикой, изложена в учебниках алгебры 7–9 классов не в виде одной или нескольких тем, а привязана к основным стандартным темам программы. При этом в комбинаторных задачах используется только что пройденный материал.

Центральное рассуждение урока по комбинаторике – подсчет числа событий при их независимом повторении – является необычайно важным. Оно будет повторяться в дальнейшем многократно. Самое опасное – приучить школьников пользоваться готовой формулой. Они должны быть готовы к тому, что в ответе появится степень, но в каждой задаче они должны рассуждать с самого начала.

Обратите внимание на слово независимые события. Его можно пока оставить без должного внимания и вернуться к нему, когда появятся ограничения, хотя какие-то ограничения встречаются и в этом уроке (например, чередование гласных и согласных, четности и т. п.). Можно предложить ученикам привести примеры независимых и зависимых событий при повторении.

Примерное планирование изучения темы.

На изучение этой темы отводится

1 вариант :12 уроков (при 102 уроках по алгебре, отведенных по учебному плану);

2 вариант: 14 уроков ( при 119 уроках по учебному плану, отведенных на изучение алгебры);

3 вариант: 14 уроков (при 136 уроках, отведенных на изучение алгебры, по учебному плану)

№ п/п	Содержание уроков	1 вариант	2 вариант	3 вариант
1	Понятие степени. Действия над степенями	6	8	8
2	Комбинаторный подсчет числа слов	2	2	2
3	Беседа «Оцениваем рост степени»	1	1	1
4	Исследовательская работа	2	2	2
5	Контрольная работа	1	1	1