Модель колеса

Казалось бы, что может быть проще колеса? Всем нам оно знакомо и кажется понятным. Однако если рассмотреть его внимательно, да еще с использованием математики, то выяснится, что это древнее изобретение человечества имеет некоторые тайны. Кроме того, оказывается, что его модель может быть применена к объекту, который весьма отличается от колеса как по внешнему виду, так и по некоторым свойствам. И модель объяснит эти странные свойства!

1. Постановка цели моделирования

Цель моделирования — исследовать законы качения колеса.

2. Анализ объекта моделирования

Колесо катится по ровной горизонтальной поверхности. Для начала нас интересует траектория точки, находящейся на боковой поверхности колеса.

3. Анализ свойств объекта с точки зрения цели моделирования

Колесо представляет собой плоский диск, имеющий форму цилиндра. С точки зрения цели моделирования можно считать несущественной толщину колеса. Будем полагать, что колесо сплошное, жесткое (не сминается под действием сил), идеально круглое, катится равномерно (с постоянной скоростью), без проскальзывания и трения. Для нас существенными параметрами колеса будут: его радиус и скорость перемещения оси колеса в горизонтальном направлении.

4. Выбор формы представления

Модель должна по некоторому математическому описанию (уравнениям) дать нам результат в виде диаграммы в координатах (x, y). Использовать для моделирования будем электронную таблицу Microsoft Excel.

5. Формализация модели

Но начнем, как говорится, с начала. Построим модель катящегося колеса. Для этого используем следующий чертеж (см. рис. 1а).

Рис. 1

Колесо катится вправо без проскальзывания. Скорость качения (т.е. та скорость, с которой перемещается центр колеса) равна V₀. Радиус колеса R₀. Зададим систему координат. Пусть ось абсцисс (x) будет находиться на высоте, на которой находится центр колеса, а ось ординат (y) направлена вверх и находится там, где в начале отсчета времени находится центр колеса. Рассматривать будем точку А, отстоящую от центра колеса на расстоянии r. Движение этой точки разобьем на два — вращение вокруг оси и перемещение вместе с осью колеса. При повороте колеса на угол  координаты точки А будут такими, как показано на рис. 1б. Скорость вращения колеса  связывает скорость качения колеса и его радиус:

(1)

С

той же скоростью вращения связан и угол поворота :

(2)

Т

огда для координат точки А можно записать уравнения:

(3)

Последняя пара уравнений, выражающая координаты одной точки через набор коэффициентов ( r, V₀, ) и параметр t (время), называется уравнением, заданным в параметрической форме, или просто параметрическим уравнением

Наше параметрическое уравнение описывает довольно интересное семейство кривых, так и называемых — параметрическими. Попробуем увидеть их, построив диаграмму с помощью Microsoft Excel.

Зададим параметры. На рис. 2 показана верхняя часть нашей таблицы.

Рис. 2

Значения в ячейках D2, D4 и D5 заданы так, чтобы увидеть кривую, по которой путешествует точка на ободе колеса. В ячейку D3 записали формулу (1), конечно, заменив V₀ и R₀ на соответствующие адреса ячеек.

Вторая часть таблицы с данными показана на рис. 3.

Рис. 3

До каких пор продолжать таблицу вниз? Так как период функции sin() равен 2, то имеет смысл дойти именно до этого числа, дальше все будет повторяться. Число 2 иррациональное, т.е. не может быть выражено десятичной дробью, да еще и с точностью 0,1, поэтому заменим его числом 6,3 и именно до него доведем значения времени в таблице. Получится довольно длинный столбец с данными (64 строчки).

Дальше надо построить диаграмму, показывающую только две координаты. В самом деле, пара ячеек B8 и C8 описывает положение точки в момент времени t = 0. Они и должны показываться на диаграмме. Вид графика показан на рис. 4.

Рис. 4

6. Анализ на непротиворечивость
Проверим результат. Та кривая, что показана на рис. 4, имеет размах по ординате (оси y) от –2 до +2. Действительно, при t = 0 и r = R₀ точка А находится в положении (0, 2), а в момент касания земли — в (0, –1). В этот момент она останавливается и начинает подъем по задней полуокружности колеса. Противоречий не видно. Следует проверить модель при других значениях параметров.
7. Анализ на адекватность
Поменяйте параметр V0 и посмотрите, какие кривые получаются. Например, при V₀ = 10, W = 10, R₀ = 1, r = 1 получается такой график (рис. 5):

Рис. 5

Обратите внимание, что график выглядит не гладким, а угловатым. Картинка искажена. Почему это происходит? Ведь колесо осталось круглым. Происходит это потому, что точки, в которых вычисляется траектория, стоят слишком редко и не попадают на период кривой (он уменьшился в 10 раз). Наша модель стала неадекватной, она не описывает объект с желаемой точностью. Если еще увеличить скорость колеса, то кривая станет еще хуже (рис. 6).

Рис. 6

Можно определить границы адекватности, если исследовать момент, когда кривая перестает повторяться.

Проведите исследование модели и определите границы адекватности модели.

Литература

1. Бешенков С.А., Кузьмина Н.В., Ракитина Е.А. Информатика. Систематический курс. Учебник для 11-го класса гуманитарного профиля / М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2002.

2. Бешенков С.А., Ракитина Е.А. Моделирование и формализация. Методическое пособие. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002.

3. Медведев Л.Н. Швейная машинка “Зингер” и паровоз — не одно и то же, но... / “В мир информатики” № 62 (“Информатика” № 21/2005).

Учащимся

Учителям

Модель колеса