Математические кружки. Разбор заданий

2 глава. Математические кружки.

Разбор заданий

Первый кружок в этой главе «Задачи на построение» размещен в теме 7, после того, как учащиеся познакомились с измерением углов, углами и сторонами треугольников. На данном этапе построение углов можно выполнять с помощью измерений транспортиром, но можно и с помощью циркуля и линейки, это зависит от методических установок учителя и возможностей учащихся. Построения с помощью циркуля и линейки будут рассматриваться в теме 27. Наиболее трудные задания в этом кружке в цикле 3 под цифрами 3) и 4). Остальные - доступны всем учащимся.

Математический кружок «Невозможные пазлы» – это ценный материал для того, чтобы показать значимость теории.

Третий кружок «Разрезание и складывание фигур» – это интересная практическая работа, которая носит занимательный характер. Но ее основная роль – развитие мышления, самостоятельности и творчества учащихся, настойчивости в достижении цели, наряду с закреплением навыков вычисления площадей фигур.
Задачи на построение

Цикл 2. Восстановить треугольник по следующим данным.

1) Даны три точки – середины сторон треугольника.

Обозначим заданные точки M, N, P. Соединим эти точки, получим треугольник MNP. Теперь через каждую вершину этого треугольника проведем прямую, параллельную стороне треугольника, противоположной этой вершине. Обозначим точки пересечения прямых A, B, C. Получим искомый треугольник ABC.

Действительно, в параллелограммах PMNC и AMNP противоположные стороны равны, следовательно, AP = MN = PC, т. е. точка P – середина стороны AС.

Аналогично рассуждая, получим, что M – середина AB, N – середина стороны BС.

2) Треугольник равнобедренный. Дано: вершина, прямая, на которой лежит основание, и длина боковой стороны.

Проводим окружность с центром в вершине B, радиус которой равен длине боковой стороны. Если данные выбраны правильно, то окружность пересечет прямую, на которой лежит основание, в двух точках A и C. Соединим эти точки с вершиной. Получим треугольник ABC.

Полученный треугольник – равнобедренный, так как AB = CB по построению и удовлетворяет всем требованиям условия задачи.

Но может оказаться, что такой треугольник построить нельзя, если окружность не пересечет прямую.

3) Треугольник равнобедренный. Дано: вершина, середины основания и его длина.

Вершину B соединим с серединой основания D. Через точку D проведем прямую, перпендикулярную к отрезку BD и отложим в обе стороны от точки D отрезки, равные половине длины основания DA и DC. Точки A и C соединим с точкой B. Треугольник ABC построен.

По построению BD – ось симметрии треугольника ABC, поэтому ABC – равнобедренный.

4) Треугольник равносторонний. Дана одна его вершина и центр.

Строим окружность с центром в точке – заданном центре треугольника, и радиусом, равным расстоянию от точки до вершины треугольника. Делим окружность на 3 равные части, соединяем точки деления. Получим равносторонний треугольник, так как равенство дуг обеспечивает равенство хорд.
Цикл 3. Построить равнобедренный треугольник по следующим данным.

1) Известна его боковая сторона и угол при основании.

Выбираем точку A и проводим какой-нибудь луч (например, горизонтальный), на котором будет находиться основание треугольника. Строим угол, вершина которого находится в точке A, а одна сторона лежит на этом луче. На другой стороне угла отложим от точки A отрезок, длина которого равна боковой стороне, получим точку B. Теперь построим окружность с центром в точке B, радиус которой равен длине боковой стороны. Окружность пересечет основание в точках A и С. Требуемый треугольник ABC построен.

Построенный треугольник удовлетворяет всем требованиям: он равнобедренный, так как AB = BC, боковые стороны имеют заданную длину и угол при основании также заданный.

2) Известно основание и отрезок, соединяющий вершину с серединой основания.

Основание AC делим на две равные части. Через середину отрезка AC – точку O – проводим луч, перпендикулярный AC. На нем откладываем отрезок OB, равный заданному расстоянию от вершины треугольника до середины основания.

Треугольник ABC – равнобедренный, так как по построению OB – ось симметрии ABC.

3) Известно основание и угол при вершине.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны (180 – ) : 2, где  – угол при вершине.

Строим угол A, равный (180 – ) : 2, на одной его стороне откладываем отрезок, равный основанию AC. На луче CA строим угол с вершиной в точке C, равный (180 – ) : 2. Другие стороны углов пересекутся в точке B.

Так как в треугольнике углы при основании равны, то он равнобедренный. Все условия задачи выполнены.

4) Известен периметр и угол при основании.

В предложенном нами построении применяется известный метод построения – метод спрямления. PQ – отрезок, равный заданному периметру треугольника. Строим равные углы 1 и 2 с вершинами в точках P и Q соответственно.

Каждый из них равен  : 2, где  – заданный угол при основании. B – точка пересечения сторон углов 1 и 2.

Строим такие же углы 3 и 4 с вершинами в точке B на сторонах BP и BQ. Получим треугольник ABC – равнобедренный, его периметр равен отрезку PQ, а углы BAC и BCA = 180 – (180 – ) = .

Цикл 4. Забавные построения.

1) Постройте на плоскости шесть точек так, чтобы любые три из них образовывали равнобедренный треугольник.

Возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке A. Разделим окружность на пять равных частей.

Описание деления окружности на 5 частей:

– Проводим окружность с центром в точке O. – Проводим диаметр AB. – Восстанавливаем перпендикуляр CD к прямой AB в точке O. Для этого достаточно провести окружности с центрами в точках A и B с одинаковыми радиусами и провести прямую через точки пересечения этих окружностей.

– Аналогичным построением разделим отрезок AO точкой E пополам.

– Проведем окружность из точки E радиусом CE и найдем точку F пересечения с отрезком AB.

– CF — искомый отрезок, являющийся стороной вписанного пятиугольника.

2) Постройте четыре треугольника так, чтобы любые два из них имели часть границы общей.

3) Постройте замкнутую шестизвенную ломаную так, чтобы она была самопересекающейся и пересекала каждое звено ровно один раз.


Невозможные пазлы

Все ошибки основаны на неправильных рисунках, так как гипотенузы треугольников не будут лежать на одной прямой.
Разрезание и складывание фигур

Круги

Площадь закрашенной части равна площади незакрашенной части. Чтобы это увидеть, достаточно для каждой незакрашенной части найти закрашенную часть той же площади.

Ответ: 30 см².

Квадраты

Ответ: не зависит.