Математические кружки. Разбор заданий Глава 5 «Делимость» Три математических кружка в этой главе – «Последняя цифра»

Математические кружки. Разбор заданий

Глава 5 «Делимость»
Три математических кружка в этой главе – «Последняя цифра», «Циклы» и «Признаки делимости» – направлены на знакомство со свойствами чисел и методами их изучения. Содержание заданий кружков расширяет, углубляет знания, полученные при изучении тем. Задания кружков не является обязательным материалом для изучения, решение значительного количества их требует хорошего владения математическим аппаратом, навыков логического и абстрактного мышления. Формулировки заданий яркие, четкие, поэтому сами задания могут вызвать интерес даже у тех учащихся, у которых есть проблемы с математикой.

Последняя цифра

Цикл 1. Вводный

1. 4; 1.

2. Будем вычислять степени числа 3 до тех пор, пока последняя цифра не начнет повторяться: 3¹ = 3; 3² = 9; 3³ = 27. У следующей, четвертой степени, последняя цифра уже будет равна 1. При возведении в степень (умножении) чисел, оканчивающихся на 1, будут получаться числа, у которых последняя цифра 1. 13³¹ = (13⁴)⁷  13³.

Ответ: 7.

4. 1.

5. 7.

Цикл 2. Квадраты

6. Остаток 0 от деления не принимаем в расчет.

Правило: при делении квадрата числа остаток равен квадрату остатка от деления самого числа.

При делении числа на 3 – возможные остатки: 1 и 2. Возводим их в квадрат и делим на 3, получим остаток 1.

Далее рассуждаем аналогично.

Деление на 4. При делении самого числа на 4 – возможные остатки 1, 2, 3. Возводим их в квадрат и делим на 4, возможный остаток: 1.

Деление на 5. Ответ: 1 и 4.

Деление на 6. Ответ: 1, 3, 4.

Деление на 7. Ответ: 1, 2, 4.

Деление на 8. Ответ: 1, 4.

Деление на 9. Ответ: 1, 4, 7.

7. Очевидно, что сумма квадратов двух нечетных чисел четна, и если она является квадратом другого числа, то она кратна 4. Находим остаток от деления суммы квадратов двух нечетных чисел на 4. Он равен 2, так как квадрат любого нечетного числа при делении на 4 дает остаток 1. Сумма не кратна 4.

Ответ: не может.

8. Если это число квадрат целого числа, то последней цифрой не может быть ни 2, ни 3, следовательно, последней цифрой является нуль, но это означает, что число делится на 10, а тогда оно делится на 100. Разделим наше число на 100. Частное тоже должно быть полным квадратом. Рассуждая так же, мы получим, что оно должно оканчиваться двумя нулями. Опять разделим на 100. Проделаем это 50 раз, получим число, состоящее из 2 и 3.

Ответ: не может.

9. Для доказательства утверждений используем следующие знания: первое – результаты исследования задачи 6; второе – свойство квадратов чисел – они не могут оканчиваться цифрами 2, 3, 7 и 8; третье – известное свойство пифагоровой тройки чисел – она удовлетворяет равенству a² + b² = c².

1) Произведение чисел abc делится на 2 при условии, если хотя бы одно из них четное. Перебирая возможные варианты четности и нечетности чисел a, b, c, получим, что при любом варианте хотя бы одно из них четное (ч + ч = ч; ч + н = н; н + н = ч).

2) Делимость на 3. Предположим, что abc не делится на 3, тогда, ни одно из чисел не делится на 3. Числа могут при делении на 3 иметь остатки 1 или 2. Сумма их квадратов при делении на 3 имеет остаток 2, но сумма их квадратов, по условию, есть тоже квадрат, а этого быть не может (см. задачу 6).

3) Произведение чисел abc делится на 4 при условии, что хотя бы одно из них кратно 4 или два числа кратны 2. Заметим, что если число делится на 2, то его квадрат делится на 4. При делении квадрата числа на 4 возможный остаток равен 0 или 1.

Возможные варианты остатков при делении на 4 чисел a и b:

(0; 0) – все числа четные, произведение abc делится на 4;

(1; 1) – такого варианта быть не может, так как тогда получится, что c² при делении на 4 дает остаток 2, что невозможно;

(0; 1) или (1; 0) – a или b четное, а c² при делении на 4 дает остаток 1.

Докажем тогда, что четное a или b кратно 4. В этом случае равенство a² + b² = c² можно записать так: , т. е. p + t = k. Если p – нечетное, а t и k – нечетные по условию, то равенство неверно, значит, p кратно 2, тогда a кратно 4.

4) Произведение чисел abc делится на 5, если одно из них делится на 5. При делении квадратов чисел на 5 возможные остатки 0, 1 или 4.

Рассмотрим варианты остатков от деления a², b² на 5:

(0;1), (0; 4) или (1; 0), (0; 4), (0; 0) – значит, одно из них кратно 5.

(1; 1), (4; 4) – такой случай невозможен, так как получится, что c² при делении на 5 имеет остаток 2 или 3.

Остается вариант (1; 4) или (4; 1). В этом случае c² при делении на 5 имеет остаток 0, что означает, что c кратно 5.

10. При делении на 9 квадрата числа возможные остатки 0, 1 или 4 (см. задачу 6).

Для того чтобы сумма квадратов трех чисел делилась на 9, они должны иметь при делении остатки 0; 0; 0 или 1; 1; 7 или 1; 4; 4. Во всех случаях разность квадратов, имеющих одинаковые остатки, делится на 9.

Циклы

1. Обозначим это 2¹⁰⁰⁰  6.

3²¹ = 3²⁰  3  1  3 = 3; 5¹⁰  5; 6¹⁰⁰⁰  6; 8⁷²  6; 2009²⁰⁰⁹ = 2009²⁰⁰⁸  2009  1  9 = 9. 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰  6 + 1 = 7.

Ответ: 6; 3; 5; 6; 6: 9; 7.

2. 7¹⁰⁰¹ – 7¹⁰¹ = 7¹⁰⁰⁰  7 – 7¹⁰⁰  7  7 – 7 = 0. У разности последняя цифра равна 0, следовательно, она делится на 10.

3. 43⁴³ – 17¹⁷ = 43⁴⁰  43³ – 7¹⁶  7  1 – 1 = 0 (и у числа 3, и у числа 7 длина цикла равна 4 и последняя цифра у этих чисел равна 1).

4. Вычислим остаток от деления числа 7⁷ на 4. Остаток от деления 7 на 4 равен 3, следовательно, остаток от деления числа 7⁷ на 4 равен остатку от деления 3⁷ на 4. 3⁷ = 3⁴  3³  1  3 = 3, поэтому число = 7^4k + 3 = 7^4k  7³  1  3 = 3. Числа имеют равные остатки, следовательно, их разность делится на 10.

5. Остатки от деления степеней 7 на 100 равны 7, 49, 43, 1, т. е. длина цикла равна 4. = 7^4k + 3 = 7^4k  7³  1  43 = 43; 7⁷ = 7⁴  7³  1  43 = 43.

У разности этих чисел последние две цифры 00, следовательно, число делится на 100.

6. Для степеней числа 2 длина цикла равна 3; для степеней числа 3 длина цикла равна 6; для степеней числа 4 длина цикла равна 3; для степеней числа 5 длина цикла равна 6.

Ответ: 6.

7. Число 43¹⁰¹ + 23¹⁰¹, очевидно, четное, следовательно, оно делится 2.

Подсчитаем остаток от деления на 3. Остаток от деления 43 на 3 равен 1, следовательно, остаток от деления 43¹⁰¹ на 3 равен 1. Остаток от деления числа 23 на 3 равен 2, длина цикла степеней 2 при делении на 3 равен 2, следовательно, остаток от деления 23¹⁰¹ на 3 равен 2. Складываем остатки обоих слагаемых, получаем 2 + 1 = 3 – остаток от деления на 3 равен 0.

Проделаем то же самое с числом 11. Остаток от деления 43 на 11 равен 10, длина цикла степеней 10 при делении на 11 равна 2. Следовательно, остаток от деления числа 43¹⁰¹ = 43¹⁰¹  43 на 11 равен остатку от деления числа 43 на 11, т. е. 10. Остаток от деления числа 23 на 11 равен 1, следовательно, остаток от деления числа 23¹⁰¹ на 11 равен также 1. Теперь можно вычислить сумму остатков от деления на 11 суммы 43¹⁰¹ + 23¹⁰¹. Она равна 10 + 1 = 11, т. е. число делится на 11.

Итак мы доказали, что число 43¹⁰¹ + 23¹⁰¹ делится на 2, 3 и 11, следовательно, оно делится на 66.

Признаки делимости

1. Пусть сумма цифр числа 2²⁰⁰⁹ равна S. Тогда числа 2²⁰⁰⁹ и S имеют одинаковые остатки от деления на 9. Сложим все цифры, составляющие S, получим число S₁, которое имеет тот же остаток при делении на 9. Продолжим этот процесс, пока не получим однозначное число, которое при делении на 9 имеет тот же остаток, что и 2²⁰⁰⁹.

Длина цикла степеней двойки при делении на 9 равна 6, следовательно, 2²⁰⁰⁹ = 2^{6  334 + 5}  1  5 = 5.

Ответ: 5.

2. Запишем четырехзначное число как a₁  10³ + a₂  10² + a₃  10 + a₄. Тогда

a₁  10³ + a₂  10² + a₃  10 + a₄ + a₄  10³ + a₃  10² + a₂  10 + a₁ = = (a₁ + a₄)  10³ + (a₂ + a₃)  10² + (a₂ + a₃)  10 + (a₁ + a₄) = = (a₁ + a₄)  (10³ + 1) + (a₂ + a₃)  (10² + 10) = 1001  (a₁ + a₄) + 110  (a₂ + a₃).

1001 и 110 делятся на 11, следовательно, все число делится на 11.

3. Возьмем, например, число, которое оканчивается на 125. Это число делится на 125. Придумаем любые 97 цифр, сумма которых равна 125 – (1 + 2 + 5) =
= 117. Можно взять, например, 77 единиц и 20 двоек. Мы получим число, сумма цифр которого 125, и оно делится на 125.

4. Если сумма трех чисел делится на 6, то она четная и поэтому либо все три числа четные, либо одно из них. Кубы четных чисел – четные, а нечетных – нечетные, поэтому среди кубов также либо все числа четные, либо одно из них, а тогда сумма кубов четная и делится на 2. Сумма чисел делится на 3, поэтому остатки от деления каждого числа на 3 могут быть (0; 0; 0) – все числа делятся на 3; (0; 1; 2) – с точностью до перестановок, либо (1; 1; 1), либо (2; 2; 2). Но тогда и кубы этих чисел имеют такие же остатки, а следовательно, их сумма делится на 3. Итак, сумма кубов делится на 3 и на 2, значит, делится на 6.

5. Запишем пятизначное число как x = a₁  10⁴ + a₂  10³ + a₃  10² + a₄  10 + a₅.

Переставим цифры по кругу: y = a₂  10⁴ + a₃  10³ + a₄  10² + a₅  10 + a₁.

Вычислим x + 4y = a₁ (10⁴ + 4) + a₂ (4  10⁴  10³) + a₃ (4  10³ + 10²) + + a₄ (4  10² + 10) + a₅  41 = 10004a₁ + 41000a₂ + 4100a₃ + 410a₄ + 41a₅.

Сумма x + 4y делится на 41, x делится на 41, значит, 4y делится на 41, откуда следует, что y делится на 41.