«Геометрические построения и измерения» Математический кружок. Разбор заданий

Глава 7 «Геометрические построения и измерения»

Математический кружок. Разбор заданий

Два математических кружка – «Кратчайший путь» и «Теорема Пика» – посвящены знакомству учащихся с приемами нахождения наименьшего расстояния между точками и вычисления площади фигуры, изображенной на бумаге в клетку.

Первый кружок носит занимательный характер, обоснование выбора возможно на теоретическом уровне, но достаточно ограничиться проверкой на частных примерах, практически.

Второй кружок, знакомя с новым методом вычисления площади, дает возможность закрепить навыки вычисления площади фигуры разбиением на прямоугольники и прямоугольные треугольники.

Кратчайший путь

1. Ответ: точка пересечения диагоналей четырехугольника.

2. Изобразим реку в виде прямой l.

Построим точку С, симметричную точке В относительно прямой l и соединим точки А и С. Прямая АС пересечет прямую l в точке D, ломаная ADB и будет кратчайшим расстоянием.

3. Обозначим домик рыбака точкой А.

Построим точки В и С, симметричные точке А относительно сторон угла и проведем прямую BС, которая пересечет стороны угла в точках D и E. Ломаная ADEA будет искомой, так как путь рыбака от дома до удочек и обратно равен длине ломаной BDEC, которая будет наименьшей, если ломаная превратится в прямую.

4. Обозначим деревни точками А и В.

Концы моста CD должны находиться в таких точках C и D, чтобы расстояние AC + DB было наименьшим (длина моста не зависит от того, где он построен). Сдвинем одну из точек, например, В, на расстояние, равное ширине реки, получим точку Е, соединим точки А и Е отрезком, который пересечет берег реки в некоторой точке.

Это и будет один конец моста – требуемая точка C.

Действительно, если построить мост в другой точке F, то длина ломаной АFE больше отрезка АE, который равен сумме расстояний от точек А и В до моста.

5. Мяч нужно направить под таким углом, чтобы угол падения был равен углу отражения.

Если построить ломаную АОВ (А, В – точки, в которых лежат два шара, точка О, на которую нужно направить шар) кратчайшей длины, то тем самым точка О будет найдена. Так как шар можно направить в два противоположных борта, то нужно выбрать тот, до которого сумма расстояний обоих шаров меньше.

6. Спроектируем точки на общее ребро и отрезок между проекциями разделим в отношении, равном расстоянию точек от ребра.

Это будет вершиной ломаной наименьшей длины. Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать развертку куба и соединить точки прямой. На поверхности куба это будет построенная ломаная.