Обыкновенные дроби

Глава 6

Обыкновенные дроби.

Математические кружки. Разбор заданий

Четыре математических кружка в этой главе – «Целая часть числа», «Многоэтажные дроби», «Цепные дроби» и «Разложение дробей» – расширяют представления учащихся о видах дробей, их преобразованиях, истории и применении.

Кружок «Целая часть числа» содержит много нового: малознакомое понятие, обозначение, трудный для осмысления алгоритм нахождения числа одинаковых множителей в n!. Но следует отметить, что задания под цифрами 1–4а) доступны большинству учащихся. Основная трудность при выполнении этих заданий, скорее всего, будет состоять в восприятии символьной записи целой части числа: [a].

Два следующих кружка знакомят с новыми видами дробей из «настоящей» математики и их применением. Выполнение заданий этих кружков является также хорошей тренировкой в закреплении навыков действий с обыкновенными дробями.

Последний в этой главе кружок «Разложение дробей» содержит несколько частей. Первое задание этого кружка дает представление о преобразованиях дробей и работе с ними в древности; следующие три знакомят с разложением дроби в сумму дробей с числителем 1 по готовому правилу, что немаловажно для развития у учащихся навыков работы с инструкцией. Пятое задание в этом кружке демонстрирует, как находить общие закономерности на частных примерах.

Целая часть числа

1. Ответ: [33]; [4]; [4]; [3].

2. а) [a + b] = [a] + [b] – возможно, например, [90 + 5] = [90] + [5], [8,2 + 5,4] = [13,6] = 13; [8,2] = 8, [5,4] = 5  [8,2] + [5,4] = 13.

б) [a + b] < [a] + [b] – невозможно, так как если a = [a] + , b = [b] + , то [a + b] = [a + b +  + ]. Если  +  < 1, то [a + b] = [a] + [b], если  +  > 1, то [a + b] > [a] + [b].

в) [a + b] > [a] + [b] – возможно, например, [8,8 + 5,4] = [14,6] = 14; [8,8] = 8, [5,4] = 5  [8,8] + [5,4] = 13.

3. а) Ответ: 14. б) Ответ: 20. в) Ответ: 11. г) Ответ:

.

4. а) Ответ: 48.

б) Число 2 может быть множителем в степенях 1, 2, 3, 4 и 5. Таких множителей будет

= 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97.

Ответ:97.

Число 5 может быть множителем в степенях 1 и 2. Таких чисел

= = 20 + 4 = 24.

Ответ: 24.

Число 7 может быть множителем в степенях 1 и 2. Таких чисел

= = 14 + 2 = 16.

Ответ: 16.

Число 11 может быть множителем только в первой степени. Таких чисел 9.

Ответ: 9.

в) Ответ: 53; 59: 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.

Многоэтажные дроби

Цикл 1. Тренировка

1. 1)

;

; 3)

; 4)

.

Цикл 2. Цепные дроби

2. Ответ: 1)

; 2)

; 3)

.

3. Разложите в цепные дроби: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

1)

.

2)

.

3)

= =

.

4)

= =

.

Цепные дроби

Цикл 1

1. Приведите цепные дроби к виду обыкновенных дробей.

1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

Запишите подряд получившиеся числа, они являются первыми членами некоторой последовательности: 2; … … .

Ответ: 1) 2; 2)

; 3)

; 4)

.

2. Найдите разности между соседними числами этой последовательности (вычитая из большего числа меньшее).

Ответ:

;

.

3. Запишите пятый член последовательности и подумайте над тем, как он связан с предыдущим.

Ответ:

. Числитель равен сумме числителя и знаменателя предыдущей дроби, а знаменатель – числителю предыдущей дроби.

Цикл 2

5. Постройте по этому принципу следующие 5 членов последовательности.

Ответ:

;

.

6. Сформулируйте правило, по которому строятся числители и знаменатели получающихся дробей. Запишите последовательность целых чисел, стоящих в числителе (или знаменателе – они отличаются только первым членом).

Числа этой последовательности называются числами Фибоначчи.

Ответ: 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89…

Разложение дробей

1. 1) Ответ: