Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины: Математические модели и методы оптимального управления

НОУ ВПО «ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Наименование дисциплины: Математические модели и методы оптимального управления

Рекомендуется для направления подготовки

080100.62 – «Экономика»

Квалификации (степени) выпускника – бакалавр экономики

Москва

2011
Аннотация

программы учебной дисциплины

«Математические модели и методы оптимального управления»
1. Цели и задачи дисциплины: развитие системного мышления студентов путем детального анализа подходов к математическому моделированию и сравнительного анализа различных типов моделей; ознакомление студентов с математическими свойствами моделей и методов оптимизации, используемых при анализе и решении широкого спектра экономических и управленческих задач.

2. Место дисциплины в структуре ООП: учебная дисциплина «Математические модели и методы оптимального управления» входит в вариативную часть цикла общих математических и естественнонаучных дисциплин (дисциплины по выбору студентов); ее изучение опирается на предшествующие дисциплины «Математический анализ», «Линейная алгебра», «Теория вероятностей и математическая статистика». Данная дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: «Эконометрика», «Институциональная экономика», «Экономика общественного сектора» и «Теория отраслевых рынков».
3. Требования к результатам освоения дисциплины: процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих профессиональных компетенций: ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-10, ПК-14, ПК-15..

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: основные понятия, принципы и математические методы анализа решений.

Уметь: выбирать рациональные варианты действий в практических задачах принятия решений с использованием экономико-математических моделей.

Владеть: информацией о проблематике и перспективах развития теории принятия решений как одного из важнейших направлений, связанных с созданием и внедрением в экономическую теорию и практику новых информационных технологий.
Объем, содержание, разделы, учебно-методическое и информационно-материальное обеспечение дисциплины
4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы	Всего часов/ зачетных единиц	Семестры
		3	4
1	2	3	4
Аудиторные занятия (всего)	36/1	36/1	-
В том числе:	-	-	-
Лекции	16/0,4	16/0,4	-
Семинары (практические занятия)	20/0,6	20/0,6	-
Самостоятельная работа (всего)	36/1	36/1	-
В том числе:	-	-	-
Самостоятельная работа	24/0,7	24/0,7	-
Выполнение домашних заданий	12/0,3	12/0,3	-
Вид промежуточной и итоговой аттестации	-	зачет	-
Общая трудоемкость в часах в зачетных единицах	72	72	-
	2	2	-

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов (тем) дисциплины

№ п/п	Наименование раздела (темы) дисциплины	Содержание раздела (темы)
1	2	3
1	Введение. Математические модели и оптимизация в экономике. Общее представ­ление о статических задачах оптимизации.	Математические модели в экономике. Основные примеры: модели поведения потребителя и планирование производства в фирме, использования оптимизации для идентификации параметров математической модели. Основные этапы и принципы построения математической модели. Общая классификация математических моделей, используемых для решения экономических задач. Рациональное поведение. Использование оптимизации как основного способа описания рационального поведения. Принятие экономических решений. Лицо, принимающее решение (ЛПР). Теория оптимизации и методы выбора экономических решений. Применение оптимизации в системах поддержки принятия решений. Основные представления о статической задаче оптимизации. Инструментальные (управляющие) переменные и параметры математической модели. Область (множество) допустимых решений (ОДР). Критерий выбора решения и целевая функция. Линии уровня целевой функции. Общая формулировка детерминированной статической задачи оптимизации. Неопределенность в параметрах задачи (модели) и ее влияние на решение. Глобальный максимум и локальные максимумы. Достаточное условие существования глобального максимума (теорема Вейерштрасса). Причины отсутствия оптимального решения. Максимумы во внутренних и граничных точках ОДР.
2	Задача нелинейного программирования.	Общая постановка задачи нелинейного программирования (НП). Задача НП и классическая задача условной оптимизации. Условия Куна-Таккера в геометрической форме как необходимые условия локальной оптимальности. Условия Куна-Таккера в алгебраической форме. Функция Лагранжа для задачи НП. Достаточное условие оптимальности в общей задаче НП. Понятие о выпуклой задаче оптимизации. Выпуклые множества. Примеры выпуклых множеств. Опорная гиперплоскость. Разделяющая гиперплоскость. Теорема об отделимости выпуклых множеств. Выпуклые и вогнутые функции. Строгая выпуклость.

1	2	3
		Надграфик выпуклой функции. Условия выпуклости и вогнутости функций. Свойства выпуклых функций. Теоремы о локальном максимуме в выпуклом случае. Общая формулировка выпуклой задачи НП. Теорема Куна-Таккера. Условия Куна-Таккера как необходимые и достаточные условия оптимальности. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа. Зависимость решения от параметров.
3	Задача линейного программирования.	Общая постановка задачи линейного программирования. Примеры экономических задач, решаемых с помощью составления и расчета линейных математических моделей. Каноническая и стандартная формы представления задачи ЛП и сведение к ним. Свойства ОДР и оптимального решения в задаче ЛП. Основные представления о методах решения задач ЛП, основанных на направленном переборе вершин ОДР (симплекс-метод, графический метод и др.) Двойственность в линейном программировании. Виды двойственных задач и правила составления их математических моделей. Теоремы двойственности и их применение. Интерпретация двойственных управляющих переменных. Экономический анализ задач ЛП с использованием теории двойственности. Некоторые специальные задачи линейного программирования: транс­портная, производственно-транспортная, задача о назначении и методы их решения.
4	Компьютерные и специальные методы оптимизации.	Градиентные методы в задаче безусловной оптимизации. Метод Ньютона. Метод градиентного спуска. Методы штрафных функций в задачах линейного и нелинейного программирования. Линейное программирование в среде MS Excel. Типовые программы компьютерного решения задач линейного программирования. Основные представления о методах оптимизации в невыпуклом случае. Общая постановка целочисленной задачи линейного программирования. Основные методы решения целочисленных задач (графический метод, метод ветвей и границ, метод Гомори).
5	Оптимизация в условиях неопределенности.	Задача выбора решений в условиях неопределенности. Основные критерии выбора решений в условиях неопределенности (принцип гарантированного результата, критерий Байеса-Лапласа, критерий Уальда, критерий Сэвиджа, критерий Гурвица).

1	2	3
		Применение принципа гарантирован­ного результата в задачах экономического планирования. Множество допус­ти­­мых гарантирующих программ. Наилучшая гарантирующая программа. Принятие решений при случайных параметрах. Вероятностная информация о параметрах. Принятие решений на основе математического ожидания. Случайность и риск. Матрица рисков. Учет склонности к риску.
6	Основные понятия много­кри­териальной оптимизации.	Происхождение и постановка задачи многокритериальной оптимизации. Множество достижимых критериальных векторов. Доминирование и оптимальность по Парето. Эффективные решения и паретова граница. Теорема Куна-Таккера в выпуклых задачах многокритериальной оптимизации. Основные методы решения задач многокритериальной оптимизации. Методы аппроксимации паретовой границы.
7	Оптимизация динамических систем.	Динамические задачи оптимизации. Примеры: простейшая динамическая модель производства, задача поиска оптимальной производственной программы, задача распределения инвестиций. Многошаговые и непрерывные динамические модели. Понятия управления и состояния в динамических моделях. Задание критерия в динамических задачах оптимизации. Динамическое программирование в многошаговых задачах оптимиза­ции. Принцип оптимальности Беллмана. Функция Беллмана. Уравнение Беллмана в многошаговых задачах оптимизации. Решение задач динамического программирования (на примере задач о замене оборудования и распределения инвестиций).

5.2. Разделы (темы) дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование последующих дисциплин	Номера тем данной дисциплины, необходимых для изучения последующих дисциплин
		1	2	3	4	5	6	7
1	Институциональная эконо­мика	-	-	+	+	-	-	+
2	Теория отраслевых рынков	+	+	-	+	+	+	-
3	Эконометрика	+	+	+	+	+	+	+
4	Экономика общественного сектора	+	+	-	+	+	+	-

5.3. Разделы (темы) дисциплины и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела (темы) дисциплины	Часовой объем занятий по видам
		Лекции	Семинары	СРС	Всего
1	2	3	4	5	6
1	Введение. Математические модели и оптимизация в экономике.	2	-	4	6
2	Задача нелинейного программирования	4	4	8	16
3	Задача линейного программирования	2	4	6	12
4	Компьютерные и специальные методы оптимизации	2	2	2	6
5	Оптимизация в условиях неопределенности	2	2	8	12
6	Основные понятия многокритериальной оптимизации	2	4	4	10
7	Оптимизация динамических систем	2	4	4	10
ИТОГО:		16	20	36	72

6. Лабораторный практикум

№ п/п	№ раздела дисциплины	Наименование лабораторных работ	Трудоемкость (часы/зачетные единицы)
…	не предусмотрен

7. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
не предусмотрена

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) Основная литература

1. 
   Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.: Айрис-Пресс, 2002.
   
2. 
   Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. – М.: Высшая школа, 2001.
   
3. 
   Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. – М.: Дело, 2003.
   
4. 
   Кремер Н.Ш. и др. Исследование операций в экономике. – М.: ЮНИТИ, 1997.
   
5. 
   Налимов В.Н. Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие. – М.: Весть, 2008.
   

б) Дополнительная литература

1. 
   Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике: Учебное пособие. – М.: БЕК, 2002.
   
2. 
   Солодовников А.С., Бабайцев В.А. и др. Математика в экономике: Учебник в 2 частях. – М.: Финансы и статистика, 2005.
   
3. 
   Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. – М.: Финансы и статистика, 2005.
   
4. 
   Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997.
   
5. 
   Васильев Ф.П. Методы оптимизации. – М.: Факториал, 2001.
   
6. 
   Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. – М.: Логос, 2000.
   
7. 
   Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. – М.: Наука, 1982.
   
8. 
   Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения. – М.: Радио и связь, 1992.
   
9. 
   Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. – М.: Наука, 1969.
   

9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Специально оборудованные кабинеты и аудитории: компьютерные классы, аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения.
10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Контроль знаний и умений студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде домашних заданий (частично выполняемых с использованием вычислительной техники) и контрольной работы (60 минут). Итоговый контроль осуществляется в виде зачета, проводимого в тестовой форме.
Для промежуточной оценки качества освоения дисциплины (домашние задания, контрольная работа) можно использовать задачи из раздела практикум учебника: Красс М.С. и Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. – М.: Дело, 2003.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Теоретические вопросы
Тема 1

1. 
   Что такое инструментальные (управляющие) переменные и параметры математической модели? В чем состоит их принципиальное отличие?
   
2. 
   Что такое допустимое множество (область допустимых решений)?
   
3. 
   Что такое критерий оптимизации и целевая функция?
   
4. 
   Что такое линии уровня целевой функции?
   
5. 
   Дайте общую формулировку детерминированной статической задачи оптимизации.
   
6. 
   Назовите основные причины неопределенности в параметрах математической модели и объясните ее влияние на решение.
   
7. 
   Приведите примеры использования математических моделей для описания поведения экономических агентов.
   
8. 
   Что такое рациональное поведение с точки зрения теории оптимизации?
   
9. 
   Как методы оптимизации используются при принятии экономических решений?
   
10. 
    Расскажите об использовании оптимизации в задачах идентификации параметров математических моделей.
    
11. 
    Что такое глобальный максимум критерия и оптимальное решение?
    
12. 
    В чем состоит достаточное условие существования глобального максимума (теорема Вейерштрасса).
    
13. 
    Назовите причины отсутствия оптимального решения.
    
14. 
    Что такое локальный максимум?
    

Тема 2.

15. 
    Сформулируйте общую задачу нелинейного программирования.
    
16. 
    Сформулируйте необходимое условие локального максимума в общей задаче нелинейного программирования.
    
17. 
    Что такое функция Лагранжа?
    
18. 
    Дайте определение седловой точки функции Лагранжа.
    
19. 
    Сформулируйте и докажите достаточное условие оптимальности с помощью функции Лагранжа.
    
20. 
    Сформулируйте условие дополняющей нежесткости и дайте его экономическую интерпретацию.
    
21. 
    Дайте определение выпуклого множества.
    
22. 
    Какими свойствами обладают выпуклые множества?
    
23. 
    Дайте определение опорной гиперплоскости.
    
24. 
    Дайте определение разделяющей гиперплоскости.
    
25. 
    Сформулируйте и проиллюстрируйте теорему об отделимости выпуклых множеств.
    
26. 
    Сформулируйте понятия выпуклой и вогнутой функций.
    
27. 
    Что такое строгая выпуклость функции?
    
28. 
    Что такое надграфик функции? Какими свойствами обладает надграфик выпуклой функции?
    
29. 
    Сформулируйте достаточное условие выпуклости функции.
    
30. 
    Какими свойствами обладают выпуклые функции?
    
31. 
    Сформулируйте выпуклую задачу нелинейного программирования.
    
32. 
    Сформулируйте теорему о глобальном максимуме в выпуклом случае.
    
33. 
    Приведите содержательный пример выпуклой задачи нелинейного программирования.
    
34. 
    Сформулируйте теорему Куна-Таккера.
    
35. 
    Дайте экономическую интерпретацию множителей Лагранжа.
    
36. 
    Как решения выпуклой задачи оптимизации зависят от параметров?
    

Тема 3.

37. 
    Сформулируйте задачу линейного программирования.
    
38. 
    Приведите содержательные примеры задачи линейного программиро­вания.
    
39. 
    Что такое каноническая и стандартная (нормальная) формы записи задачи линейного программирования?
    
40. 
    Какими свойствами обладает допустимое множество (область допустимых решений) задачи линейного программирования?
    
41. 
    Какими свойствами обладает оптимальное решение в задаче линейного программирования?
    
42. 
    Как выглядят функция Лагранжа и условия Куна-Таккера в задаче линейного программирования?
    
43. 
    Сформулируйте двойственную задачу линейного программирования.
    
44. 
    Сформулируйте теоремы двойственности в задаче линейного программирования.
    
45. 
    Дайте интерпретацию двойственных переменных в задаче линейного программирования.
    
46. 
    Расскажите об анализе чувствительности в задаче линейного программирования.
    
47. 
    Перечислите все операции графического метода решения задачи линейного программирования.
    
48. 
    В чем состоят методы решения задач линейного программирования (симплекс-метод и др.)?
    

Тема 4.

49. 
    Какие возможности предоставляет среда MS Excel для решения задач линейного программирования?
    
50. 
    Какие вы знаете программные продукты, предназначенные для решения задач линейного программирования?
    
51. 
    В чем состоят градиентные методы решения задач безусловной оптимизации?
    
52. 
    Как штрафные функции используются при отыскании решения выпуклой задачи линейного программирования?
    
53. 
    Расскажите о методах решения задач линейного программирования, основанных на применении штрафных функций.
    
54. 
    Сформулируйте в общей постановке задачу целочисленного программирования. Приведите содержательные примеры задачи целочисленного программирования.
    
55. 
    Какие методы решения задач целочисленного программирования вам известны?
    

Тема 5.

56. 
    Сформулируйте задачу выбора решений в условиях неопределенности.
    
57. 
    Назовите и сформулируйте основные критерии выбора решений в условиях неопределенности (принцип гарантированного результата, критерий Уальда, критерий Байеса-Лапласа, критерий Сэвиджа, критерий Гурвица).
    
58. 
    Как определяется множество допустимых гарантирующих программ?
    
59. 
    Что такое наилучшая гарантирующая программа?
    
60. 
    Как используется вероятностная информация о параметрах в задачах принятия решений при случайных параметрах?
    
61. 
    В чем состоит принятие решений на основе математического ожидания?
    
62. 
    Как учитывается склонность к риску?
    

Тема 6.

63. 
    Сформулируйте постановку задачи многокритериальной оптимизации.
    
64. 
    Что такое множество достижимых критериальных векторов?
    
65. 
    Дайте определение доминирования и оптимальности по Парето.
    
66. 
    Что такое эффективные решения и паретова граница?
    
67. 
    Назовите основные подходы к построению методов поиска решений в задачах многокритериальной оптимизации.
    

Тема 7.

68. 
    Приведите примеры многошаговых систем в экономике.
    
69. 
    В чем состоят особенности динамических задач оптимизации?
    
70. 
    Приведите содержательные примеры динамической задачи оптимизации.
    
71. 
    Что такое многошаговые динамические модели?
    
72. 
    Что такое непрерывные динамические модели?
    
73. 
    Что такое управление и состояние в динамических моделях?
    
74. 
    Приведите примеры задания критерия в динамических задачах оптимизации.
    
75. 
    В чем состоит метод динамического программирования в многошаговых задачах оптимизации?
    
76. 
    Сформулируйте принцип оптимальности и запишите уравнение Беллмана.
    
77. 
    Как задача оптимизации многошаговой системы сводится к задаче математического программирования?
    

Типовые примеры заданий контрольной работы

1. 
   Найдите и изобразите в декартовой системе координат области выпуклости и вогнутости функции . Выпуклы ли построенные области?
   
2. 
   Приведите к стандартному виду задачу нелинейного программирования, заданную моделью:
   

Изобразите область допустимых решений и линии уровня целевой функции; решите задачу графическим методом. Проверьте, выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения. Пользуясь рисунком, проверьте выполнение условий Куна-Таккера в угловых точках допустимого множества и в точках касания линии уровня целевой функции с границами допустимого множества. Найдите точки, в которых условия Куна-Таккера выполняются, и определите, какие из ограничений являются активными в таких точках. Выпишите условия Куна-Таккера в найденных точках и рассчитайте значения двойственных переменных. Сделайте обоснованный вывод о наличии или отсутствии локального (глобального) максимума во всех рассмотренных точках.

3. 
   Фабрика по производству мороженного может выпускать пять сортов мороженого. При производстве мороженого используются два вида сырья: молоко и наполнители, запасы которых известны. Известны также удельные затраты сырья и цены на единицу продукции каждого сорта. Постройте план производства, обеспечивающий максимум дохода от продаж готовой продукции.
   

4. 
   Подготовлено несколько вариантов стратегий управления фирмой. По каждой стратегии оценен объем прибыли для различных прогнозов будущей ситуации, причем не известно, какой из этих прогнозов реализуется. Вероятности реализации прогнозов также неизвестны. Величины прибыли при реализации каждого из прогнозов приведены в таблице. Найдите наилучшие стратегии по критериям максимакса, Байеса-Лапласа, Сэвиджа, Гурвица, а также наилучшую гарантирующую стратегию и максимальную гарантированную оценку прибыли.
   
5. 
   Рассмотрите задачу целевого программирования, в которой множество допустимых решений задается неравенствами , критерии заданы соотношениями , а целевая точка совпадает с идеальной точкой , отклонение от которой задается функцией . Найдите и изобразите множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z) и идеальную точку . Изобразите линии уровня функции . Решите графически задачу нахождения достижимой точки , дающей минимум отклонения от идеальной точки; запишите аналитически задачу минимизации отклонения от идеальной точки в виде задачи линейного программирования.
   
6. 
   Рассмотрите задачу двухкритериальной максимизации:
   

Найдите Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев:

.

Проверьте, выполняется ли для возникающей задачи нелинейного программирования условия теоремы Вейерштрасса и является ли эта задача задачей выпуклого программирования. Проверьте возможность использования условий Куна-Таккера в данной задаче. Выпишите и проверьте выполнение условий Куна-Таккера в градиентной форме для различных наборов активных ограничений. Найдите решение рассматриваемой задачи нелинейного программирования. Выпишите функцию Лагранжа и условия Куна-Таккера через функцию Лагранжа; проверьте выполнение условий Куна-Таккера в найденном решении.

7. 
   Фирма принимает решение о стратегии замены оборудования. Считается, что замена может осуществляться в начале любого года (практически моментально), причем частичная замена оборудования невозможна. Стоимость приобретения нового оборудования и замены старого оборудования на новое составляет 6 млн. рублей. После замены старое оборудование, эксплуатировавшееся до этого t лет, , реализуется по цене, которая определяется формулой R(t) = 0,2(10 −t) млн. рублей. Известно, что прибыль от реализации продукции, произведенной за год, определяется формулой F(t) = 5 − t млн. рублей. Планирование производится на 7 лет. Определите оптимальную стратегию замены оборудования при условии, что в начальный момент времени имеется оборудование, прослужившее 1 год.
   

8. 
   Динамика фирмы описывается моделью:
   

где – номер года; стоимость основных фондов к началу периода ; суммарные дивиденды с момента 0 до начала периода ; доля дивидендов в период в прибыли фирмы, которая считается равной , причем заданный постоянный параметр.

Величина является управлением в модели, причем .

Пользуясь методом динамического программирования, постройте оптимальное управление, максимизирующее суммарные дивиденды за весь период времени [0, T], т.е. величину . Считать, что .
Рекомендации по использованию информационных технологий:

При выполнении домашнего задания, посвященного решению задач линейного программирования, рекомендуется использовать компьютерную программу, которая позволяет проводить анализ чувствительности. В частности, рекомендуется использование оптимизатора MS Excel.

Настоящую Программу разработал: заведующий кафедрой матема­ти­че­ских и естественнонаучных дисциплин НОУ ВПО «ИМЭС» к.ф.-м.н., доцент Налимов Валерий Николаевич.
Программа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры математи­ческих и естественнонаучных дисциплин НОУ ВПО «ИМЭС» (Протокол № 4 от 14 апреля 2011 года).
Программа утверждена на заседании Ученого Совета НОУ ВПО «ИМЭС» (Протокол № 9 от 28 апреля 2011 года).