Решение некоторых интересных задач, взятых из различных тестов

Предлагаем решение некоторых интересных задач, взятых из различных тестов.
1. На окружности радиуса 1 отмечены точки А, В и С, причем хорда
АВ = 1. Верно ли утверждение?

45) Если угол ACB – острый, то он равен 30º.

46) Если BC = 2, то треугольник ABC – тупоугольный.

47) Если угол BAC  равен 70º, то

48) Наибольшее возможное значение площади треугольника ABC равно .






Задание 45) легкое. Острый угол ACB опирается на дугу 60, градусная мера которой равна центральному углу AOB – угол равностороннего треугольника. Ответ: утверждение верно.

Задание 46). Ответ очевиден. Радиус окружности равен 1, тогда сторона BC = 2 будет являться диаметром окружности и треугольник ABC будет прямоугольным. Ответ: утверждение неверное.

Задание 47).По теореме синусов . Ответ. Утверждение верно.

Задание 48).Поскольку основание треугольника – сторона AB, не меняется, а меняется положение точки на окружности, то треугольник будет иметь наибольшую площадь, когда примет наибольшее значение высота треугольника. Самая удаленная от стороны AB точка на окружности, лежит на перпендикуляре к AB, проходящем через центр окружности. Значит, точка C лежит на диаметре, перпендикулярном к хорде AB, тогда треугольник ABC – равнобедренный. С = 30, A = B = 75.

Высота CH = AH∙tg75 =  tg75.

Площадь треугольника ABC = AB∙CH = .

Ответ: утверждение верно.


2.Известно, что и .

Найдите .

Решение.

Обе части равенства умножим на (a + b + c).  Получим (

Каждое слагаемое в скобках умножим почленно на (a + b + c).

Деля почленно числитель каждой дроби на знаменатель, получим: .

Тогда  = .

Ответ: 1,9.
3. Вычислить .

Решение.

Каждую дробь в этом выражении можно заменить на полуразность дробей, т.е.


Тогда  = .