Решение. Преобразуем выражения, выделив в них степени: 2 4, 3 4 или 7 4 в зависимости от условия. 1 2002 = 4 ∙ 500 + 2

При решении примеров будем руководствоваться следующими свойствами чисел:

1. 
   если последняя цифра числа 0, 1, 5 или 6, то при возведении его в любую натуральную степень последняя цифра не изменится;
   
2. 
   заметим также, что 2⁴ = 16, 3⁴ = 81, 7⁴ = 2301.
   

Рассмотрим решение некоторых примеров рабочей тетради, сюжет №8.

Найдите последнюю цифру выражений:
1) 2²⁰⁰² + 3²⁰⁰² + 7²⁰⁰²;

2) 2¹⁵  ∙ 7⁵¹;

3) ( 3⁹⁹ + 7¹⁹⁹) ∙∙  8¹⁰;

4) 3²⁰⁰³ – 7²⁰⁰³;

5) 777⁷⁷⁷;
Решение.

Преобразуем выражения, выделив в них степени: 2⁴, 3⁴или 7⁴ в зависимости от условия.

1) 2002 = 4  ∙ 500 + 2.

2²⁰⁰² = ( 2⁴)⁵⁰⁰  ∙ 2²

2⁴ оканчивается на 6;

(2⁴)⁵⁰⁰ оканчивается на 6;

2² = 4;

Выражение2²⁰⁰² = ( 2⁴)⁵⁰⁰  ∙ 2² оканчивается на 4.

 

Аналогично, 3²⁰⁰² = (3⁴)⁵⁰⁰ ∙  3² = (81)⁵⁰⁰ ∙  9 оканчивается на 9, так как (81)⁵⁰⁰ оканчивается на 1.
7²⁰⁰² = (7⁴)⁵⁰⁰ ∙  7²  оканчивается на 9, так как (7⁴)⁵⁰⁰ оканчивается на 1, а 7² = 49.

Последняя цифра выражения равна последней цифре суммы 4 + 9 +9 = 22.

Ответ. Последняя цифра выражения равна 2.
2) 2¹⁵ ∙  7⁵¹ = (2⁴)³ ∙  2³  ∙ (7⁴)¹² ∙  7³;

(2⁴)³ оканчивается на 6:

2³  = 8;

(7⁴)⁵⁰⁰ оканчивается на 1;

7³оканчивается на 3.

Последняя цифра выражения равна последней цифре произведения 6∙8∙1∙3.

Ответ. Последняя цифра выражения равна 4.
3) ( 3⁹⁹ + 7¹⁹⁹)  ∙ 8¹⁰ = ( (3⁴)²⁴  ∙ 3³ + (7⁴)⁴⁹  ∙ 4³)  ∙ (2³)¹⁰ .

(3⁴)²⁴  оканчивается на 1;

(3⁴)²⁴  ∙ 3³ оканчивается на 7;

(7⁴)⁴⁹ оканчивается на 1;

4³ оканчивается на 4;

(7⁴)⁴⁹  ∙ 4³ оканчивается на 4;

Последняя цифра выражения ( (3⁴)²⁴  ∙ 3³ + (7⁴)⁴⁹  ∙ 4³) равна последней цифре суммы 7 +  4, то есть равна 1.

(2³)¹⁰  = (2⁴)⁷ ∙ 2² оканчивается на 4, так как (2⁴)⁷ оканчивается на 6, 2² = 4.

Последняя цифра данного выражения равна 1∙ 4 = 4.

Ответ: 4.
4) 3²⁰⁰³ – 7²⁰⁰³ = (3⁴)⁵⁰⁰ ∙  3³ – (7⁴)⁵⁰⁰ ∙  7³;


3⁴ оканчивается на 1;

(3⁴)⁵⁰⁰ оканчивается на 1;

3³ = 27;

(3⁴)⁵⁰⁰ ∙  3³ оканчивается на 7.

7⁴ оканчивается на 1;

(7⁴)⁵⁰⁰ оканчивается на 1;

7³ оканчивается на 3;

(7⁴)⁵⁰⁰ ∙  7³ оканчивается на 3