Учебный курс «Атомное ядро»

5.4. Свойства ядерных сил. Симметрии ядерного взаимодействия. Потенциал ядерного взаимодействия.
Протон и нейтрон являются сложными объектами, имеющими внутреннюю кварковую структуру. Взаимодей­ствие таких объектов, вообще говоря, не потенциально. Тем не менее при энергиях малых по сравнению с энергией возбуждения внутренних степеней свободы, можно пользо­ваться приближением потенциального взаимодействия. Очевидно, что потенциальное приближение неприменимо на расстояниях меньше размера объектов, где волновые функции кварков из двух частиц начинают перекрываться. При отсутствии точной теории позволяющей находить по­тенциал ядерного взаимодействия из первых принципов, большую роль играют ограничения налагаемые симмет­риями, существующими в ядерных силах. Мы начнём с об­суждения этих ограничений.

В силу однородности и изотропности пространства взаимодействие должно коммутировать с полным импуль­сом и с полным моментом импульса относительного движения

Иными словами, может зависеть только от относительной координаты и является скаляром. Кроме того, в сильных взаимодействиях сохраняется чётность, поэтому является истинным скаляром. Ещё одной дискретной симметрией ядерных сил является инвариантность относи­тельно отражения времени. В дальнейшем эта операция нам будет часто встречаться, поэтому остановимся на ней под­робнее.

Операция Т-сопряжения определяется как



где – оператор, меняющий в явной зависимости от времени; – оператор комплексного сопряжения; – дополнительная унитарная матрица, действующая на спи­новые переменные. Появление комплексного сопряжения в  связано с тем, что при отражении времени начальное и конечное состояния меняются местами. Иными словами, происходит транспонирование матричного элемента опера­тора. Для эрмитовского оператора это эквивалентно ком­плексному сопряжению. Вид матрицы зависит от спина частиц. Для спина 0 – это единичная матрица, которую можно не указывать вообще. Для спина 1/2 она определяется из тре­бования правильного преобразования спина при отражении времени



Для матриц Паули это даёт



Поскольку а то в качестве можно выбрать , где Обычно в качестве выбирают . В этом случае является матрицей поворота на угол вокруг оси y

. 

Отметим, что для спина 1/2 , т. е. спинор при двойном отражении времени меняет знак.
Разница масс протона и нейтрона составляет всего , т. е. в гамильтониане сильных взаимодейст­вий имеется вырождение. В таком случае оператор, перево­дящий протон в нейтрон или нейтрон в протон, не меняет энергию системы. Иными словами, этот оператор коммути­рует с гамильтонианом сильных взаимодействий. По анало­гии со спином 1/2 вводится изотопический спинор

описывающий состояние единой частицы – нуклона. При этом верхняя компонента есть амплитуда вероятности об­наружить нуклон в протонном состоянии, а нижняя – в ней­тронном. Чистый протон есть собственное состояние опера­тора , где – матрица Паули, действующая на изото­пические переменные, с собственным значением +1/2, а нейтрон – состояние с собственным значением –1/2. Опе­рато­рами, переводящими протонное состояние в нейтронное и наоборот, являются и . Все эти три оператора коммути­руют с гамильтонианом сильных взаимодействий. Вместо них удобно ввести векторный оператор изотопиче­ского спина . Если в системе имеется несколько нуклонов, то оператором поворота в изотопическом пространстве бу­дет суммарный изоспин

. 

Именно он будет коммутировать с гамильтонианом силь­ных взаимодействий. Для ядра с Z-протонами и N-нейтро­нами определено и равно . Полный изоспин Т, который определяет собственные значения оператора

, 

может принимать значения Для большинства ядер в основном состоянии минимально, . Для системы из двух нуклонов полный спин S, изо­спин и орбитальный момент L связаны соотноше­нием обеспечивающим антисимметрию волно­вой функции при перестановке частиц. Оператор электрического заряда очевидным образом выражается че­рез



Изотопическая инвариантность сильных взаимодейст­вий означает, что потенциал взаимодействия двух нуклонов должен быть скаляром в изотопическом пространстве. В частности, это означает, что в пренебрежении электромаг­нитным взаимодействием сильное взаимодействие между двумя протонами и двумя нейтронами одинаково.
Построим общий вид потенциала ядерного взаимодействия, удовлетворяющего вышеприведённым ог­раничениям. Простейший вид потенциала – потенциал цен­тральных сил, зависящих только от расстояния между ну­клонами . Эти силы различны для взаимодействия двух протонов или нейтронов и для взаимодействия про­тона с нейтроном. Это значит, что потенциал имеет изото­пическую зависимость. Единственным скалярным операто­ром, составленным из изотопических матриц Паули, явля­ется комбинация где – матрицы Паули, действую­щие на первую и вторую частицу. Поскольку квадрат мат­риц Паули равен единичной матрице, то все степени этой комбинации выражаются через неё самоё и единичную матрицу. С учётом этой зависимости центральный потенциал может быть записан как



Следующие потенциалы будут уже содержать зависимость от спинов. Со спиновыми матрицами можно составить две комбинации, удовлетворяющие всем требованиям инвари­антности. Одна комбинация аналогична изоспино­вой. Другая комбинация содержит ещё и еди­ничный вектор . Этот оператор порож­дает нецентральные тензорные силы, поскольку он зависит от ориентации спинов относительно оси, соединяющей цен­тры частиц. По отношению к пространственным перемен­ным он является тензором второго ранга который имеет ненулевую скалярную часть. Удобно перейти к не­приводимому тензору второго ранга, который не содержит скалярной части



Очевидно, что , где интегрирование ведётся по телесному углу. С учётом этих членов гамильтониан ядер­ных взаимодействий принимает вид



На этом вклад членов, не зависящих от скорости, заканчива­ется и следующие члены будут содержать зависимость от скорости. В низшем порядке по скорости можно составить только две комбинации операторов , где – орбитальный момент относительного движения ну­клонов. Первый оператор есть просто спин-орбитальное взаимодействие , где – суммарный спин нукло­нов. Второй оператор не меняет орбитальный момент, но меняет полный спин нуклонов, переводя триплетное со­стояние в синглетное и наоборот. В силу условия он одновременно меняет и полный изоспин, нарушая тем самым изотопическую инвариантность. По этой причине его вклад должен быть мал и в нулевом при­ближении его можно опустить. Таким образом, потенциал взаимодействия с минимальным набором операторов вы­глядит следующим образом:



Минимальный набор содержит 8 функций координат, кото­рые должны находиться из данных по рассеянию нуклонов и свойств дейтрона.

На рис. 4 представлено несколько потенциалов (3.10) без учёта тензорных сил для различных комбинаций спинов и изоспинов пары нуклонов

Основными особенностями потенциалов является их короткодействующий характер, сильная зависимость от полного спина S и изоспина T нуклонов, наличие сильного отталкивания на малых расстояниях. Состояния с нечётной суммой S + T имеют чётные орбитальные моменты l. Только в таких состояниях имеется заметное притяжение. Самая глубокая яма в триплетном и изосинглетном состоянии порождает связанное состояние – дейтрон. Глубины ямы в синглетном и изотриплетном состоянии недостаточно для образования связанного состояния, но есть виртуальный уровень, который виден n–p-системе, динейтроне и дипро­тоне. Состояния с нечётными l и чётными вообще не имеют притяжения и довольно слабы, за исключением об­ласти отталкивания на малых расстояниях.




Рис. 2. Потенциалы взаимодействия для различных комбинаций (S, T)

спина и изоспина



5.5.Дейтрон. Волновая функция дейтрона. Магнитный момент дейтрона. Электрический квадрупольный момент дейтрона.
Дейтрон – простейшее атомное ядро имеет спин J = 1, магнитный момент μ = 0.857, где – ядер­ный магнетон. Дейтрон имеет и электрический квадрупольный момент Q = 0,286 eф². Чётность дейтрона положительна. Энергия связи дейтрона = 2,225 МэВ, что довольно мало в ядер­ных масштабах. Протон и нейтрон в связанном состоянии с такой энергией связи находятся друг от друга на расстоянии 4,3 ф, что заметно превышает радиус действия ядерных сил ~ 1.5 ф. В этом случае детали поведения потенциала на малых расстояниях несущественны и мы можем моделиро­вать его простой потенциальной ямой с радиусом ~ 1,5 ф. Малость Q по сравнению с говорит о малой роли тензор­ных сил. Если пренебречь тензорными силами, то нуклоны будут двигаться в центральном поле и первый уровень, как следует из квантовой механики, по­является в s-волне. Оценку глубины ямы можно получить, воспользовавшись малостью энергии связи дейтрона. Кри­тическая глубина ямы, при которой появляется уровень в трёхмерной сферической яме, даётся выражением

,

где M – масса протона, а – радиус ямы. Если подставить сюда значение= 1,5 ф, получим 50 МэВ . Эта величина много больше энергии связи, что подтверждает наше пред­положение о слабой связанности дейтрона.

Общий вид волновой функции с учётом тензорного взаимодейст­вия также устанавливается однозначно. Дей­трон является единственным связанным состоянием двух нуклонов. Это значит, что его изоспин равен 0 в соответст­вии с тем, что число различных зарядовых компонент есть . Тогда из условия следует, что должно быть нечётным. С учётом того что полный момент J = 1, имеются три возможности: либо S = 0 и L = 1, либо S = 1 и L = 0, 2. Но в первом случае чётность дейтрона будет отрицательной и поэтому это состояние не может присутствовать в волновой функции дейтрона. Таким обра­зом, волновая функция дейтрона имеет вид

,

где – результат сложения орби­тального момента L = 2 и спина S = 1 в полный момент J = 1. В данном конкретном случае удобно эту функцию предста­вить в другом виде, без использования коэффициентов Клебша–Гордана. Для этого воспользуемся тем, что опера­тор пропорционален . Легко проверить, что



Действительно, поскольку – скаляр, то полный момент состояния равен 1 и проекция совпадает с M . Он также не меняет спиновую симметрию, поэтому состояние остаётся триплетным. Нормировочный коэффициент находится прямым вычислением из требования

. 

Таким образом, волновая функция дейтрона может быть записана в виде



Условие нормировки даёт



Два интеграла в выражении  могут быть интерпретированы как веса и соответственно s- и d-волн в волновой функ­ции дейтрона. Однако точные значения этих величин за­ви­сят от поведения волновых функций на малых расстояниях, где потенциальное описание вообще не очень осмысленно. В этом отношении менее модельно зависимую оценку отно­си­тельных s- и d-вкладов можно получить через асимпто­тическое отношение s- и d-волн.

Во внутренней области полный потенциал  не со­храняет орбитальный момент смешивая s- и d-состояния. В результате мы получаем связанную систему уравнений на функции и , где связь осуществляется через тен­зорное взаимодействие



Здесь – комбинация центрального и спин-спинового потенциалов для триплетного изоскалярного состояния. отличается от наличием спин-орбитального взаимодействия.
Экспериментальное значение магнитного момента дейтрона, где – ядерный магнетон, всего на меньше алгебраической суммы магнитных момен­тов свободных протона и нейтрона, . Тем не менее эта разница су­щественно больше, чем ошибки измерения и поэтому зна­чима.

Если бы волновая функция дейтрона давалась только s-вол-ной, то магнитный момент, определяемый как среднее значение оператора магнитного момента по состоянию с максимальной проекцией полного момента , был бы точно равен сумме магнитных моментов протона и ней­трона. Можно думать, что отклонение от суммы вызвано примесью d-волны в волновой функции дейтрона.

Оператор магнитного момента дейтрона записанный в единицах ядерного магнетона имеет вид

,

где – гиромагнитные отношения для спинового вклада нейтрона и протона, , – орбитальный момент протона, поскольку только заряжен­ные частицы дают вклад в орбитальный магнетизм. Орби­тальный момент протона можно выразить че­рез орбитальный момент относительного движения протона и нейтрона. Для этого заметим, что в системе центра масс импульс протона совпадает с импульсом относительного движения, а , где – относительная коорди­ната. Тогда оператор магнитного момента есть

. 

Если выделить полный спин дейтрона , то выражение  переписывается в виде

. 

Второй член в правой части выражения  при усреднении по три­плетному состоянию, симметричному по спинам, обраща­ется в ноль. Подставляя значения гиромагнитных отношений , для среднего значения находим



или, вводя полный момент,

. 

Из этого выражения ясно видно, что поправка к тривиаль­ной сумме магнитных моментов идёт от последнего члена, который отличен от нуля только для d-волны.

Среднее значение вектора может быть направлено только по единственному вектору, который имеется в со­стояниях дискретного спектра, вектору полного момента J (векторная модель). Для M = J = 1 уравнение  даёт



Возводя в квадрат равенство , находим, что для случая J = S



Таким образом,



Из этого выражения мы можем найти . Казалось бы, таким образом мы нашли вес d-волны модельно незави­симым образом. К сожалению, ситуация несколько сложнее. С таким весом d-волны не удаётся воспроизвести величину квадруполь­ного момента дейтрона, который мы будем вы­числять ниже. Дело в том, что оператор магнитного мо­мента  был получен для свободных нуклонов. Для взаимодействующих нуклонов есть релятивистские по­правки связанные с зависимостью взаимодействия  от импульсов. При включении электромагнитного поля им­пульс p в гамильтониане заменяется на . Если взаимо­действие зависит от импульсов, то в плотность тока, а с ней и в оператор магнитного момента появляются по­правки. Магнитный момент становится зависимым от ис­пользуемой модели взаимодействия. В этом смысле элек­трический квадрупольный момент является менее модельно зависимым, поскольку в нём такие поправки отсутствуют.
Квадрупольный момент распределения заряда явля­ется симметричным тензором второго ранга с нулевым сле­дом

. 

Он имеет пять независимых компонент. Выраженный через циклические координаты он должен иметь вид , где μ пробегает значения от –2 до 2. Можно ожидать, что он будет выражаться через сферическую функцию . Точный коэффициент устанавливается из вида :



Как видно из выражений ,  квадрупольный момент отражает угловую анизотропию или деформацию распределения заряда. Положительное Q­­­­_zz указывает на вытянутое распределение, в то время как отвечает сплюснутому распределению заряда, сконцентрированному вблизи экваториальной плоскости xy . Если распределение изотропно, то среднее значение квад­рупольного момента равно нулю. Наблюдаемая величина квадрупольного момента дейтрона положительна и равна 0,286 ф². Эта величина мала по сравнению со среднеквадратичным радиусом дейтрона 3,84 ф², что указывает на малую несферичность дейтрона. Это согласу­ется с малым весом W_d d-волны, полученным из оценки магнитного момента.

Пренебрегая вкладом распределения заряда внутри нуклонов и учитывая, что координата протона , нахо­дим для табличного значения квадрупольного момента

, 

где диагональный матричный элемент вычисляется по со­стоянию с M = J = 1. Вычисление среднего значения  аналогично вычислению нормировки волновой функции дейтрона. Мы должны вычислить

. 

Член не даёт вклада, так как он даёт изотропную часть распределения и интеграл по углам зануляется. Остаются только интерференционный член и вклад d-волны :

. 

Используя условие нормировки полиномов Лежандра

,

приходим к окончательному выражению для квадру­польного момента дейтрона:

. 

Из-за фактора вклады в интеграл в выражении  дают большие расстояния, где d-волна относительно мала по сравнению с s-волной. Член даёт вклад менее 10% от полной суммы. Главным является интерференционный член , кото­рый и приводит к положительному Q, т. е. к вытянутой форме дейтрона.



5.6. Глобальные свойства ядер. Упругое рассеяние электронов на ядрах. Свойства формфакторов.
В этом разделе обсуждаются методы изучения таких глобальных характеристик ядер, как размер и форма, плот­ность. Одним из эффективных методов изучения распределе­ния протонов или, скорее, заряда внутри ядра является рас­сеяние электронов.
Для того чтобы «увидеть» размер ядра, длина волны де Бройля электрона не должна превышать этот размер. А если мы хотим изучать детали распределения плотности за­ряда, то необходимо, чтобы длина волны была гораздо меньше размеров изучаемого объекта. Как упоминалось во Введении, размеры ядер не превышают 10 ф. Отсюда мы можем получить оценку минимальной энергии электронов. Очевидно, что импульс электронов p должен быть таким, чтобы , где R – радиус ядра. Если использовать R = 10 ф, то получим. Масса электрона m = 0,5 МэВ, таким образом мы должны использовать ультрареля­тивистские электроны. Реально для исследования струк­туры ядра используют электроны с энергией E > 100 МэВ.

Дифференциальное сечение имеет вид:

, 

где мы ввели моттовское сечение рассеяния ультрареля­тивистских электронов на кулоновском центре:

. 

Особенностью сечения  является обращение его в ноль при рассеянии назад, когда угол рассеяния равен точно . Это прямо связано с упоминавшимся выше сохране­нием спиральности для ультрарелятивистского электрона. Если выбрать ось квантования по импульсу начального электрона, то его спиральность будет совпадать с проекцией полного углового момента электрона, которая также со­храняется в центральном поле. При рассеянии назад спи­ральность совпадает с , что входит в противоречие с со­хранением обеих величин.

Как видно из уравнения , вся информация о распределении заряда внутри ядра содержится в формфакторе.
По определению, формфактор нормирован на единицу . При малых q, когда , можно разложить экс­поненту в ряд по степеням q:

. 

Для сферического ядра член линейный по импульсу обра­ща­ется в ноль при интегрировании по углам. Усредняя по углам квадратичный член, находим

, 

где мы ввели среднеквадратичный зарядовый радиус

. 

Таким образом, поведение формфактора при малых переда­ваемых импульсах даёт нам информацию о размерах ядра, а именно о среднеквадратичном радиусе распределения за­ряда.

На рис. 5 показаны измеренные сечения упругого рас­сеяния электронов на ядрах ванадия и индия, взятые из пионерских работ Хофштадтера (Phys. Rev. 1956. Vol. 101. p. 1131). Характерной особенностью сечений является

сильная зави­симость сечения от угла рассеяния или, что эквивалентно, от передаваемого импульса. В интервале углов рассеяния от 30º до 110º сечение меняется на 5 порядков. Другой характерной особенностью является наличие на круто падающем фоне дифракционных минимумов и максимумов. На ядре ванадия чётко виден один минимум, а на ядре индия – даже два. Ди­фракция возникает в том случае, если мишень имеет резкую границу. Таким образом, можно утверждать, что ядро имеет достаточно резкую границу, толщина которой заметно меньше размеров ядра. При наличии резкой

границы формфактор, как это видно из формулы , зависит от . Это значит, что положение дифракцион­ного минимума несёт информацию о размере ядра наряду с асимптотикой формфактора при малых . На рис. 6 приведены сечения, делённые на угловую зависи­мость моттовского сечения рассеяния на точечном заряде. При малых Z , когда применимо борновское приближение, эти величины совпадают с квадратами формфакторов. Они приведены как функции переменной , где А – массовое число. В этой переменной положения первого, второго, а для тяжёлых ядер и третьего дифракционного минимума, показанные пунктирными линиями, совпадают для всех ядер. Отсюда следует важный вывод о том, что радиус ядра меня­ется с массовым числом как



Иными словами, средняя плотность заряда

практически постоянна во всех ядрах, несколько уменьша­ясь в тяжелых ядрах за счёт отличия Z от A / 2. В этом от­ношении ядро похоже на ка­плю заряженной несжимаемой жидкости. Исто­рически это была первая мо­дель атомного ядра.

Более точная парамет­ризация плотно­сти заряда за­ключается в учёте конечной толщины по­верхностного слоя. Наиболее распространён­ной является двухпараметри­ческая парамет­ризация в форме Вудса–Саксона: 

где R – радиус ядра и a – параметр диффузности, опреде­ляющий скорость спадания плотности за радиусом ядра. Типичные значения параметров для достаточно тяжёлых ядер (тяжелее кислорода) следующие:

Среднеквадратич­ный зарядовый радиус ядра есть



Обычно именно эту величину называют радиусом ядра. Если представить его в виде

то r₀ меняется с А от 1,3 ф в области лёгких ядер до не­сколько менее 1,2 ф в области тяжёлых ядер. Иногда ра­диусом ядра называют эквивалентный радиус равномерно заряженного шара Подчеркнём, что , не совпадает R. Последний является параметром распределения .

На рис. 7, а приведены плотности заряда измеренные для ряда ядер. Видно, что плотность заряда с хорошей точ­ностью константа внутри ядра и уменьшается при переходе к тяжёлым ядрам не более чем на 20 %. На рис. 7, b показана плотность нуклонов пересчитанная из плотности заряда в предположении, что плотность нейтронов и плотность про­тонов
имеют одинаковую функциональную зависимость от расстояния. В отличие от плотности заряда, плотность ну­клонов практически одинакова для всех ядер и составляет .
В настоящее время плотность заряда промерена с заметно большей точностью.

Ошибки измерения становятся видны только вблизи r = 0, где требуются большие передачи импульса. При больших передачах сечение, как мы видели, сильно падает и как следствие заметно уменьшается число зарегистрированных событий и растёт статистическая ошибка.