Учебный курс «Атомное ядро»

5.7. Модель жидкой капли. Энергии связи ядер. Энергии отделения протонов и нейтронов. Границы устойчивости к вытеканию нуклонов.
Имеется много параметризаций энергий связи ядер, содержащих заметное число параметров. Мы ограничимся простой классической полуэмпирической формулой масс Бете–Вайцзекера, которая оказалось весьма успешной в описании известных данных и в предсказании энергий связи новых изотопов. Энергия связи или дефект массы, определяемой как , есть сумма нескольких уни­версальных вкладов, плавно зависящих от :



Это выражение зависит от 5 коэффициентов , имеющих размерность энергии. Их значения находились из подгонки масс сотен известных ядер. Качество подгонки (рис. 11) достаточно высокое, среднеквадратичное отклоне­ние от данных, усреднённое по всем ядрам, не превышает 1,8 МeV, а если ограничиться областью ядер с A > 100, то от­клонение падает до величины ~ 0,65 МэВ, т. е. вся ошибка набира­ется в области лёгких ядер, где представление о макроско­пической жидкой капле вряд ли применимо.

Первый, основной член в энергии связи МэВ даёт энергию связи на единицу объёма или энергию связи на одну частицу (при постоянной плотности объём ). В пределе бесконечной ядерной материи в отсутствие кулоновского взаимодействия это был бы единственный оставшийся член. В этом пределе для извлечения частицы из ядра нужно затратить энергию отделения, равную .

В статистической физике производная энергии по числу частиц есть химический потенциал μ. Химический потенциал не зависит от числа частиц, и это есть характерное свойство термодинамического предела (A → ∞, V → ∞, n = A/V = const) макроскопических систем независимо от их агрегатного состояния (твёрдое тело, жидкость, газ). Из рис. 11 мы видим, что энергия связи на частицу в реальных ядрах почти в два раза отличается от предельного значения. Это свидетельствует о том, что ос­тальные члены в уравнении  важны и дают вклад, сравнимый с первым членом. А-зависимость также имеет место, хотя она довольно плавная, за исключением области легчайших ядер (см. вставку на рис. 11). Такие системы, имеющие много степеней свободы и проявляющие свойства макроскопических систем, но не в полной мере достигающие термодинамического предела, называ­ются мезоскопическими.

Следующий член в формуле масс –– связан с наличием поверхности, площадь которой пропорцио­нальна Величина


ё

может быть интерпретирована как коэффициент поверхно­стного натяжения. Как и в обычной капле жидкости, оно возникает из-за отсутствия притяжения с внешней стороны для нуклонов находящихся на поверхности, что приводит к уменьшению энергии связи.

Два других члена в формуле масс различают вклады протонов и нейтронов в энергию связи. Энергия симметрии старается уравнять число протонов и нейтро­нов. Она пропорциональна 3-й проекции полного изотопи­ческого спина ядра – в квадрате. Вклады в энергию симмет­рии возникают из двух источников. Первый из них – это непосредственно межнуклонное взаимодействие, в котором притяжение максимально для состояний, симметричных по пространственным переменным и по спинам (Т = 0). Второй вклад связан с тем, что нуклоны подчиняются статистике Ферми–Дирака и он существует даже для невзаимодейст­вующих нуклонов. Элементарную оценку этого вклада можно получить в простейшей модели ферми-газа.

В основном состоянии нейтроны и протоны занимают все импульсные состояния от нуля до импульсов Ферми , которые определяются тем, что полное число занятых состояний равно полному числу частиц:



При нулевой температуре энергия Ферми совпа­дает с химическим потенциалом. В равновесии хими­ческий потенциал протонов должен быть равен химиче­скому потенциалу нейтронов, что сразу даёт . Для плотности нуклонов находим Полная кинетическая энер­гия ядра для

. 

Разлагая это выражение вблизи равновесия по , находим:



Второй член как раз и есть искомый вклад в энергию симметрии. Величина соответствующего коэффициента равна , что составляет примерно половину вклада в . Остальная часть идёт от взаимодействия.

Кулоновский член сравнительно мал:, но его влияние растёт с Z очень быстро. Зависимость от Z и А даётся простой классической оценкой кулоновской энер­гии равномерно заряженного шара



Соотношение между кулоновской энергией и энергией симметрии определяет связь между числами протонов и нейтронов для наиболее стабильных ядер. Очевидно, что при данном А оно даётся условием



Это даёт для равновесного Z уравнение

. 

Коэффициент мал, поэтому отличие Z₀ от А / 2 начи­нается только после ядра кальция, А = 40. Вблизи кри­вой  могут быть несколько стабильных изотопов. Совокупность всех стабильных ядер образует на плоскости (N, Z) так называемую долину стабильности (на рис. 12 она наиболее тёмная). Последний член в формуле масс –– описывает парные корреляции между нуклонами. Ядро с нечётным А теряет МэВ из-за присутствия неспаренного нуклона. Нечётно-нечётное ядро теряет в два раза больше. Парные корреляции по своей природе близки к куперов­скому спариванию в сверхпроводниках и приводят ко мно­гим когерентным эффектам в ядерной физике низких энер­гий.

Формула масс хорошо описывает возрастание энергии связи от малого значения 1,1 МэВ на частицу для дейтрона до максимальных значений более 8,5 МэВ на нуклон в рай­оне ядра железа и последующее убывание, в основном, из-за электростатической энергии, которая не может быть скомпенсирована умень­шением числа протонов из-за энергии симметрии, не позво­ляющей иметь большой нейтронный избыток.

Кроме долины стабильности, формула масс позволяет также оценить и границы абсолютной неустойчивости от­носительно вылета нейтронов или протонов из ядер. Опре­делим энергии отделения, необходимые для удаления од­ного нейтрона или протона из ядра

. 

По мере увеличения числа нейтронов в первом случае или протонов – во втором энергии отделения будут умень­шаться из-за энергии симметрии в случае нейтронов и из-за энергии симметрии плюс кулоновской энергии в слу­чае протонов. В какой-то момент при определённом из­бытке нейтронов или протонов энергии отделения обра­тятся в ноль. Эти условия – – определяют гра­ницы абсолютной нестабильности ядер по отношению к вылету соответственно нейтронов и протонов (drip lines). На этих границах нейтроны и протоны начинают свободно вы­текать из ядер без затраты энергии. Следует отметить, что в случае протонов существует кулоновский барьер сквозь ко­торый протоны должны протуннелировать, чтобы оказаться на бесконечности. На самой границе, где кинетическая энергия протонов на бесконечности равна нулю, барьер имеет бесконечную ширину и протоны вылететь не могут, хотя формально законы сохранения энергии позволяют это. Этот квантовый эффект несколько отодвигает протонную границу неустойчивости, делая её несколько размытой и позволяя ядрам существовать конечное время за пределами границы, даваемой уравнением .

Кроме упомянутого выше квантового эффекта, за границами формулы масс остались и другие квантовые эф­фекты, связанные с периодическими отклонениями энергий связи от кривой на рис. 11. Периодически группа ядер ока­зывается более связанной, чем в среднем. Если не прини­мать во внимание эти оболочечные эффекты, подобные оболочечным эффектам в квантовой химии, то мы имеем разумное описание конечной квантовой системы с сильным взаимодействием в терминах макроскопических глобальных переменных – плотности, энергии связи и т. д. Следует подчеркнуть, что на этой стадии мы не опирались ни на какие модельные пред­ставления. Тем не менее наиболее естественным образом формула масс ведёт к картине ядра, как капле несжимаемой жидкости.
5.8. Колебания поверхности. Кинетическая и потенциальная энергии колебаний. Предел стабильности по отношению к делению.
Теперь мы рас­смотрим динамические свойства ядра, вытекающие из фор­мулы масс. На этом этапе важно разумным образом выбрать динамические переменные. Поскольку формула масс не рассматривает движение индивидуальных нуклонов, эти переменные с необходимостью будут иметь коллективную природу. Мы можем использовать их для описания дина­мики, только если будем рассматривать ядерное веще­ство как непрерывную среду, не касаясь движения отдель­ных нуклонов. В такой среде все возбуждения ведут себя как волны. В конечной системе спектр частот, а с ними и длин волн, является дискретным. Очевидно, что длина волны должна быть достаточно большой по сравнению с расстоянием между нуклонами, иначе понятие непрерывной среды теряет смысл. Отсюда мы получаем ограничение снизу на длины волн возбуждений:

. 
Только при этих длинах волн наше макроскопическое опи­сание будет справедливо.

Для несжимаемой капли жидкости при малых энер­гиях возбуждения единственный вид возбуждений может быть связан с изменением формы ядра. Пусть основное со­стояние, описываемое формулой масс , имеет сфериче­скую форму. Предположим также, что спин и чёт­ность основного состояния . Такое предположение справедливо для всех чётно-чётных ядер (N и Z оба чёт­ные). Возбуждения сферической капли должны иметь опре­делённый угловой момент λ. Поскольку возбуждения свя­заны с изменением формы поверхности капли, можно ду­мать, что они похожи на поверхностные волны. Угловой момент волны не должен быть слишком большим, чтобы не нарушать условия :

. 

Для простоты мы предположим, что поверхность ядра резкая: a << R, в согласии с формулой . Это предположение служит лишь для упрощения последующих вычислений и может быть опу­щено. В коллективной волне деформации поверхности рас­стояние от центра ядра до поверхности становится функ­цией углов . Эта функция может быть разложена по сферическим гармоникам

, 

где равновесный радиус обозначен как . Коэффициенты разложения в уравнении  зависят от времени, описывая зависи­мость от времени формы поверхности возбуждённой капли. Если эти параметры не зависят от времени, то они описывают статическую деформацию капли. Много ядер оказываются деформированными даже в основном состоя­нии, но здесь мы ограничимся случаем сферической равно­весной формы.

Параметры деформации и есть динамические пере­менные нашей модели. Они являются комплексными, но коль скоро радиус в выражении  действителен, то их свойства при комплексном сопряжении совпадают со свойствами сфери­ческих функций

. 

Для каждой мультипольности λ имеется 2λ+1 переменных, . Соответствующее волновое возбуждение несёт угловой момент λ, проекцию μ на ось квантования z фиксированную в пространстве и чётность .
Кинетическая энергия идеальной жидкости даётся выражением

. 

Наконец, используя разложение (5.51) можно найти, что

, 

где массовый параметр имеет вид

. 

Кинетическая энергия  является примером коллек­тивного гамильтониана. Коллективный гамильтониан – это часть полного гамильтониана полученная в предполо­жении отсутствия связи между коллективной модой и ос­тальными, внутренними, степенями свободы. Вид уравне­ния  достаточно общий: кинетическая энергия явля­ется обычно квадратичной формой скоростей. Инвариант­ность относительно вращений даёт сумму с коэф­фициентами, которые не зависят от μ, но могут быть различными для различных мод λ и могут зависеть от инва­риантов, построенных из координат . Однако для малых деформаций коэффициенты должны вычисляться при рав­новесной форме, т. е. они не зависят от координат. Конкрет­ные свойства модели содержатся в величине массового па­раметра . Для деформированного ядра ситуация более сложная. В этом случае невозмущённая форма ядра харак­теризуется тензором статической деформации и общий вид кинетической энергии, удовлетворяющий условию ротаци­онной инвариантности, записывается в форме

, 

где – тензор массовых коэффициентов.
Отклонения формы ядра от равновесной останавлива­ются возвращающей силой. Если отклонения от равновес­ной формы малы, мы можем вычислять возникающую силу в линейном приближении. Это отвечает квадратичной по координатам потенциальной энергии. Для сферически сим­метричной формы основного состояния, пользуясь теми же аргументами инвариантности относительно поворотов, мы можем записать общий вид потенциальной энергии в форме

. 

Вычисление коэффициентов жёсткости представляет, вообще говоря, сложную квантовую задачу. Однако в мо­дели жидкой капли эта задача может быть сравнительно легко решена, если мы предположим, что формула масс  справедлива не только для равновесной формы в ос­новном состоянии, но также и при малых отклонениях формы поверхности от равновесной.

Полный коэффициент жёсткости поверхно­стных колебаний в модели жидкой капли равен

, 

где и – поверхностный и кулоновский вклады в массо­вую формулу . Отметим, что для дипольных колебаний коэффициент жёсткости обращается в ноль, т. е. такое смещение не тре­бует затраты энергии. Это прямо связано с тем, что диполь­ная изоскалярная мода отвечает перемещению центра масс ядра, что в отсутствие внешних полей не требует затрат энергии. Моды колебаний, для которых потенциальная энергия равна нулю, носят название «духов».

В модели жидкой капли наименьшую энергию имеют квадрупольные колебания с λ = 2. Подставляя выражения для из уравнений  и , находим для энергии квадруполь­ных колебаний



При выводе выражения  мы пренебрегли вкладом кулонов­ской потенциальной энергии, которая составляет менее 10% вблизи дна долины β-стабильности.

Как видно из уравнения , модель жидкой капли даёт плав­ную зависимость энергии квадрупольных колебаний от А. Если обратится к экспериментальным данным, то картина будет несколько другая. Действительно, подавляющее большинство чётно-чётных ядер имеет первое возбуждён­ное состояние с квантовыми числами . Однако плав­ная зависимость от А не наблюдается. На рис. 13 приве­дены энергии первых 2⁺ состояний чётно-чётных ядер как функция числа нейтронов N.

Как видно из рис. 13, энергии первых 2⁺-состояний ­­лежат заметно ниже значений, предсказываемых моделью жидкой капли. Только в районе дважды магического ядра свинца энергия квадрупольных колебаний имеет правильный поря­док величины. Ещё более интересным является периодиче­ская зависимость энергии E(2⁺) от числа нейтронов. Такая модуляция на фоне общего уменьшения энергии колебаний есть проявление квантовых оболочечных эффектов, кото­рые лежат за пределами применимости модели жидкой ка­пли.

При выводе энергии квадрупольных колебаний мы пренеб­регали вкладом кулоновской энергии. Однако с рос­том А, а особенно Z, её роль становится всё более сущест­венной и в какой-то момент частота квадрупольных колеба­ний может об­ратиться в ноль. В этом случае ничто не удерживает ядро от больших деформаций и последующего деления на два ос­колка, поскольку, как видно из рис. 11, для тяжёлых ядер сумма энергий связи двух осколков больше, чем энергия связи первоначального ядра. В принципе, де­ление энергетически выгодно и при меньших Z и А, но в этом случае для достиже­ния больших деформаций, при ко­торых процесс деления ста­новится необратимым, нужно преодолеть энергетический барьер, поскольку при малых деформациях, согласно уравне­нию , потенциальная энергия увели­чивается. Вероят­ность квантового туннелирования макро­скопических осколков сквозь барьер ничтожно мала и деле­ние становится заметным только в тяжёлых ядрах, где этот барьер достаточно мал.

Условие обращения в ноль частоты квадрупольных колебаний



определяет критическое значение параметра делимости ,

, 

где численное значение соответствует стандартным пара­мет­рам формулы масс. Тяжёлые ядра, для которых спон­танное деление уже заметно, достаточно близки к пре­делу . Например,

.

Условие  даёт нам ещё одну кривую на (N, Z)-плоскости, ограничивающую область существования ядер.
5.9. Изовекторные моды колебаний. Гигантский резонанс.
Выше отмечено, что ядро можно рассматривать как каплю несжимаемой жидкости, плотность которой не меняется. Однако если учесть, что ядро состоит из двух ти­пов частиц, то можно рассмотреть специфические колеба­ния, в которых плотность протонов меняется в одну сто­рону, а нейтронов в противоположную, так что суммарная плотность остаётся постоянной. Операторы плотности про­тонов и нейтронов можно представить, используя проекци­онные операторы на протон и нейтрон, в виде


. 

Здесь первый член под суммами не зависит от вида частиц. Он одинаков для протона и нейтрона. Иными словами, этот член является изотопическим скаляром, не различающим протоны и нейтроны. Вторые члены под суммами пропор­циональны третьей компоненте вектора изотопического спина нуклона, т. е. ведут себя как вектор при поворотах в изотопическом пространстве. Таким образом, можно запи­сать

.

Легко видеть, что изоскалярная плотность есть просто суммарная плотность ядра , а изовекторная плотность есть разность плотностей протона и ней­трона . Если плотности протонов и ней­тронов меняются в противофазе, то изоскалярная плотность остаётся постоянной, а меняется только изовекторная плот­ность. По этой причине такие моды называют изовектор­ными.

Рассмотрим ядро с N = Z. Изменение плотности во времени порождает потоки, которые связаны со скоростью изменения плотности уравнением непрерывности

. 

Здесь учтено, что для N = Z средние плотности протонов и нейтронов равны половине средней плотности и в силу ма­лости скоростей мы пренебрегли градиентами плотности, которые также предполагаются малыми (малые амплитуды колебаний). Для изовекторной части находим

, 

где введена относительная скорость . Второе уравнение это уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости, которое в тех же приближениях может быть представлено в виде

. 

Здесь – парциальные давления протонов и нейтро­нов. Переходя к относительной скорости, получаем

. 

Беря дивергенцию от уравнения  и пользуясь уравне­нием , получаем волновое уравнение

, 

где . Для вычисления скорости звука вновь обра­тимся к формуле масс, чтобы понять, какой член порождает возвращающую силу при отклонении плотностей протонов и нейтронов от равновесных значений. Очевидными канди­датами являются энергия симметрии и кулоновская энергия, но вклад кулоновской энергии мал и мы им пренебрегаем. Энергию симметрии для зависящих от координат плотно­стей можно переписать в виде

. 

Парциальные протонное и нейтронное давления выража­ются через вариационные производные по протонной и ней­тронной плотностям

. 

Аналогично, для нейтронного парциального давления имеем

. 

Тогда для изовекторной компоненты давления получаем

, 

откуда сразу следует, что

, 

где с – скорость света.

Собственные моды колебаний имеют гармоническую зависимость от времени . Для зависящей от координат части получается уравнение Гельмгольца

, 

где . Решение уравнения  для сферического ядра имеет вид

. 

На границе ядра относительная скорость, а вместе с ней давление и его градиенты обращаются в ноль. Это ведёт к граничному условию

, 

которое отличается от граничного условия  для поверх­ностных колебаний. Ещё одно отличие заключается в том, что в таких колеба­ниях возможна дипольная мода . Эта мода имеет наи­низший корень уравнения , что даёт для энергии первого возбуждённого состояния с кванто­выми числами

. 

Плавная зависимость энергии от массового числа А в объ­ёмных модах отличается от соответствующей зависимости в поверхностных модах, где она даётся степенью 1/2.

Дипольные изовекторные колебания хорошо взаимо­дейст­вуют с γ-квантами. Оператор дипольного момента имеет вид

. 

Изоскалярная часть оператора пропорциональна координате центра масс ядра и поэтому не может вызывать никаких внутренних возбуждений. Остаётся только изовекторная часть, которая прямо связана с изовекторной плотностью :

. 

В процессах поглощения γ-квантов ядрами (фотопо­глоще­ние) на всех без исключения стабильных ядрах сече­ние фото­поглощения имеет высокий пик при энергии γ-квантов близ­кой к даваемой выражением . Отсутст­вие модуляции в А-зависимости энергии возбуждения, в от­личие от квадру­польных низколежащих возбуждений, сви­детельствует об универсальной природе этого пика. Он счи­тается возбужде­нием изовекторной звуковой моды и назы­вается гигантским дипольным резонансом. На рис. 15 при­ведёны данные по се­чению фотопоглощения на ядре золота.

Два момента следует отметить в этой картине гигант­ского дипольного резонанса, которые мы будем обсуждать позднее более подробно. Первый – наблюдаемый пик доста­точно ши­рокий, ширина на полувысоте составляет. Кривая похожа на спектральную плот­ность осциллятора с за­туханием. Добротность этого осцил­лятора невелика:. Это означает, что этот диполь­ный осциллятор успевает совершить всего несколько колебаний. Его затухание связано со взаимодействием этой моды с нуклонами, которое переводит энергию упорядоченных колебаний в энергию не­когерентного движения ну­клонов. Такие эффекты очевидно не учитываются в гло­бальном гидродинамическом описании.

Второй момент – колоколообразная сплошная кривая на рис. 15, которая включает в качестве параметров только по­ложение резонанса, его ширину и сечение в максимуме, дос­таточно хорошо описывает данные, проходя внутри экспери­мен­тальных ошибок. Площадь под кривой оказывается универ­сальной величиной, предсказываемой с помощью пра­вила сумм.