Учебный курс «Атомное ядро»

Учебный курс «Атомное ядро» является частью специализированной подготовки бакалавра физики по профилю «физика ядра и элементарных частиц». Дисциплина изучается студентами четвертого курса физического факультета кафедры физики элементарных частиц. Программа курса подготовлена в соответствии с требованиями образовательного стандарта третьего поколения.

Цель курса – познакомить студентов-физиков, специализирующихся по профилю «физика ядра и элементарных частиц», с основными явлениями, идеями и методами физики атомного ядра.

Мы также ставим перед собой цель сформировать базовые профессиональные, а также общекультурные навыки исследователя в области физики высоких энергий. Односеместровый курс «Атомное ядро» состоит из лекционных занятий, сопровождаемых регулярными индивидуальными консультациями, а также самостоятельных занятий. В конце курса предусмотрен экзамен.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 академических часа (из них 36 аудиторных). Программой дисциплины предусмотрены 36 часов лекционных занятий, а также 36 часов самостоятельной работы и индивидуальных консультаций.

Автор

докт. физ.-мат. наук, проф. В. Ф. Дмитриев
Программа учебного курса подготовлена в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на 2009–2018 г. г.

 Новосибирский государственный

университет, 2010

Приложение № 2.
Примерная программа учебного курса (учебной дисциплины)
Программа курса (дисциплины) «Атомное ядро» составлена в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного бакалавра физики по профилю «физика ядра и элементарных частиц», а также задачами, стоящими перед Новосибирским государственным университетом по реализации Программы развития НГУ.
Автор (авторы) Дмитриев Владимир Федорович, д.ф.-м.н, с.н.с, профессор кафедры
Факультет: физический

Кафедра: теоретической физики
1. Цели освоения дисциплины (курса)

Дисциплина (курс) «Атомное ядро» имеет своей целью: дать набор необходимых сведений о структуре атомного ядра, ядерных спектрах и вероятностях переходов и научить делать оценки соответствующих параметров атомных ядер.
2. Место дисциплины в структуре образовательной программы

Курс относится к циклу специальных дисциплин и предназначен для студентов специализирующихся в области физики элементарных частиц и физики атомного ядра. Курс ориентирован как на физиков экспериментаторов, так и на теоретиков. В результате прохождения курса у студентов специализирующихся в экспериментальной физике элементарных частиц должно сложиться представление о размерах, форме, энергии связи ядер, границах устойчивости ядер и о том, к каким эффектам приводит взаимодействие частиц (гамма-квантов, нуклонов, электронов и мюонов, мезонов) с ядрами. Эта информация необходима в дальнейшем при работе с детекторами частиц. В этом же курсе происходит первое знакомство с эффектами слабого взаимодействия в ядрах. Студенты, специализирующиеся в теоретической физике, кроме вышеперечисленного, должны получить представление о методах квантовой теории многих тел использующихся для описания атомных ядер и о теории мультипольного излучения. Для успешного освоения курса необходимы следующие «входные» знания. В области математических дисциплин: математический анализ, функциональный анализ, методы математической физики. В области физических дисциплин: нерелятивистская квантовая механика, квантовая статистика ферми-систем, электродинамика. Этим курсом завершается в бакалавриате изучение строения атома и атомного ядра.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

«Атомное ядро».

• 
  общекультурные компетенции: ОК-1, ОК-5, ОК-17, ОК-18, ОК-20, ОК-21;
  
• 
  профессиональные компетенции: ПК-1 –ПК-4 , ПК-5, ПК-10.
  

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

• 
  Знать: размеры и форму ядер, методы исследования этих характеристик. Энергии связи ядер, границы устойчивости ядер. Структуру спектра возбуждений атомных ядер.
  
• 
  Уметь: делать оценки различных характеристик ядер (магнитные, квадрупольные моменты, вероятности электромагнитных переходов, вероятности бета-процессов).
  
• 
  Владеть методами нахождения одночастичных уровней атомных ядер.
  

4. Структура и содержание дисциплины « Атомное ядро».

Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.

№ п/п	Раздел дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)		Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
1	Введение. Элементы теории рассеяния.	7-й	1-я	2 часа лекции	Самостоятельные занятия, 2 час	На каждой лекции проводится краткий опрос по пройденному материалу.
2	Рассеяние при малых энергиях. Рассеяние при спин-орбитальном взаимодействии.	7-й	2-я	2 часа лекции	2 час
3	Протон-протонное рассеяние. Кулон-ядерная интерференция.	7-й	3-я	2 часа лекции	2 час
4	Свойства ядерных сил. Симметрии ядерного взаимодействия. Потенциал ядерного взаимодйствия.	7-й	4-я	2 часа лекции	2 час
5	Дейтрон. Волновая функция дейтрона. Магнитный момент дейтрона. Электрический квадрупольный момент дейтрона.	7-й	5-я	2 часа лекции	2 час
6	Глобальные свойства ядер. Упругое рассеяние электронов на ядрах. Свойства формфакторов.	7-й	6-я	2 часа лекции	2 час	Опрос по всему пройденному материалу.
7	Размеры ядер, плотность ядерного вещества. Дифракционное рассеяние быстрых частиц на ядрах.	7-й	7-я	2 часа лекции	2 час
8	Модель жидкой капли. Энергии связи ядер. Энергии отделения протонов и нейтронов. Границы устойчивости к вытеканию нуклонов.	7-й	8-я	2 часа лекции	2 час
9	Колебания поверхности. Кинетическая и потенциальная энергии колебаний. Предел стабильности по отношению к делению.	7-й	9-я	2 часа лекции	2 час
10	Изовекторные моды колебаний. Гигантский резонанс.	7-й	10-я	2 часа лекции	2 час
11	Модели независимых частиц. Ферми-газ. Обоснование модели оболочек. Магические числа.	7-й	11-я	2 часа лекции	2 час	Опрос по всему пройденному материалу
12	Потенциал гармонического осциллятора. Потенциал прямоугольной ямы.	7-й	12-я	2 часа лекции	2 час
13	Роль спин-орбитального взаимодействия. Реалистическая схема уровней сферических ядер. Магнитные моменты нечетных ядер.	7-й	13-я	2 часа лекции	2 час
14	Деформированная модель оболочек. Происхождение ядерной деформации. Квадрупольные переменные формы. Анизотропный осциллятор. Модель Нильссона.	7-й	14-я	2 часа лекции	2 час
15	Парные корреляции. Вырожденная модель. Теория Бардина-Купера-Шриффера.	7-й	15-я	2 часа лекции	2 час
16	Вероятности излучения гамма-квантов. Дипольные, магнитно-дипольные, квадрупольные переходы, внутренняя конверсия. Ядерные изомеры.	7-й	16-я	2 часа лекции	2 час
17	Слабые процессы в ядрах. Гамильтониан слабого взаимодействия. Фермиевские и Гамов-Теллеровские переходы. Время жизни нейтрона.	7-й	17-я	2 часа лекции	2 час	Экзамен
Итого				36 часов	36 часов

5. Образовательные технологии
Лекции ведутся в интерактивном режиме для активизации в памяти ранее изучавшегося материала. Во время лекции используются экранные демонстрации иллюстративного и графического материала.

Ниже в конспективной форме рассматриваются основные разделы курса, сопровождаемые методическими комментариями. Нумерация формул согласована с основным пособием [1] (см. раздел 7).
5.1. Введение. Элементы теории рассеяния.
Атомное ядро было открыто в начале прошлого столетия в экс­периментах Резерфорда по изучению прохождения α-частиц через тонкие плёнки золота и некоторых других металлов. Опыты Резерфорда показали, что при прохождении плёнки толщиной несколько тысяч межатомных расстояний некоторые (очень немногие) частицы резко меняют направление своего движения, в то время как подавляющее большинство частиц почти не отклоняется от своего пути. Например, при прохождении пучка α-частиц, имеющих скорость 1.8 10­⁹ см / с, через слой золота толщиной 6•10^-6 см в среднем одна частица из 20 000 отклонялась на угол порядка . Более того, угловое распределение рассеянных частиц совпадало с теоретически рассчитанным Резерфордом же сечением рассеяния заряженных частиц на кулоновском центре. С тех пор это сечение носит название Резерфордовского.

Из того факта, что взаимодействие является чисто кулоновским, можно получить ограничения на размер ядра и радиус действия ядерных сил. Минимальное расстояние, на которое может подойти α-частица с энергией E к ядру с зарядом Ze, даётся уравнением

Откуда для энергии α-частицы E= 5 МэВ и для Z= 79 (золото) получаем

Таким образом, сумма радиусов ядра золота и α-частицы не превышает этой величины.

То же самое можно сказать и о радиусе действия ядерных сил. Размеры ядер как минимум на 4 порядка меньше размеров атомов (см). Именно по этой причине влияние конечных размеров ядра на свойства атомов невелико и заметно лишь для электронных s-состояний, волновая функция которых отлична от нуля при r = 0.

Как мы теперь знаем, ядро состоит из протонов и нейтронов (строго говоря, это утверждение справедливо лишь при малых энергиях возбуждения. При энергиях выше 140 МэВ начинают проявляться внутренние степени свободы протонов и нейтронов). Протон и нейтрон – частицы со спином 1/2, массы которых известны достаточно хорошо. Масса протона

,

что в 1836,15 раз больше массы электрона. Масса нейтрона равна . Разность масс протона и нейтрона есть 1,29 МэВ/с², что заметно больше массы электрона (0,511 МэВ /с² По этой причине свободный нейтрон нестабилен и распадается на протон, электрон и безмассовое (возможно имеет очень маленькую массу ) электронное антинейтрино (β-распад). Время жизни нейтрона – ~ 900 с. В стабильных ядрах ядерные силы делают распад нейтрона энергетически невыгодным. Упоминавшаяся выше α-частица это ядро атома гелия состоящее из двух протонов и двух нейтронов и имеющее спин равный нулю.

Поскольку большая часть информации о ядерных силах и структуре ядра была получена из экспериментов по рассеянию, мы начнём с напоминания некоторых вопросов теории рассеяния.





В простейшем случае рассеяния бесспиновых частиц в центрально-симметричном поле волновая функция на больших расстояниях от центра может быть представлена в виде



где k – волновой вектор налетающей частицы . Здесь m – приведённая масса рассеивающихся частиц; Е – их энергия в системе центра масс; − амплитуда рассеяния, которая выража­ется через фазы рассеяния радиальных волновых функций непрерывного спектра . 

Для дальнейшего изложения удобно ввести парциальную ампли­туду



и парциальный вклад в S-матрицу . Для чисто упругого рассеяния . Если есть неупругие каналы, то и вели­чина может служить мерой неупругости процессов. В этом случае неупругое сечение есть

, 

а сечение упругого рассеяния по-прежнему даётся выражением

. 

Полное сечениеесть

. 

Легко убедиться, что имеет место условие унитарности

, 

справедливое и в случае наличия неупругих каналов.
5.2. Рассеяние при малых энергиях. Рассеяние при спин-орбитальном взаимодействии.
Если длина волны много больше размеров рассеивающихся час­тиц, то можно ожидать, что детали ядерного взаимодействия будут несущественны и описание рассеяния заметно упростится. Для рас­сеяния нуклонов такой режим наступает при энергии E < 5 МэВ в с.ц.м. или 10 МэВ в лабораторной системе. При парциальная фаза рассеяния ведёт себя как , а парциальная амплитуда . Таким образом, при выживает только рассеяние в s-волне. Рассеяние в этом случае изотропно и сечение есть



В общем случае, величина a



называется длиной рассеяния. Вообще говоря, длина рассеяния не связана непосредственно с радиусом действия сил. Для выяснения физического смысла длины рассеяния рассмотрим волновую функ­цию в пределе . С учётом уравнения  находим

.

Т


Рис. 1. Длина рассеяния при различной величине притягивающего потенциала

аким образом, длина рассеяния это точка на координатной оси, где линейная интерполяция радиальной волновой функции, взятой за радиусом действия сил, пересекает координатную ось. Длина рас­сеяния может быть как положительной, так и отрицательной даже для потенциала притяжения. На рис. 1 представлена эта ситуация. На левой стороне рисунка показано, что притяжение недостаточно для образования связанного состояния. В этом случае максимум волновой функции находится за пределами радиуса действия сил и линейная интерполяция от выдаёт отрицатель­ную длину рассеяния. По мере углубления потенциала максимум передвигается в сторону меньших и длина рассеяния становится всё более отрицательной. Когда в потенциале по мере его углубления появляется уровень с , то волновая функция за радиусом действия сил становится не зависящей от координат, что соответствует длине рассеяния уходящей в . При дальней­шем увеличении притяжения появляется связанное состояние с и максимум волновой функции смещается внутрь радиуса действия ядерных сил. В этом случае линейная интерполяция вол­новой функции пересекает ось координат при положительных , как показано на правой части рис. 1. Дальнейшее углубление по­тенциала будет приводить к периодической смене знака при каж­дом появлении нового уровня.

При рассеянии нейтрона на протоне следует учесть, что взаи­модействие зависит от спинов, и поэтому длина рассеяния будет различной при разном суммарном спине . В триплетном состоянии длина рассеяния будет , а в синглетном состоя­нии − , . При рассеянии неполяризованных частиц сечение упругого рассеяния принимает вид



в соответствии с тем, что из четырёх спиновых состояний три при­надлежат спину 1 и одно спину 0. В неполяризованном случае отно­сительный знак длин рассеяния остаётся неопределённым.
При наличии спин-орбитального взаимодействия у рассеянной частицы может измениться проекция спина. В этом случае амплитуда рассеяния становится оператором, связывающим спиновые состояния падающей и рассеянной волн:

,

т.е. имеется рассеяние с переворотом спина, даже если мишень имеет спин равный нулю. Сохраняющимися вели­чинами в этом случае являются , и . S-мат­рица, как и фаза, зависит теперь от пары индексов (l , j):

. 

Поскольку принимает только два значения, в дальнейшем мы будем обозначать как , а соответствующие элементы S-матрицы как . При рассеянии с полным мо­ментом в амплитуду рассеяния входит , а при рассеянии с полным моментом входит . Если ввести проекционные операторы на эти состоя­ния



то амплитуда рассеяния записывается в следующем общем виде:



Подставляя явный вид операторов проектирования , находим:



Если за ось z принять направление падающей волны, то угол будет совпадать с полярным координатным углом. Тогда действие оператора на можно вычислить, взяв оператор орбитального момента в координатном пред­ставлении



В этом случае



Производная полинома Лежандра даёт первый присоеди­нённый полином Лежандра



а компоненты и , стоящие в скобках в уравнении , сов­падают с компонентами единичного вектора перпендику­лярного плоскости рассеяния, который в нашем случае, ко­гда импульс падающей волны направлен вдоль оси z, имеет только x- и y-компоненты.

. 

Окончательно, пользуясь выражениями ,  и , находим



где





В ядерных взаимодействиях есть инвариантность относи­тельно обращения времени, поэтому вид амплитуды  устанавливается однозначно. Кроме спина единственным Т-нечётным вектором является -нормаль к плоскости рассеяния. При отражении времени начальный и конечный импульсы меняются местами, поэтомуменяет знак.
5.3. Протон-протонное рассеяние. Кулон-ядерная интерференция.
При рассеянии тождественных частиц рассеяние на угол и на угол неразличимы (рис. 2). В классиче­ской механике если рассеяние на данный угол идёт с двух или более прицельных параметров, то сечение рассея­ния на данный угол есть просто сумма сечений, отвечаю­щим этим прицельным параметрам

.

В квантовом случае нужно складывать не вероятности, а амплитуды. При этом знак в суперпозиции амплитуд зави­сит от статистики. Для бозе-статистики волновая функция симметрична относительно перестановки частиц, а для ферми-статистики – антисимметрична. Соответственно для бозе-частиц

, 

а для ферми-частиц

.  Здесь – спиновые переменные частиц. Частицы со спином 1/2 при рассеянии могут находиться в триплетном или синглетном состоянии. В триплетном состоянии спиновая функция симметрична относительно перестановки спинов, а в синглетном состоянии антисимметрична. Тогда

ампли­туда рассеяния в триплетном состоянии имеет вид



а в синглетном состоянии



т. е. для частиц со спином пространственная часть ампли­туды может быть как симметричной, так и антисимметрич­ной. Если в классическом случае сечение рассеяния на для тождественных частиц в 2 раза превышает сечение для нетождественных частиц, то для рассеяния протонов в синглетном состоянии сечение рассеяния на оказыва­ется в 4 раза больше, чем для нетождественных частиц, а триплетном состоянии оно вообще равно нулю. В обоих случаях сечение симметрично относительно . При вы­числении полного сечения, чтобы избежать двойного счёта, интегрировать нужно только по половине полного телес­ного угла.
Для чисто кулоновского рассеяния уравнение Шре­дингера может быть решено аналитически. Из-за медленного падения потенциала с расстоянием асимптотика волновой функции отличается от  наличием кулонов­ской фазы



где – кулоновский параметр



а амплитуда кулоновского рассеяния имеет вид



Обменная часть амплитуды получается из уравнения  заменой на , при этом . Для рассеяния непо­ляризованных протонов

.

Пользуясь уравнениями  и , находим



где – масса протона. В классическом пределе ин­терференционный член быстро осциллирует и при усредне­нии по небольшому интервалу углов внутри разрешения детектора исчезает. В противоположном (борновском) пре­деле интерференционный член стопроцентно важен. В этом пределе



В этом случае сечение рассеяния имеет минимум при рассеянии на π/2.
Дифференциальное сечение кулоновского рассеяния  расходится на малых и больших углах. Это значит, что несмотря на относительную слабость кулоновского взаимодействия всегда найдётся область углов, в которых кулоновское рассеяние будет сравнимо с ядерным и их нужно учитывать одновременно. Сильная зависимость от углов в кулоновской амплитуде  свидетельствует о том, что в амплитуду дают вклад много парциальных волн. При низких энергиях, в силу короткодействующего харак­тера ядерных сил, только самые низшие из них будут иска­жены ядерным взаимодействием. Ниже рассмотрен случай, когда заметно искажена только s-волна.

Разложение по парциальным волнам кулоновской ам­плитуды имеет вид



где кулоновский сдвиг фаз выражается через Γ-функ­цию и может быть найден прямым интегрированием ампли­туды  с полиномом Лежандра:

. 

Ядерное взаимодействие порождает дополнительный вклад в фазовый сдвиг, поэтому в полной амплитуде мы должны заменить , где – дополнительная фаза, возни­кающая от ядерного взаимодействия. Вообще говоря, в присутствии кулоновского отталкивания фаза не совпа­дает с чисто ядерной фазой в отсутствии кулоновского взаимодействия. В частности, меняется даже асимптотика при . Для s-волны вместо мы получаем

. 

Фактор есть проницаемость кулоновского барьера. Чтобы оказаться на малых расстояниях, где ядерное взаи­модейст­вие имеет место, протоны должны протуннелиро­вать сквозь кулоновский барьер.

Полную амплитуду рассеяния с учётом ядерной s-волны можно записать в таком виде:



где мы прибавили и вычли кулоновскую s-волну, чтобы вы­делить чисто кулоновскую амплитуду . Для вычисле­ния сечения нам нужно знать спиновую волновую функ­цию. Два протона в s-волне могут находиться только в синглетном состоянии. С учётом этого для сечения находим



где

Главная особенность сечения  – наличие кулон–ядер­ной интерференции, пропорциональной , что позво­ляет нам определить не только величину, но и знак ядерной фазы рассеяния.

На рис. 3 приведены дифференциальные сечения про­тон-протонного рассеяния при энергии протонов 2.94 МэВ в с.ц.и. в сравнении с чисто кулоновским рассеянием.