Учебный курс «Атомное ядро»
5.10 Модели независимых частиц. Ферми-газ. Обоснование модели оболочек. Магические числа.
Здесь нас будут интересовать свойства индивидуальных составляющих ядра. В предыдущей лекции мы видели, что ядерное вещество существует в форме капель, которые сами себя держат. Частицы связаны в капле и испарение частицы требует дополнительной энергии. Ядерное вещество проявляет упругие свойства и имеет поверхностное натяжение. Все эти свойства говорят о том, что взаимодействие между составляющими ядро частицами является определяющим. Учёт взаимодействия в многочастичной системе представляет сложную задачу даже в классической механике. К счастью, как и в классической физике, значительная часть взаимодействия усредняется благодаря тому, что много степеней свободы взаимодействуют одновременно. Ещё один фактор усреднения идёт от ферми-статистики. Наиболее устойчивая когерентная часть взаимодействия может быть представлена как среднее поле, порождаемое всеми частицами и определяющее движение каждой из них.
Идея среднего поля в системах многих тел имеет уже почти столетнюю историю. Имеется много примеров того, насколько плодотворна оказалась эта идея. В том или ином виде концепция среднего поля является основой практически всех количественных теорий систем многих тел. В этом подходе взаимодействие между составляющими разделяется на две компоненты: среднее поле и остаточное взаимодействие. На этом этапе мы не будем углубляться в детали этого разделения. Вместо этого мы будем ориентироваться на свойства ядер, известные из эксперимента. Они укажут нам те области, где проявляется динамика индивидуальных частиц.
В качестве первого шага в воплощении этой идеи мы будем рассматривать среднее поле как внешнее поле со свойствами, диктуемыми из эксперимента. Такое поле не является самосогласованным, как это должно быть. В этом случае мы не знаем, как изменение движения одной частицы меняет поле, действующее на остальные частицы. Это недостаток такого приближения. Тем не менее можно надеяться, что поскольку поле порождается многими частицами, то только синхронное, когерентное возбуждение многих из них будет заметно менять среднее поле. Некогерентные возбуждения индивидуальных частиц и случайные процессы типа столкновений после усреднения будут мало влиять на среднее поле. Самосогласованную взаимосвязь между полем и одночастичными степенями свободы мы будем вводить на следующем этапе.
Другой аспект проблемы заключается в том, что частицы и их остаточное взаимодействие в среднем поле отличаются от частиц и взаимодействия в вакууме. Частицы «одеты» частью взаимодействия, которое таким образом уже учтено. Фактически мы имеем дело с новыми объектами, движущимися в среднем поле: «голые» частицы, сопровождаемые облаком изменений в среде, индуцированным их присутствием. Ландау назвал эти объекты квазичастицами. Этот термин используется также и в другом смысле («боголюбовские квазичастицы» в теории парных корреляций). По этой причине мы во многих случаях будем называть эти объекты частицами, помня о том, что они не совпадают с первоначальными нуклонами.
Свойства квазичастиц на этом этапе также должны быть взяты из эксперимента. Число квазичастиц совпадает с числом первоначальных «голых» частиц. В процессе одевания сохраняются точные квантовые числа: спин, электрический заряд, изоспин, фермиевская статистика. Но некоторые количественные характеристики могут измениться. В частности, частицы движутся с эффективной массой, отличающейся от массы нуклона, у них меняется магнитный момент и т. д. При малых скоростях всё квазичастичное облако движется как целое; при внезапном возмущении можно видеть голую частицу. По этой, а также и другим причинам среднее поле и эффективные силы между квазичастицами должны зависеть от скорости.
Взаимодействие, ответственное за формирование среднего поля, есть нуклон-нуклонное взаимодействие, перенормированное присутствием других нуклонов, а также из-за изменения мезоно-обменных сил в среде. Среднее поле формируется наиболее гладкой и регулярной компонентой этого взаимодействия. Например, мы должны усреднить эффекты, генерируемые присутствием сильного отталкивания на малых расстояниях. Эффективно, это эквивалентно подавлению высоких фурье-компонент в волновой функции. Это ещё одна причина, по которой мы нуждаемся во введении эффективных сил для прямого вывода свойств среднего поля.
В этом разделе мы будем считать среднее поле заданным и будем изучать движение независимых фермионов в этом поле. В дальнейшем мы перейдём к эффектам остаточного взаимодействия, которые дают связь между полем и одночастичным движением и к вычислению самого среднего поля. В этом разделе мы рассмотрим простейшую форму среднего поля в виде куба со стороной , где V – объём системы. Частицы удерживаются стенками в этом объёме и свободно движутся внутри кубика. Если забыть о том, что стенки есть результат взаимодействия, то частицы не взаимодействуют между собой.
Если объём V и число частиц А достаточно велики, то точная форма объёма становится несущественной. Основные величины зависят от плотности . Это так называемый термодинамический предел, в котором все наблюдаемые являются либо экстенсивными, пропорциональными А или V , как, например, объёмная энергия в формуле масс , либо интенсивными, как, например, плотность вещества или энергии, давление или температура. Интенсивные величины описывают локальные свойства материи. В термодинамическом пределе они зависят от плотности, а не от А или V по отдельности. Как мы уже обсуждали выше, в связи с формулой масс реальные ядра являются мезоскопическими объектами, которые не полностью достигают этого предела.
Ещё одна особенность, которая видна в формуле масс и которая обычно отсутствует в физике конденсированных сред, связана с тем, что нескомпенсированный электрический заряд ядра также нарушает законы термодинамического предела. Электростатическая энергия растёт быстрее, чем А или V. Это объясняет быстрое уменьшение энергии связи и неустойчивость по отношению к делению сверхтяжёлых элементов. Явление мультифрагментации – распад высоковозбуждённой ядерной системы, возникающей при столкновении тяжёлых ионов, на лёгкие фрагменты также определяется наличием макроскопического кулоновского отталкивания. Сильное влияние кулоновского отталкивания связано с дальнодействующим характером кулоновским сил, их действие распостраняется на весь объём системы. Подобная ситуация известна в астрофизике, где массивные астрономические объекты взаимодействуют через дальнодействующие гравитационные силы.
Если одночастичная энергия монотонно возрастает с увеличением импульса р, то очевидно, что основному состоянию системы будет отвечать равномерное заполнение А нижайших орбиталей.
Предположим для простоты, что число частиц кратно g и все квартеты вырожденных состояний либо полностью заполнены, либо полностью пусты. Граница между заполненными и пустыми орбитами называется поверхностью Ферми . В нашем случае поверхность Ферми является сферой в импульсном пространстве радиуса
,
содержащей ровно А орбиталей. Из уравнения следует, что импульс Ферми определяется только плотностью частиц независимо от закона дисперсии :
.
Волновой вектор определяет длину волны де Бройля на поверхности Ферми . Если определить среднее расстояние между частицами как
,
то оно почти совпадает с :
,
что даёт для g = 4. На поверхности Ферми волновые пакеты частиц находятся на грани перекрытия. Средняя плотность ядерного вещества даёт для волнового вектора.
Состояния на поверхности Ферми имеют энергию
.
Энергия Ферми определяет границу заполнения в энергетическом пространстве. Для квадратичного спектра энергия
Ферми равна
.
Поскольку в выражении энергия Ферми реально зависит только от плотности на степень (спин-изоспиновой) свободы , то результат не изменится, если нейтроны и протоны рассматривать как два различных газа с плотностью .
Энергия Ферми совпадает по порядку величины с температурой квантового вырождения. Для приведённой выше величины энергия Ферми равна. Имеются указания на то, что эффективная масса на поверхности Ферми составляет, что даёт. Нагреть ядро до таких температур не представляется возможным. Много раньше оно перестаёт существовать как связанное состояние. Реально мы всегда работаем при температурах, много меньших, чем . Ядерный ферми-газ сильно вырожден и законы квантовой статистики, связанные с антисимметрией волновых функций и принципом Паули, являются определяющими.
Внешнее возмущение вырожденной Ферми системы, действующее с частотой , воздействует сначала на частицы находящиеся вблизи поверхности Ферми. Частицы на более глубоких орбитах «заморожены», так как энергии недостаточно, чтобы переместить их в пустые орбиты выше поверхности Ферми. Отклик системы на возмущение полностью определяется числом доступных частиц вблизи поверхности Ферми, которое, в свою очередь, определяется плотностью одночастичных уровней . Для квадратичного закона дисперсии имеем из уравнения
,
или, пользуясь выражениями и
.
Плотность уровней при энергии ε отличается от выражения простым фактором
.
Полная энергия основного состояния для занятой ферми-сферы даётся выражением
.
Для квадратичного спектра, пользуясь формулами и , находим
.
Как и положено объёмной энергии, она пропорциональна числу частиц со средней энергией на частицу
.
Во всех приведённых выше формулах мы предполагали, что минимальная одночастичная энергия соответствует дну ящика, и принимали её за начало отсчёта энергии. Чтобы модель напоминала реальное ядро, мы должны сделать все энергии ε отрицательными. Для этого вместо формулы мы должны написать
,
где – глубина потенциальной ямы, . Энергия Ферми в этом случае отрицательна, её абсолютное значение совпадает с энергией отделения частицы с поверхности Ферми. Почти все результаты остаются неизменными. Полная энергия приобретает дополнительный отрицательный член . Вместо выражения для объёмной энергии мы имеем
.
Это выражение может быть использовано для грубой оценки глубины потенциальной ямы (простейшая модель среднего поля). Используя для величину объёмного коэффициента из формулы масс, получаем МэВ в зависимости от величины эффективной массы .
Одночастичная плотность уровней, обсуждавшаяся выше, является плавной функцией энергии. Это согласуется с плавным поведением формулы масс, но не может объяснить отклонения от неё, видимые на рис. 11. Здесь мы имеем дело с проявлением кластеризации уровней, так называемой оболочечной структурой.
Существование одночастичных оболочек хорошо известно в атомных системах начиная с легчайшего атома водорода. Это явление определяет всю периодическую систему химических элементов. С точки зрения теории, оболочечная структура отражает глубинные свойства динамики. В этой главе мы обсудим основные свойства ядерных оболочек.
Простейшая теория, в которой рассматривается оболочечная структура – это одночастичная модель оболочек. Это практически тот же ферми-газ, но движущийся в более реалистических потенциалах среднего поля. В такой модели учитываются индивидуальные свойства одночастичных орбит выходящих за рамки усреднённого поведения, обсуждавшегося в предыдущей главе.
Мы начнём с перечисления фактов указывающих на реальность ядерных оболочек.
В атомной физике наиболее стабильными являются атомы благородных газов, у которых число электронов таково, что они полностью заполняют данную оболочку. Оболочка в атоме – это набор электронных орбит с квантовыми числами . Эти орбиты имеют близкие энергии , которые не зависят от и отделены от других оболочек большими интервалами энергии.
В ядерной физике мы также видим, что определённые числа протонов и нейтронов дают особенно стабильные ядра. Эти магические числа есть
Поскольку форма среднего поля для протонов и нейтронов почти одинакова, то магические числа оказываются теми же как для протонов, так и для нейтронов. Наиболее стабильными являются дважды магические ядра . Как видно из рис. 11, в районе дважды магических ядер заметно возрастает энергия связи. По аналогии с атомами мы будем называть оболочки, даваемые магическими числами , главными или большими оболочками. Главные оболочки разделены довольно большой энергетической щелью, которая подавляет смешивание орбиталей с орбиталями, принадлежащими соседней оболочке.
Кроме эффектов, связанных с заполнением главных оболочек, видны также эффекты связанные с заполнением подоболочек с числами нейтронов и протонов 28, 40 и др. Расстояние между подоболочками внутри данной главной оболочки меньше, чем между главными оболочками.
Ядра с магическим Z имеют большее число стабильных (в ядерном смысле, не по отношению к бета-распаду) изотопов с различными N, а ядра с магическим N – большее число стабильных ядер с различными Z. По-видимому, рекордным является набор изотопов олова с Z = 50, которые покрывают весь интервал между двумя магическими числами нейтронов, от .
5.11 Потенциал гармонического осциллятора. Потенциал прямоугольной ямы.
Начинаем обсуждение оболочечной структуры с простейшей, аналитически решаемой модели среднего поля: потенциал изотропного гармонического осциллятора. Эта модель будет являться отправной точкой для развития более сложных приложений оболочечной модели и будет давать возможность делать грубые, хотя и вполне разумные оценки. К недостаткам модели следует отнести излишнюю симметрию, ведущую к полному вырождению внутри главных оболочек, и отсутствие непрерывного спектра. Для лёгких ядер эта модель может быть вполне хорошим приближением, поскольку нуклоны движутся вблизи дна ямы, а вблизи точки равновесия любой потенциал является гармоническим в некоторой области пространства.
Одночастичный гамильтониан этой модели имеет вид
.
Его собственные значения есть
,
где учтена энергия нулевых колебаний . Целое число играет роль главного квантового числа.
Для моделирования атомных ядер полем гармонического осциллятора, параметры гамильтониана должны быть подобраны так, чтобы воспроизводить глобальные свойства ядерного среднего поля. В нашем случае имеется только один подгоночный параметр , поэтому нет необходимости вводить отдельно эффективную массу.
Условие согласования заключается в том, что среднеквадратичный радиус ядра как целого, найденный в модели, должен совпадать с тем, который известен из ядерной плотности :
.
Левая часть выражения может быть вычислена явно усреднением среднего значения по всем занятым состояниям:
.
Суммирование по N даёт
.
Комбинируя уравнения и и полагая ф, мы находим искомое значение для частоты осциллятора
МэВ.
Таким образом, расстояние между оболочками уменьшается с ростом массового числа.
Одночастичная схема уровней вырожденных главных осцилляторных оболочек представлена в левой части рис. 20. Возможные значения орбитального момента и вместимость оболочек, определяющая магические числа, указаны с левой стороны. Обозначения, использованные в этой схеме, включают спектроскопическое обозначение орбитального момента и последовательная нумерация появления данного орбитального момента по мере продвижения к более высоким энергиям возбуждения.
Потенциал гармонического осциллятора не очень реалистичен из-за высокой степени симметрии и связанного с этим вырождения. Кроме того, ядерная плотность достаточно плоская функция внутри ядра. Потенциал среднего поля ожидается примерно той же формы, что и плотность. Потенциал прямоугольной ямы является другим простым случаем, допускающим аналитическое решение и имеющим плоскую форму дна.
Радиальная волновая функция с орбитальным моментом l имеет вид
.
Эта функция должна быть непрерывно сшита с экспоненциально падающей функцией в классически недоступной области
,
где – сферическая функция Макдональда – сферическая функция Бесселя от мнимого аргумента с экспоненциально падающей асимптотикой при .
Наиболее просто условие квантования выглядит для ямы с бесконечными стенками. В этом случае для энергий, находящихся на конечном расстоянии от дна ямы, волновая функция обращается в ноль на границе ямы. Уровни энергии даются корнями сферической функции Бесселя на границе
.
Получившаяся последовательность уровней для ямы с бесконечными стенками приведена также на рис. 20 с правой стороны. Главное отличие по сравнению со случаем гармонического осциллятора заключается в том, что исчезло вырождение. Плотность уровней стала более равномерной функцией энергии, хотя энергетические щели между оболочками всё ещё заметны. Уровни с бо́льшим орбитальным моментом лежат ниже, чем уровни с меньшим l. Этот эффект легко объясним. Состояния с бо́льшим l локализованы на бо́льших расстояниях от центра по сравнению с состояниями с малым l. На этих расстояниях плоский потенциал ямы проходит ниже, чем потенциал осциллятора, поэтому притяжение в яме сильнее. Этот эффект согласуется с эмпирическими данными.
Ещё один эффект появляется в более высоких оболочках. Уровень с большим l (например, 1h) сдвигается вниз настолько, что попадает в область уровней предыдущей оболочки, имеющих противоположную чётность. Такой уровень носит название «интрудер». Снятие вырождения меняет магические числа начиная с N = 3, но они всё ещё не совпадают с наблюдаемыми. Интерполяция между осциллятором и бесконечной ямой, показанная в средней части рис. 20, компенсирует слишком сильное понижение уровней с большим l за счет сглаживания слишком крутого подъёма стенок ямы. Тем не менее магические числа всё ещё не воспроизводятся.
5.12 Роль спин-орбитального взаимодействия. Реалистическая схема уровней сферических ядер. Магнитные моменты нечетных ядер.
В предыдущих обсуждениях мы не принимали во внимание никаких сил, зависящих от спина. Для ядра с одним нуклоном поверх заполненного кора спин-спиновые и тензорные силы между внешним нуклоном и нуклонами кора не дают вклада в одночастичную энергию, так как в коре все спины скомпенсированы и усреднение по ним обращает вклад этих сил в ноль. Однако это не имеет место для спин-орбитальных сил. Эффективный потенциал среднего поля может содержать спин-орбитальный член
.
Легко показать, что это единственная комбинация первого порядка по импульсу нуклона, удовлетворяющая всем условиям инвариантности.
В результате действия спин-орбитального взаимодействия одночастичный уровень с орбитальным моментом l и спином 1/2 расщепляется в спин-орбитальный дублет с полными угловыми моментами . Пользуясь тем, что , для сдвигов энергии в дублете находим
Для данной радиальной функции расщепление растёт с l пропорционально (2l +1). В ядерной спин-орбите всегда отрицательна. В этом случае состояние с бо́льшим полным угловым моментом лежит ниже.
В результате спин-орбитального расщепления одночастичные уровни в сферически симметричном среднем поле характеризуются набором квантовых чисел , где m есть собственное значение . Семейство состояний, принадлежащих одному, носит общее название – мультиплет. Орбитальный момент l определяет четность мультиплета . Энергия уровня не зависит от m , что приводит к -кратному вырождению мультиплета.
Нижняя компонента спин-орбитального дублета j = l+1/2, сдвинута вниз по сравнению с её положением в потенциале, не зависящим от спина. Этот сдвиг может быть уже настолько большим, что уровень становится «интрудером», попадая в область орбиталей предыдущей осцилляторной оболочки, содержащей уровни противоположной чётности. Этот механизм приводит к образованию новых оболочек, воспроизводящих в точности наблюдаемые магические числа. Отсюда можно оценить величину спин-орбитальной связи, которая оказывается порядка
МэВ.
На рис. 21 показана типичная схема уровней и новые оболочки с правильными магическими числами, обязанными спин-орбитальному расщеплению. Точный порядок следования j-уровней (подоболочек) внутри каждой главной оболочки зависит от многих дополнительных факторов в каждом конкретном ядре. От ядра к ядру могут также меняться расстояния между подоболочками и даже расстояния между главными оболочками. Более точное описание требует решения уравнения Шредингера для частицы в поле
,
где содержат подгоночные параметры. Обычно, центральный потенциал выбирается в форме потенциала Вудса–Саксона,
Рис.21. Одночастичная схема уровней в сферической модели оболочек со
спин-орбитальным взаимодействием
с параметрами, близкими к тем, что извлекаются из ядерной плотности и рассеяния электронов, радиус, ф, диффузность ф. Глубина потенциала 50 МeV для ядер с но есть дополнительный вклад , который уменьшает глубину с увеличением нейтронного избытка или, что то же самое, изоспина основного состояния .
Спин-орбитальный потенциал обычно сконцентрирован на поверхности. Его можно выбирать как производную центральной части потенциала
,
где изоспиновая зависимость также присутствует
МэВ.
В нечётном ядре из-за наличия спаривания спин и магнитный момент ядра определяются полным угловым моментом валентного неспаренного нуклона. Остальные нуклоны образуют чётный кор, имеющий квантовые числа и в приближении независимых частиц не дающий вклада в магнитный момент ядра.
Оператор магнитного момента для частицы движущейся в центральном поле имеет вид
,
где – ядерный магнетон, и – спиновое и орбитальное гиромагнитные отношения для нуклонов. Используя векторную модель, мы можем найти средние значения спина и орбитального момента через полный момент частицы:
,
.
Для усреднённого оператора магнитного момента получаем
,
где эффективное гиромагнитное отношение (фактор Ланде) есть
– орбитальное и спиновое гиромагнитные отношения. Спиновые гиромагнитные отношения определяются магнитными моментами свободных протона и нейтрона. Орбитальное гиромагнитное отношение для протона , а для нейтрона , так как нейтрон не имеет электрического заряда. Табличное значение магнитного момента – среднее значение , взятое по состоянию с максимальной проекцией , .
Полный угловой момент нуклона может быть . Для этих двух случаев магнитные моменты принимают следующие значения
и
.
Зависимость магнитных моментов от j , даваемая выражениями и , так называемые линии Шмидта показана на рис. 23. В квазиклассическом пределе , предсказания уравнений и становятся очень простыми. Нейтронный магнитный момент, имеющий только спиновый вклад, равен для всех j, в зависимости от взаимной ориентации s и l; протонный магнитный момент линейно растёт, как , из-за наличия орбитального вклада.
Из рис. 23 видно, что реальные значения магнитных моментов как для нечётных протонов, так и для нечётных нейтронов лежат между линиями Шмидта. Исключения составляют только два ядра с A = 3, , где магнитные моменты лежат за пределами линий Шмидта. На том же рисун ке показаны ещё линии, соответствующие случаю отсутствия аномального магнитного момента, когда для протона и для нейтрона. Видно, что реальное значение магнитного момента отвечает промежуточному значению гиромагнитного отношения между свободным нуклоном и точечной частицей. Отметим, что наиболее близкими к линиям Шмидта значениям магнитного момента оказываются магнитные моменты состояний .
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Экзаменационные вопросы по курсу «Атомное ядро»
Ядерные силы. Симметрии и структура потенциалов.
Правила отбора для мультипольных моментов.
Структура и свойства дейтрона. Влияние тензорных сил.
Рассеяние быстрых электронов на ядрах. Формфакторы, их свойства.
Нуклон-нуклонное рассеяние при низких энергиях. Длина рассеяния.
Упругое нуклон-ядерное рассеяние быстрых нуклонов. Оптическая модель.
Амплитуда рассеяния для тождественных частиц со спином ½.
Модель жидкой капли. Кинетическая энергия колебаний поверхности.
Потенциальная энергия колебаний поверхности в модели жидкой капли.
Устойчивость ядер по отношению к делению.
Изовекторные моды колебаний. Гигантский резонанс.
Энергии связи ядер. Формула Вайцзекера.
Осцилляторная модель оболочек. Роль спин-орбитального взаимодействия.
Деформированная модель оболочек. Анизотропный осциллятор.
Парные корреляции. Вырожденная модель.
Модель БКШ для парных корреляций. Каноническое преобразование.
Гамма-излучение ядер. Электрические и магнитные мультиполи.
Оценка вероятности одночастичных гамма-переходов.
Слабое взаимодействие в ядрах. Оценка вероятности бета-распада для переходов Ферми.
Спектр электронов в бета-распаде нейтрона. График Кюри. Влияние массы нейтрино.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. В. Ф. Дмитриев, В.Г. Зелевинский, Атомное ядро, учебное пособие, изд. НГУ, 2006.
2. О. Бор, Б. Моттельсон, Структура атомного ядра, т.1, М: Мир, 1971.
3. О. Бор, Б. Моттельсон, Структура атомного ядра, т.2, М: Мир, 1977.
4. М. Престон, Физика ядра, М: Мир, 1964.
б) дополнительная литература:
2. А.Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем, М: Наука, 1965.
3. В.Г. Соловьев, Теория сложных ядер, М: Наука, 1971.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
1. Веб-страница корнеллского архива препринтов по ядерной физике http://arxiv.org/list/nucl-th ,
где содержатся теоретические работы по ядерной физике.
2. Веб-страница корнеллского архива препринтов по ядерной физике http://arxiv.org/list/nucl-ex ,
где содержатся экспериментальные работы по ядерной физике.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Необходим мультимедийный проектор, соединенный с компьютером.
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании ____________________________________________
(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)
от ___________ года.
страница 1 ... страница 2страница 3страница 4
скачать
Другие похожие работы: