Учебный курс «Методы математической физики»

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

1. 
   Разделение переменных в задаче круглой мембране. Функции Бесселя.
   
2. 
   Разделение переменных в уравнении Шрёдингера для частицы в центрально-симметричном поле. Присоединенные функции Лежандра. Сферические гармоники. Функции Бесселя с полуцелым индексом.
   
3. 
   Решение дифференциального уравнения второго порядка вблизи обыкновенной точки и регулярной особой точки. Характеристические показатели.
   
4. 
   Функция Гаусса и вырожденная гипергеометрическая функция.
   
5. 
   Уравнение Шрёдингера для осциллятора и атома водорода. Полиномы Эрмита и Лагерра.
   

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

1. 
   Асимптотика интегралов Интеграл Лапласа.
   
2. 
   Случаи стационарной точки на границе и внутри отрезка интегрирования. Асимптотика Γ– функции Эйлера.
   
3. 
   Метод стационарной фазы. Асимптотика функции Бесселя.
   
4. 
   Метод перевала. Асимптотика функций Лежандра и Эйри.
   
5. 
   Метод усреднения. Асимптотика усредненного решения дифференциального уравнения.
   

Программа лекций (6-й семестр)

ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП

1. 
   Симметрия молекул (повороты, отражения, зеркальные повороты). Определение группы, гомоморфизм, изоморфизм. Примеры конечных групп: C_n, D_n, T, O, Y.
   
2. 
   Основные понятия теории групп: порядок элемента и группы, подгруппа, смежный класс, класс сопряженных элементов, нормальная подгруппа, центр, фактор-группа.
   
3. 
   Матричные представления конечных групп. Единичное, точное, регулярное представления, размерность представления. Приводимые и неприводимые представления. Лемма Шура. Соотношение ортогональности неприводимых представлений. Таблица характеров. Соотношение ортогональности характеров. Разложение представления на неприводимые.
   
4. 
   Симметрии, законы сохранения и вырождение в квантовой механике. Снятие вырождения при понижении симметрии. Использование симметрии для расчета кратности вырождения колебаний молекул.
   
5. 
   Общие свойства групп Ли, связность, размерность, компактность. Примеры групп Ли: GL(n,C), U(n,C), SU(n,C), O(n,R), SO(n,R). Алгебра Ли, структурные константы. Инфинитезимальные операторы (генераторы). Алгебра Ли группы Ли.
   
6. 
   Восстановление группы Ли по ее алгебре Ли. Экспоненциальная формула. Группа SO(3), SU(2) и их параметризации. Изоморфизм алгебр Ли ASU(2) и ASO(3). Гомоморфизм группы SU(2) на SO(3). Спиноры.
   
7. 
   Построение неприводимых представлений группы вращений. Повышающий и понижающий операторы, оператор Казимира. Базис представления из сферических гармоник. Связь с квантованием момента импульса.
   
8. 
   Тензорное произведение представлений. Разложение Клебша – Гордана. Тензорные представления группы, понятие тензора. Симметричные тензоры, симметризаторы Юнга. Инвариантные тензоры, расчет количества независимых компонент. Правила отбора.
   

МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА

1. 
   Необходимые условия существования обратного оператора. Фундаментальное решение и функция Грина краевой задачи. Принцип взаимности. Функция Грина уравнения Штурма – Лиувилля на конечном интервале.
   
2. 
   Альтернатива Фредгольма. Разложение обратного оператора по проекторам, нулевые моды. Обобщенная функция Грина.
   
3. 
   Принцип максимума для оператора Лапласа. Единственность решения задач Дирихле и Неймана. Особенность фундаментального решения уравнения Пуассона в пространствах разной размерности. Формула Грина. Функции Грина второго рода для задач Дирихле и Неймана. Потенциалы объемного заряда, простого и двойного слоя. Функция Грина уравнения Гельмгольца. Применение в квантовой теории рассеяния.
   
4. 
   Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Решение с помощью преобразования Фурье. Единственность решения волнового уравнения. Запаздывающая функция Грина. Правило обхода полюсов. Принцип Гюйгенса - Френеля.
   

Примерный план семинарских занятий (5-й семестр)
Все задачи приводятся в нумерации задачника Колоколова и др. (см. ссылку [3] раздела 7). В квадратных скобках указаны необязательные задачи, которые можно решить на занятии, если останется время.
1. Собственные значения. Функции от матриц. Резольвента. Задачи 14, 2, 5, 20. Решить задачу 20 с помощью собственных значений.
2. Унитарные и эрмитовы матрицы, проекторы. Матрицы Паули.

Задачи 1, 4, 8. Вывести формулу . Показать, что для всякой матрицы 2x2 коэффициенты разложения даются формулой , где – единичная матрица. Найти общий вид проектора 2x2. Решить задачу 20 с помощью раздожения по матрицам Паули.
3. Свойства -функции. Ортогонализация. Полнота системы функций. Проверка самосопряженности дифференциальных операторов. Задачи 21 а,б, 24, 27 а,б, 30. Показать, что оператор –+U(x) самосопряжен на отрезке [0,1], если функции удовлетворяют граничным условиям: u(0)=u(1)=0; u'(0)=u'(1)=0, линейной комбинации этих двух, или периодическим u(0)=u(1), u'(0)=u'(1).
4. Линейные уравнения первого порядка. Характеристики. Условие разрешимости задачи Коши. Задачи 36 а,б, 37, 38, 42.
5. Квазилинейные уравнения. Опрокидывание. Задача 43. Найти точку опрокидывания уравнения Хопфа для начального условия u(x,0)=1-th(x) . Найти закон расширения области неоднозначности. Найти точку опрокидывания неоднородного уравнения Хопфа + =1. [+ 45a].
6. Системы линейных уравнений. Приведение к каноническому виду. Задачи 48, 47 а,б. Пример системы квазилинейных уравнений, задача 53.
7. Инварианты Римана и характеристики в случае двух переменных. Задача о политропном газе. Задачи 49, 50, 51, 52 [+58].
8. Характеристические переменные. Области эллиптичности и гиперболичности. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Исключение первых производных. Задачи 59 а,б,в, 60 а. Исключить первую производную в уравнениях ; .
9. Поиск автомодельной подстановки с помощью масштабных преобразований. Автомодельные решения линейного и нелинейного уравнения теплопроводности. Решения нелинейных уравнений типа бегущей волны. Солитоны. Задача 98. Найти автомодельное решение задачи = , u(x,0)=, u(0,t)=0. Задача 100 при n=2. Задачи 102, 103, 110 [+108,111].
10. Решение волнового уравнения, уравнений теплопроводности и Лапласа методом Фурье. Задачи 68, 71, 72, 73, 75,79. [+76,78].
11. Разделение переменных уравнения Шредингера в ортогональных системах координат. Разделить переменные стационарного уравнения Шредингера в сферических координатах. Задачи 88 в, г.
12-13. Сферические гармоники. Полиномы Лежандра, Лагерра и Эрмита: разложение, рекуррентные соотношения, производящая функция, интегральное представление, соотношение ортогональности. Задачи 127, 128, 130, 157, 158, 137, 159. Получить формулу Родрига для полиномов Лагерра из интегрального представления
14-15. Основные свойства функции Бесселя: разложение, рекуррентные соотношения, производящая функция, интегральное представление, соотношение ортогональности. Задачи 161, 162, 139, 142, 143, 144, [+147, 148].
16. Характеристические показатели в особых точках. Определяющее уравнение. Гипергеометрические функции. Выразить ln(1+z)/z и через гипергеометрическую функцию. Задачи 120, 152, 153. Выразить функцию Эйри через вырожденную гипергеометрическую функцию. [Решить уравнение Шредингера для атома водорода в параболических координатах].
17. Асимптотика интеграла Лапласа. Задачи 177, 163, 180, 181, 182. Найти асимптотику интеграла .
18. Метод стационарной фазы. Задачи 173, 185, 186, 187.
19. Метод перевала. Седловые точки, рельеф функции, линии Стокса. Асимптотика функции Эйри. Задачи 190, 189, 191, 165, 185 (методом перевала).
20. Асимптотики функции Бесселя и Лежандра. Метод перевала для подынтегральной функции с полюсами. Найти асимптотику функции Бесселя с произвольным индексом, пользуясь представлением Шлефли

, |z|→∞. Задачи 194, 193.

21. Метод усреднения. Преобразование Боголюбова – Крылова. Задачи

167, 169, 170, 195, 196, 171, 197, 168 [+198].
Примерный план семинарских занятий (6-й семестр)
Все задачи приводятся в нумерации задачника Колоколова и др. (см. ссылку [3] раздела 7). В квадратных скобках указаны необязательные задачи, которые можно решить на занятии, если останется время.
1. Группа симметрии правильного треугольника: таблица умножения, подгруппы, смежные. Задачи 292, 293, 295, 294, 296, 283, 297, 284.
2. Сопряженные классы, инвариантные подгруппы, фактор-группы. Группы подстановок. Задачи 302 (а), 303, 306, 307, 309 (а). Найти порядок группы вращений куба.
3. Группа симметрии квадрата и куба. Центр группы. Задачи 302 (б), 287, 299, 286, 305.
4. Матрицы неприводимых представлений группы треугольника. Характеры. Соотношения ортогональности. Разложение произвольного представления на неприводимые. Найти неприводимые представления группы треугольника и построить таблицу неприводимых характеров. Построить и сравнить таблицы неприводимых характеров групп D₂ и C₄. Задачи 309 (б), 310, 311.
5. Таблица неприводимых характеров группы квадрата. Кратности вырождения нормальных колебаний симметричной молекулы. Задачи 344. Двумерная система из трех одинаковых грузов в вершинах правильного треугольника. Грузы соединены между собой и с центром одинаковыми пружинами. Выписать матрицы исходного представления и разложить его на неприводимые. В молекуле C₂H₆ треугольник из атомов водорода развернут относительно второго треугольника на 60 градусов. Найти кратности вырождения нормальных колебаний. [То же для NH₃ и CH₃F].
6. Действие элемента группы на функциях. Снятие вырождения при понижении симметрии в задачах о колебаниях круглой мембраны и об уровнях энергии

квантовой системы. Прямое произведение представлений. Снимается ли вырождение колебаний круглой мембраны, если на ее края помещены четыре одинаковых груза в вершинах квадрата? Задачи 349, 350.
7. Примеры групп Ли, вычисление размерности. Различные параметризации. Генераторы, алгебры Ли. Восстановление группы Ли по ее алгебре с помощью экспоненциальной формулы. Задачи 329, 328 (в), (г), 315.
8. Неприводимые представления группы SO(2) и их характеры. Тензорные представления, разложение на неприводимые представления, инвариантные тензоры. Найти размерность тензора ранга n, разложить на неприводимые. Сколько независимых компонент имеет тензор третьего ранга, инвариантный относительно группы SO(2).
9. Неприводимые представления групп O(2) и SO(3) и их характеры. Оператор Казимира в представлении на функциях. Задачи 316, 317(а), 333.
10. Преобразование тензоров при вращении и инверсии. Разложение Клебша – Гордана. Задача 334. Разложить D⁽¹⁾ D⁽¹⁾ на неприводимые в группе SO(3). Выделить линейные комбинации компонент бесследового симметричного тензора второго ранга, которые преобразуются при вращении как Y_2,m.
11. Симметризация тензоров и разложение симметричного тензора на неприводимые. Представления в пространстве полиномов. Задача 340(a),(б),(в).
12. Количество независимых компонент инвариантного тензора. Правила отбора. Сколько независимых компонент имеет тензор второго ранга, инвариантный относительно группы SO(3), D₃ [T]? То же для симметричного тензора. Найти правила отбора для дипольного момента в группах SO(3), D₃ [T].
13. Связь групп SU(2) и SO(3). Оператор Казимира и неприводимые представления. Задача 317 (б), 318. Линейное преобразование вектора r: задается формулой Найти матрицу [341-343].

14. Построение функции Грина для одномерных краевых задач. Фундаментальное решение. Скачок производной. Задачи 219, 220, 199, 224 (а), 225 (а), (б), 227.
15. Функция Грина для оператора Штурма-Лиувилля. Нулевые моды и обобщенная функция Грина. Принцип взаимности. Задачи 228 (а), (б).
16. Функция Грина уравнений Пуассона и Гельмгольца. Задачи Дирихле и Неймана. Характер особенностей в двумерном и трехмерном случаях. Функция Грина второго рода. Интеграл Пуассона. Метод изображений и метод конформных преобразований. Задачи 230, 231, 232, [233], 204, 236,
17. Функция Грина уравнений теплопроводности и Фоккера–Планка. Преобразования Фурье по координатам и времени. Задачи 238, 207 (а), 240, 241, 242 с x3, [208].
18. Функция Грина уравнения Шрёдингера. Правило обхода полюсов.

Запаздывающая функция Грина волнового уравнения. Формула Кирхгофа.

[Пропагатор уравнения Клейна – Гордона – Фока.] Задачи 207 (б), 246, 209-212 [213].
5. Образовательные технологии
Материал лекционного курса увязывается с применениями при решении физических задач. Для этого в начале каждого семестра читается вводная лекция, полностью посвященная применению уравнений в частных производных и симметрии в физике. В лекциях сложные теоремы даются без доказательства, а сэкономленное время используется на разбор большого количества простых примеров применения этих теорем. В экзаменационных билетах включается 1-2 задачи, Именно умение решать задачи, а не знание определений, гарантирует высокую оценку на экзаменах.
Все семинарские занятия проводятся в интерактивной форме. Существенным элементом образовательных технологий является не только умение студента найти решение поставленной задачи, но и донести его до всей аудитории. Умение сходу отвечать на вопросы сокурсников и преподавателя развивает профессиональные навыки, которые будут незаменимы в дальнейшей профессиональной деятельности. Специальные семинары посвящаются разбору контрольных работ. Студенты с особым интересом относятся к решению задач, которые сами недавно пытались решить, задают много вопросов. В этих семинарах в дискуссию активно втягиваются даже те студенты, которые обычно не участвуют в обсуждениях. На семинарах разбираются задачи разной сложности: от простейших упражнений до сравнительно сложных проблем, требующих небольшого исследования.
Важнейшим элементом технологии является самостоятельное решение студентами и сдача месячных заданий. Это единственная полностью индивидуальная форма обучения. Студент рассказывает свое решение преподавателю, отвечает на дополнительные вопросы, решает одну - две простые задачи на ту же тему. Если даже задача была частично или полностью списана, студент все равно приобретает навыки решения задач данного типа. Таким образом, триада: лекции + семинары + задания способствуют активному усвоению материала и позволяют студентам не столько вызубрить теорию, сколько научиться применять ее для решения задач.
Более сложные математические методы физики нужны не всем студентам. Обычно к старшим курсам студенты определятся, кто собирается стать теоретиком или заниматься вычислительной физикой. Для студентов 4-6 курсов, желающих углубить свои знания и познакомиться с более современными методами, раз в несколько лет читается факультативный спецкурс по дополнительным главам математической физики.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрен зачет и экзамен в конце каждого семестра.

Текущий контроль. В течение каждого семестра проводится прием заданий, а в случае необходимости коллоквиум и/или контрольная работа по группам в середине семестра. Результаты текущего контроля служат основанием для выставления оценок в ведомость контрольной недели на факультете, а решение и сдача всех задач из задания является достаточным условием получения зачета.

Домашние задания по курсу «Методы математической физики» (5-й семестр)
ЗАДАНИЕ № 1 (сдать до 25 октября)

1. 
   Вычислить exp(a+bσ), где σ – матрицы Паули, a и b – комплексные скаляр и вектор.
   
2. 
   Найти решение кинетического уравнения
   

в скрещенных электрическом и магнитном полях EH=0. Как выглядят

характеристики?

3. 
   Найти закон колебаний холодного электронного газа относительно однородного неподвижного ионного фона плотности n0. Колебания описываются уравнением непрерывности для плотности электронов n(x,t), уравнением Эйлера для их скорости u(x,t) и уравнением Пуассона для электрического поля E(x,t)
   

При каких начальных значениях амплитуды электрического поля E0 происходит

опрокидывание, если u(x,0)=0, ?

4. 
   Определить тип уравнения _ привести к каноническому виду и решить задачу Коши _ Исследовать разрешимость задачи Коши.
   

ЗАДАНИЕ № 2 (сдать до 25 ноября)

5. 
   Решить задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности на положительной полуоси с начальным условием u(x,0)=x⁴ и граничным условием u_x(0,t)=0.
   
6. 
   На границе бесконечного цилиндра радиуса R температура осциллирует как T(t)=T₀ sin ωt. Найти распределение температуры в цилиндре как функцию времени. Исследовать решение при ω>>χ /R², где χ – температуропроводность.
   
7. 
   Найти собственные частоты ω колебаний шара радиуса R
   

при условии ωR/c>>1.

8. 
   Показать, что уравнение Шрёдингера для двумерного «атома водорода» в электрическом поле F
   

допускает разделение переменных в параболических координатах



Найти уровни энергии E и собственные функции ψ связанных состояний при E =0. Сравнить с ответом в полярных координатах.

ЗАДАНИЕ № 3 (сдать до 25 декабря)

9. 
   Вычислить асимптотику интеграла , где a – комплексная величина, |a| - большой параметр.
   
10. 
    Найти решение ψ(x,t) уравнения Шрёдингера
    

с начальным условием ψ(x,0)=A exp(-|x|/a). Исследовать асимптотику на больших

временах. С какой скоростью движется центр пакета и как меняется его ширина?

11. 
    Методом усреднения найти эволюцию колебаний маятника, испытывающего трение при прохождении точки x=a, и сравнить с точным решением уравнения
    

Задание сдается в форме беседы с преподавателем в специально отведенное время. Приём заданий прекращается в конце зачетной недели!
Задачи, предлагаемые на контрольных работах (5-й семестр)
Вариант 1

1. 
   (2 балла) Найти _.
   
2. 
   (4 балла) Решить задачу Коши _. Когда произойдет опрокидывание?
   
3. 
   (2 балла) Определить тип и привести к каноническому виду x²u_xx+xu_x+u_yy=0.
   
4. 
   (3 балла) Найти автомодельную подстановку u_t=u_xxx , u(x,0)= (x).
   
5. 
   (3 балла) Найти решение уравнения малых колебаний струны
   

_ с начальными условиями

_
Вариант 2

1. 
   (2 балла) Найти _.
   
2. 
   (4 балла) Решить задачу Коши _. Когда произойдет опрокидывание?
   
3. 
   (2 балла) Определить тип и привести к каноническому виду xu_xx +yu_yy+u_x +u_y =0.
   
4. 
   (3 балла) Найти автомодельную подстановку u²u_t=u_xx , u(x,0)= (x).
   
5. 
   (3 балла) Найти решение уравнения малых колебаний струны
   

_ с начальными условиями

_
Дополнительные задачи по курсу «Методы математической физики» (5-й семестр)

1. 
   Найти J₀(₂x), где ₂ – матрица Паули.
   
2. 
   Найти момент опрокидывания решения уравнения Хопфа _.
   
3. 
   Определить тип и привести к каноническому виду _
   
4. 
   Решить задачу Коши _
   
5. 
   Найти автомодельную подстановку для уравнения _
   
6. 
   Сводится ли уравнение Эйри _ к гипергеометрическому?
   
7. 
   Сводится ли к гипергеометрическому уравнение _
   
8. 
   Разделить переменные двумерного уравнения Гельмгольца_ в эллиптических координатах_ch_. Сводится ли получившееся уравнение к гипергеометрическому?
   
9. 
   Найти асимптотику интеграла_ при _ Контур _ обходит разрез _ по верхнему, а _по нижнему берегу.
   
10. 
    Найти асимптотику интеграла _
    
11. 
    Пользуясь представлением _ найти асимптотику функции параболического цилиндра при _ и фиксированном _.
    
12. 
    Решить уравнение Гамильтона–Якоби с начальным условием .
    
13. 
    Найти общее решение уравнения
    

Решить задачу Коши

14. 
    Струна длины l с закрепленными концами в начальный момент имеет форму полуокружности и нулевую скорость. Найти зависимость смещения от координат и времени.
    
15. 
    Найти собственные функции и энергии стационарных состояний двумерного осциллятора в полярных координатах -+r²=2E. Вычислить кратность вырождения.
    
16. 
    Решить задачу Коши_
    
17. 
    Пользуясь рекуррентным соотношением _ и начальными значениями _найти производящую функцию функций Бесселя _
    
18. 
    Найти минимальную частоту собственных колебаний бесконечного упругого цилиндра радиуса R.
    

Вопросы к коллоквиуму

1. 
   Уравнение в частных производных, общее и частное решение.
   
2. 
   Что такое линейное уравнение, уравнение порядка n, система уравнений?
   
3. 
   Характеристики линейного однородного уравнения первого порядка.
   
4. 
   На каких начальных поверхностях можно ставить задачу Коши?
   
5. 
   Схема вычислений при решении линейного неоднородного уравнения первого порядка методом характеристик?
   
6. 
   Схема вычислений при решении квазилинейного уравнения методом характеристик.
   
7. 
   Почему происходит опрокидывание волны в уравнении Хопфа?
   
8. 
   Соотношения на характеристиках системы линейных уравнений с N=2 переменными.
   
9. 
   Инварианты Римана, простая волна.
   
10. 
    Вывод формулы Даламбера.
    
11. 
    Характеристики уравнения второго порядка с N=2 переменными.
    
12. 
    Канонические переменные и канонический вид уравнения второго порядка.
    
13. 
    Классификация по типам уравнений второго порядка с N>2 переменными.
    
14. 
    Является ли канонический вид уравнений второго порядка единственным?
    
15. 
    Автомодельное решение уравнения теплопроводности.
    
16. 
    Уравнение Бюргерса и его решение в виде бегущей волны.
    
17. 
    Разделение переменных, полное разделение.
    
18. 
    Метод Фурье для однородного гиперболического уравнения.
    
19. 
    Метод Фурье для однородного параболического уравнения.
    
20. 
    Метод Фурье для неоднородного гиперболического уравнения.
    
21. 
    Метод Фурье для неоднородного параболического уравнения.