Учебный курс «Методы математической физики»

Список вопросов, знание которых необходимо для сдачи экзамена

1. 
   Общее и частное решение квазилинейного уравнения I порядка.
   
2. 
   Канонический вид уравнения II порядка. Формула Даламбера.
   
3. 
   Автомодельное решение уравнения теплопроводности.
   
4. 
   Метод Фурье для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.
   
5. 
   Разделение переменных в цилиндрических и сферических координатах.
   
6. 
   Функции Бесселя, полиномы Лежандра и Эрмита.
   
7. 
   Асимптотика интеграла Лапласа. Метод стационарной фазы.
   

Пример экзаменационного билета и дополнительных задач

1. 
   Найти асимптотику интеграла _
   
2. 
   Решить задачу Коши _=u, u(x,0)=x.
   
3. 
   Решить задачу Коши _
   
4. 
   Найти решение уравнения Лапласа в единичном шаре с граничным условием _
   
5. 
   Решить задачу Коши _
   

Домашние задания по курсу «Методы математической физики» (6-й семестр)

ЗАДАНИЕ № 1 (сдать до 25 марта)

1. 
   Определить порядок и число классов сопряженных элементов группы вращений тетраэдра T. Найти инвариантную подгруппу H и фактор-группу T/H. Построить таблицу неприводимых характеров.
   

   Построить таблицу неприводимых характеров полной группы тетраэдра Td. Найти кратности вырождения частот нормальных колебаний молекулы метана CH4.

2. 
   В квантовой механике можно обозначить спиновую волновую функцию электрона как α, если спин направлен “вверх” или β, когда спин направлен “вниз”. Состояния α и β ортогональны. Для системы из трех электронов можно сформировать волновые функции вида α(1)α(2)α(3), α(1)α(2)β(3) и т.д., всего 8 волновых функций. Эти волновые функции преобразуются друг через друга под действием элементов группы подстановок P₃. Разложить данное представление на неприводимые.
   

ЗАДАНИЕ №2 (сдать до 25 апреля)

4. 
   Вывести правила отбора для матричных элементов электрического дипольного момента в молекуле из задачи 2.
   
5. 
   Построить представление группы вращений в пространстве однородных полиномов третьей степени . Найти базис подпространства гармонических полиномов. Разложить исходное представление на неприводимые и выразить базис последних через сферические функции Y_lm.
   
6. 
   Разложить на неприводимые представление группы вращений SO(3) на тензорах третьего ранга в трехмерном пространстве. Рассмотреть полностью симметричную часть. Приводима ли она?
   
7. 
   Центробежная поправка в гамильтониане многоатомной молекулы имеет вид , где J_i – вектор углового момента, τ_ijkl – симметричный тензор. Сколько независимых компонент содержит тензор τ, если молекула имеет симметрию треугольника D₃?
   
8. 
   Две переменные преобразуются вещественной матрицей из группы G=SL(2)
   

Найти генераторы группы G в представлении на функциях и их коммутационные соотношения. Найти оператор Казимира, коммутирующий со всеми генераторами. Найти собственные функции оператора Казимира. Построить повышающий и понижающий операторы для .

ЗАДАНИЕ № 3 (сдать до 25 мая)

9. 
   Найти функцию Грина и решение уравнения y'''= f(x) с граничными условиями y(0)=a, y(1)=0, y'(0)+y'(1)=0.
   
10. 
    Найти функцию Грина неоднородного уравнения теплопроводности на поверхности цилиндра радиуса R:
    

Выписать решение задачи с источником .

11. Найти функцию Грина второго рода G(x,t|t') механической системы, состоящей из шарика, скользящего по вертикальной спице, соединенного с пружинкой и полубесконечной струной, натянутой вдоль оси x. .

Задание сдается в форме беседы с преподавателем в специально отведенное время (прием заданий). Приём заданий прекращается 30 мая!
Задачи, предлагаемые на контрольных работах (6-й семестр)

Вариант 1

1. 
   (2 балла) Может ли в группе из 35 элементов быть 7 мерное неприводимое представление?
   
2. 
   (3 балла) Сколько классов сопряженных элементов в группе O собственных вращений куба? Перечислите эти классы.
   
3. 
   (4 балла) Сколькими различными способами можно раскрасить грани тетраэдра в 4 различных заданных цвета, каждую грань своим цветом? Различными считаются раскраски, которые нельзя совместить друг с другом вращением тетраэдра.
   
4. 
   (4 балла) Построить таблицу неприводимых характеров группы, порождаемой двумя элементами 4-го порядка P, Q: P⁴=1, P²=Q², QPQ=P.
   
5. 
   (2 балла) Три одинаковых грузика на плоскости, расположенные в вершинах равностороннего треугольника, соединены между собой и с центром одинаковыми пружинами. Найти кратности вырождения нормальных колебаний системы.
   

Вариант 2

1. 
   (2 балла) Может ли в группе Y порядка 60 быть 8 мерное неприводимое представление?
   
2. 
   (3 балла) Какие подгруппы есть в группе симметрии квадрата? Какие из них инвариантны?
   
3. 
   (4 балла) Сколькими различными способами можно раскрасить грани октаэдра в 8 различных заданных цветов, каждую грань своим цветом? Различными считаются раскраски, которые нельзя совместить друг с другом вращением октаэдра.
   
4. 
   (4 балла) Построить таблицу умножения группы, порождаемой двумя элементами 4-го порядка P, Q: P⁴=1, P²=Q², QPQ=P.
   
5. 
   (2 балла) Четыре одинаковых грузика на плоскости, расположенные в вершинах квадрата, соединены между собой и с центром одинаковыми пружинами. Найти кратности вырождения нормальных колебаний системы.
   

Дополнительные задачи по курсу «Методы математической физики» (6-й семестр)

1. Дата 20.11.2010 допускает перестановки цифр. Найти порядок группы симетрии.

2. Показать, что J-=-d/dz – понижающий оператор для J₃=zd/dz-, где  – комплексная константа, а z – комплексная переменная. Построить повышающий оператор.

3. Доказать, что 

4. Молекула SF₆ имеет форму правильного октаэдра. Найти кратности вырождения нормальных колебаний.

5. Усреднить по углам тензор  (a - вектор длины 2).

6. Как действует оператор Лапласа на тензор квадрупольного момента  ?

7. Найти функцию Грина задачи , y()=0. Указание: Искать решение в виде .

8. Построить функцию Грина двумерного уравнения теплопроводности u_t=u + f(z,,t) на поверхности бесконечного цилиндра радиуса R.

9. Решить уравнение распространения волн  с точечным граничным условием  и нулевым начальным условием. Указание: Выполнить преобразование Фурье по времени.

10. Показать, что операторы , где [a,a+]=1, образуют алгебру Ли, и найти ее структурные константы. Найти квадратичную комбинацию генераторов, которая перестановочна с K_1,2,3. Выписать повышающий и понижающий операторы для K3 и найти их матричные элементы.

11. Найти генераторы алгебры Ли группы SL(2,R) над полем вещественных чисел. Построить оператор Казимира, повышающий и понижающий операторы. Найти явный вид генераторов в представлении на функциях двух вещественных переменных.

12. Разложить на неприводимые представление группы вращений SO(3) на тензорах четвертого ранга в трехмерном пространстве. Рассмотреть полностью симметричную часть. Приводима ли она?

13. Вычислить функцию Грина двумерного волнового уравнения. Указание: Выполнить преобразование Фурье по времени.

14. Найти функцию Грина уравнения теплопроводности в бесконечном цилиндре радиуса R с нулевым граничным условием на поверхности.

15. Найти функции Грина для задачи  при начальных условиях  и стандартных граничных условиях убывание на бесконечности.

16. Показать, что действительное решение уравнения Гельмгольца , непрерывное вплоть до границы открытой области D, не может иметь в D положительного наибольшего значения.

17. Плоскость покрыта паркетом из правильных треугольников. Описать группу симметрии. Найти ее фактор-группу по подгруппе трансляций.

18. Молекула OsF₈ имеет форму куба. Найти кратности вырождения нормальных колебаний.

Вопросы к коллоквиуму
1. Группа. Подгруппа.

2. Гомоморфизм. Изоморфизм.

3. Точечные и пространственные группы.

4. Абелева группа. Циклическая группа.

5. Порождающие элементы и определяющие соотношения.

6. Группа подстановок.

7. Порядок группы и элемента.

8. Правый смежный класс.

9. Индекс подгруппы.

10. Инвариантная подгруппа. Центр.

11. Фактор-группа

12. Сопряженные элементы. Геометрический критерий сопряженности поворотов вокруг разных осей и вокруг одной и той же оси на угол  и -.

13. Матричное представление.

14. Единичное и точное представление.

15. Неприводимое представление.

16. Сопряженные представления.

17. Характер.

18. Ортогональность неприводимых характеров.

19. Разложение в прямую сумму неприводимых представлений.

20. Регулярное представление.

Список вопросов, знание которых необходимо для сдачи экзамена

1. 
   Правые смежные классы, классы сопряженных элементов, инвариантные подгруппы в группе D₃.
   
2. 
   Неприводимые представления и характеры D₃, D₄ и SO(3). Разложение представления группы в прямую сумму неприводимых. Тензорное представление.
   
3. 
   Кратность вырождения колебаний молекулы.
   
4. 
   Размерность групп GL(n), U(n), SU(n), O(n), SO(n). Параметризация в группах SU(2) и SO(3).
   
5. 
   Функция Грина оператора Штурма – Лиувилля. Условия на скачке. Нулевые моды.
   
6. 
   Функция Грина уравнений Пуассона и Лапласа. Задачи Дирихле и Неймана. Метод изображений.
   
7. 
   Функция Грина уравнения теплопроводности и волнового уравнения. Правило обхода полюсов.
   

Пример экзаменационного билета и дополнительных задач

1. 
   Правило обхода полюсов. Построить функцию Грина двумерного
   
2. 
   уравнения Шредингера 
   
3. 
   Каждому повороту группы D₃ соответствует линейное преобразование коэффициентов квадратичной формы  Разложить полученное представление на неприводимые.
   
4. 
   Построить функцию Грина уравнения y''+y'-2y=f(x), y(0)=y'(1)=0.
   
5. 
   Построить функцию Грина уравнения y''+_y=f(x), y(0)=y(1)=0.
   
6. 
   Найти функцию Грина уравнения теплопроводности на единичной окружности.
   

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) Основная литература

1. 
   В. Я. Арсенин. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984.
   
2. 
   С. К. Годунов. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.
   
3. 
   И.В. Колоколов и др. Задачи по математическим методам физики. УРСС, 2002.
   
4. 
   Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика; Гидродинамика.
   
5. 
   Дж. Мэтьюз, Д. Уокер. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1972.
   
6. 
   Ф. Олвер. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990.
   
7. 
   М. И. Петрашень, Е. А. Трифонов, Применения теории групп в квантовой механике.
   
8. 
   Абашеева Н.Л., Михайлова Т.Ю., Семинары по методам математической физики для отделения физической информатики.
   
9. 
   Михайлова Т.Ю., Четыре лекции по представлениям группы вращений.
   

б) Дополнительная литература

10. 
    В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. — § 7; Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Изд. 3^e. М.: Наука, 1984. — § 11.
    
11. 
    А. Найфэ. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.
    
12. 
    Р. Рихтмайер. Принципы современной математической физики. М.: Мир, Т.1 — 1982.
    
13. 
    Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1976. — Гл.VII.
    
14. 
    Г. Вейль. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука, 1970.
    
15. 
    Е. Вигнер. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. М.: Изд. иностранной литературы, 1961.
    
16. 
    Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия.
    
17. 
    Г. Я. Любарский. Теория групп и физика. М.: Наука, 1986.
    
18. 
    А. Мессиа. Квантовая механика. Т.1,2. М.: Наука, 1979.
    
19. 
    Р. Рихтмайер. Принципы современной математической физики. Т.2. М.: Мир, 1984.
    
20. 
    С. Л. Соболев. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.
    
21. 
    Дж. Эллиот, П. Добер. Симметрия в физике. Т.I, II. М.: Мир, 1983.
    

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

1. 
   Веб-страница курса http://www.iae.nsk.su/~shapiro/mmp
   
2. 
   Веб-страница кафедры http://www.inp.nsk.su/students/theor/
   
3. 
   Веб-страница физфака НГУ http://www.phys.nsu.ru/
   

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Не требуется.
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании ____________________________________________

(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)

от ___________ года.