Учебное пособие по курсу «Математика»

При этом скачки значений функции F(x) в точках разрыва x = x_i будут равны p_i.
ПРИМЕР: Для дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	1	2	3	4
Р	0,3	0,2	0,1	0,4

график функции распределения будет иметь вид, представленный на рис. 1.1.
Перечислим основные свойства функции распределения:

Функция распределения – монотонно неубывающая функция.
Функция распределения непрерывна слева.

1.3.2. Непрерывные случайные величины
Непрерывной называется случайная величина Х, если ее функция распределения непрерывна на множестве ее возможных значений.

Распределение непрерывной случайной величины однозначно определяется ее функцией распределения F(x), т.к.:

Из этой формулы следует, что вероятность каждого конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Все свойства, сформулированные нами в предыдущем подразделе для функций распределения дискретных случайных величин, выполняются и для функций распределения непрерывных случайных величин.

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя функцию, которую принято называть плотностью распределения вероятностей, или просто плотностью распределения.
Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называется производная от функции распределения этой случайной величины, т.е.:
Плотность распределения однозначно определяет распределение непрерывной случайной величины, поскольку:

И, кроме того, по определению:

Перечислим основные свойства плотности распределения:

Плотность распределения является неотрицательной функцией, т.е.

Математическое ожидание М(Х) непрерывной случайной величины Х определяется формулой:

Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется формулой:

На практике для вычисления дисперсии непрерывных случайных величин используется другая формула:

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Х определяется, так же как и для дискретных случайных величин, формулой:

Все свойства математического ожидания и дисперсии, сформулированные нами для дискретных случайных величин, без каких либо изменений остаются справедливыми и для непрерывных случайных величин.
ПРИМЕР: Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Х, если она задана функцией распределения вида:

Для данной случайной величины функция распределения является кусочно-непрерывной, поэтому для плотности распределения можно найти:

Искомое математическое ожидание случайной величины Х найдем по формуле:

Искомую дисперсию найдем по формуле:

Наконец, среднее квадратическое отклонение найдем по формуле:

Рекомендуемая литература по теме 1.3: [2, 4, 8, 9].
ВОПРОСЫ:

Вероятность какого события является значением функции распределения случайной величины?

Каким является множество значений дискретной случайной величины?

Почему нельзя дискретную случайную величину задавать с помощью плотности распределения?

Какая числовая характеристика имеет смысл среднего значения случайной величины?

Какая числовая характеристика оценивает степень рассеивания случайной величины?

Чем определяется величина скачка функции распределения дискретной случайной величины в точке разрыва?

Чему равны наименьшее и наибольшее значения функции распределения?

ТЕМА 1.4. Законы распределения случайных величин
1.4.1. Биномиальное распределение
Пусть проводятся n испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха р и вероятностью неуспеха q и p + q = 1. В этом случае дискретная случайная величина Х – число успехов может принимать любое из своих возможных значений с вероятностями, определяемыми по формуле Бернулли:

Такое распределение называется биномиальным с параметрами р и q.

Заметим, что сумма этих вероятностей будет равна:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х с биномиальным распределением будет определяться формулами:

ПРИМЕР: Случайная величина Х – число выпадений герба при двух бросаниях монеты имеет биномиальное распределение с возможными значениями и с вероятностями этих значений, рассчитываемыми по формуле Бернулли соответственно равными: р₀ = 0,25, р₁ = 0,5 и р₂ = 0,25. При этом:

1.4.2. Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если она принимает значения k = 1, 2, 3, … (счетное множество значений) с вероятностями, определяемыми формулой:

Определение является корректным, поскольку сумма вероятностей возможных значений будет равна:

Случайная величина Х, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний по схеме Бернулли до первого успеха. Математическое ожидание и дисперсия такой величины определяются формулами:

ПРИМЕР: В большой партии изделий вероятность брака равна р. Контроль качества проводится до первого появления бракованного изделия. В результате серии проверок обнаружилось, что бракованное изделие впервые появлялось в среднем при десятом испытании. Оценить вероятность р.

Пусть Х – число испытаний до первого появления бракованного изделия. Эта случайная величина имеет геометрическое распределение. Согласно условию ее среднее значение равно: , поэтому р = 1 / 10.
1.4.3. Распределение Пуассона
Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если она принимает целые значения k = 0, 1, 2, … с вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона:

где  > 0 – параметр распределения. При этом:

Математическое ожидание и дисперсия величины Х в этом случае:

1.4.4. Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [a, b], если ее плотность распределения имеет вид:

График функции плотности распределения в этом случае приведен на рис. 1.2.
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются формулами:

ПРИМЕР: Интервал движения автобуса равен 15 минутам. Какова вероятность того, что пассажир на остановке будет ждать автобус более 5 минут?

Пусть случайная величина Х – время ожидания автобуса. Она распределена равномерно на отрезке [0, 15], а ее плотность распределения имеет вид:

Тогда искомая вероятность будет равна:
1.4.5. Показательное (экспоненциальное) распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром  > 0, если ее плотность распределения имеет вид:

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, имеет вид:

Графики плотности распределения и функции распределения показательного распределения приведены на рис. 1.3 и 1.4 соответственно.

Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной случайной величины Х определяется формулами

ПРИМЕР: Установлено, что время Т горения электрической лампочки является случайной величиной, распределенной по показательному закону. Считая, что среднее значение этой величины равно 6 месяцам, найти вероятность того, что лампочка будет гореть в течение года.

Т.к. , то  = 1 / 6, а функция распределения случайной величины Т будет иметь вид:

Поэтому можно найти:

1.4.6. Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и  > 0, если ее плотность распределения имеет вид:

График плотности вероятности нормально распределенной случайной величины приведен на рис. 1.5.

Функция распределения нормально распределенной случайной величины имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру а, а дисперсия равна квадрату параметра , т.е.

При а = 0 и  = 1 нормальное распределение называется стандартным нормальным или нормированным нормальным распределением.

Для стандартного нормального распределения плотность вероятности будет иметь вид:

,

а введенная ранее интегральная функция Лапласа:

задает вероятность попадания значения нормально распределенной величины Х в интервал (0, х). Очевидно, что вероятность попадания значения нормально распределенной случайной величины с параметрами а и  в интервал (, ) определяется формулой:

ПРИМЕР: Текущая цена ценной бумаги является нормально распределенной случайной величиной Х с математическим ожиданием 100 у.е. и дисперсией 9 (у.е.)². Найти вероятность того, что цена актива будет находиться в пределах от 91 до 109 у.е.

Поскольку а = 100, ,  = 91 и  = 109, для искомой вероятности можно записать:

Рекомендуемая литература по теме 1.4: [2, 4, 8, 9].

ВОПРОСЫ:

Какие значения может принимать биномиально распределенная случайная величина?

Какими параметрами определяется биномиальное распределение?

Какими параметрами определяется геометрическое распределение?

Какие значения может принимать случайная величина, имеющая распределение Пуассона?

Какой смысл имеет параметр  в пуассоновском распределении?

Чему равны математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины?

Может ли случайная величина, распределенная по показательному закону, принимать отрицательные значения?

Как влияют параметры а и  нормального распределения на форму графика его плотности распределения?

ТЕМА 1.5. Система двух случайных величин
Набор n случайных величин {X₁, X₂, …, X_n} называется многомерной случайной величиной.

Многомерная случайная величина каждому элементарному событию ставит в соответствие n действительных чисел (х₁, х₂, …, х_n), которые являются значениями, принятыми случайными величинами Х₁, Х₂, …, X_n в результате испытания.

В частности, набор двух случайных величин (X, Y) называется двумерной случайной величиной, при этом каждая из случайных величин Х и Y называется компонентой двумерной случайной величины. Обе случайные величины Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
ПРИМЕР: Цена С единицы товара и количество V товара на рынке представляют собой двумерную случайную величину.
1.5.1. Дискретные двумерные случайные величины
Если случайные величины Х и Y дискретны, то двумерная случайная величина (Х, Y) называется дискретной. Дискретная двумерная случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, каждое из которых представляет собой пару действительных чисел (х, y).
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называется множество ее значений и вероятностей этих значений:

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины с конечным числом значений можно представить в виде матрицы размером n x m, каждым элементом которой будут вероятности .

Пусть есть событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет значение x_i , а случайная величина Y примет значение y_j . Тогда очевидно, что любые два таких события будут несовместны, а все они в совокупности образуют полную группу событий. Поэтому справедливо равенство:

Распределения одномерных случайных величин Х и Y, составляющих двумерную случайную величину (Х, Y), определяются формулами:

Таким образом, суммируя элементы матрицы вероятностей по строкам, получим распределение случайной величины Х, а по столбцам – величины Y.

Если считать, что событие произошло, то распределение случайной величины Х называется условным распределением. Из определения условной вероятности найдем:

Аналогично условное распределение случайной величины Y при условии задается формулой:

1.5.2. Функция распределения двумерной случайной величины
Функцией распределения двумерной случайной величины называется функция , определяющая для каждой пары чисел вероятность того, что величина Х примет значение, меньшее х, и при этом величина Y примет значение, меньшее y, т.е.

Для дискретной двумерной случайной величины функция распределения определяется формулой:

страница 1 ... страница 2 страница 3страница 4страница 5 ... страница 12 страница 13

скачать

Другие похожие работы: