Задача 33. Для рамы, выбранной согласно варианта, требуется

Строительная механика - решение задач, контрольных работ.

Задача 33.

Для рамы, выбранной согласно варианта, требуется :

1. Используя индивидуальный шифр, выбрать : расчётную схему рамы, её размеры, жёсткость стержней, действующую нагрузку.

2. Установить степень статической неопределимости и выбрать основную систему.

3. Написать каноническое уравнение в общем виде.

4. Построить в основной системе эпюры M_i от единичных сил и эпюру M_F от заданной нагрузки.

5. Найти коэффициенты и свободные члены канонических уравнений. Сделать проверку правильности нахождения их.

6. Решить систему канонических уравнений и сделать проверку решения.

7. Построить окончательную эпюру М. Выполнить статически и кинематическую проверки эпюры М.

8. По окончательной эпюре М построить эпюру Q.

9. По Q построить эпюру N.

10. Выполнить статическую проверку равновесия системы в целом.

Дано :

№ схемы	a, м	b, м	с, м	d, м	α	β	γ	F1, кН	F2, кН	q1, кН/м	q2, кН/м
3	3.8	5.2	4.2	2.1	3	4	2	0	21	0	8

Решение.

1. 
   Расчётная схема.
   

2. Установим степень статической неопределённости и выберем основную систему.

Степень статической неопределимости (количество лишних связей определим по формуле :

Л=2Ш+С₀-3Д=2×0+5-3×1=2

где Ш=0 – количество шарниров, соединяющих диски с учётом их кратности ; С₀=5 – количество опорных стержней ; Д=1 – число дисков в системе.

Основную систему (О.С.) примем, как показано на рисунке 1.



3. Система канонических уравнений имеет вид :

(1)

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений (1) определим по формулам :

δ_ii= ; δ_ik=δ_ki= ; Δ_ip= (2)

4. Строим в основной системе эпюры M_i от единичных сил и эпюру M_P от заданной нагрузки.

На рисунке 2 приведена эпюра изгибающих моментов при нагружении основной системы силой X₁=1

Реакции опор : M_H1=X₁(2b+a)=14.2 м ; Y_H1=X₁=1 м

Участок AB : M₁=0

Участок BC : M₂=0

Участок BD : M₃=X₁x₃, где 03B=0 ; M_D=(a+b)X₁=9 м

Участок DE : M₄=(a+b)X₁ ; M_D=M_E=9 м

Участок EF : M₅=M_H1-Y_H1x₅, где 05E=M_H1-Y_H1b=14.2-5.2=9 м ;

M_F=M_H1=14.2 м

Участок FN : M₆=0

Участок FH : M₇=M_H1=14.2 м.

На рисунке 2 приведена эпюра изгибающих моментов при нагружении основной системы силой X₂=1.

Реакции опор : X_H2=X₂=1 м

Участок AB : M₁=X₂y₁, где 01A=0 ; M_B=X₂(c+d)=6.3 м.

Участок BC : M₂=0

Участок BD : M₃=X₂(c+d)=6.3 м

Участок DE : M₄=X_H2y₄, где c4D=X_H2(c+d)=6.3 м ; M_E=X_H2c=4.2 м

Участок EF : M₅=X_H2c=4.2 м

Участок FN : M₆=0

Участок FH : M₇=X_H2y₇, где 07F=X_H2c=4.2 м ; M_H=0


На рисунке 3 приведена эпюра изгибающих моментов основной системы от заданной нагрузке.

Реакции опор : Σm_H=0 ;

M_H+0.5q₂a²-F₂c+0.5q₂(c+d)²-F₂(2b+2a)=0

M_H=

кН·м

ΣY_k=0 ; Y_H-q₂a-F₂=0 ; Y_H=q₂a+F₂=8×3.8+21=51.4 кН

ΣX_k=0 ; X_H+F₂-q₂(c+d)=0 ; X_H=q₂(c+d)-F₂=8×(4.2+2.1)-21=29.4 кН

Участок AB : M₁=-0.5q₂y₁², где 01A=0 ;

M_B=-0.5q₂(c+d)²=-0.5×8×(4.2+2.1)²=-158.76 кН·м

Участок BC : M₂=-F₂x₂, где 02C=0 ; M_B=-F₂a=-21×3.8=-79.8 кН·м

Участок BD : M₃=-F₂x₃-0.5q₂(c+d)², где a3<2a+b ;

M_B=-F₂a-0.5q₂(c+d)²=-21×3.8-0.5×8×(4.2+2.1)²=-238.56 кН·м ;

M_D=-F₂(2a+b)-0.5q₂(c+d)²=-21×(2×3.8+5.2)-0.5×8×(4.2+2.1)²=-427.56 кН·м

Участок DE : M₄=-F₂(2a+b)-0.5q₂(c+d)²

M_D=-F₂(2a+b)-0.5q₂(c+d)²=-21×(2×3.8+5.2)-0.5×8×(4.2+2.1)²=-427.56 кН·м

M_E=-F₂(2a+b)-q₂(c+d)(0.5(c+d)-d)=-21×12.8-8×6.3×(0.5×6.3-2.1)=-321.72 кН·м

Участок EF : M₅=-q₂a(x₅+0.5a)+Y_Hx₅-X_Hc-M_H, где 05
M_E=-q₂a(b+0.5a)+Y_Hb-X_Hc-M_H=

=-8×3.8×(5.2+0.5×3.8)+51.4×5.2-29.4×4.2-249.68= -321.72 кН·м

M_F=-0.5q₂a²-X_Hc-M_H=-0.5×8×3.8²-29.4×4.2-249.68=-430.92 кН·м

Участок FN : M₆=-0.5q₂x₆², где 06N=0 ;

M_F=-0.5×8×3.8²=-57.76 кН·м

Участок FH : M₇=-X_Hy₇-M_H, где 07
M_F=-29.4×4.2-249.68=-373.16 кН·м

M_H=-249.68 кН·м



5. Найдём коэффициенты и свободные члены канонических уравнений. Сделаем проверку правильности нахождения их.

Численные значения коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений (1) найдём способом перемножения эпюр.

EJδ₁₁=

=

=60.75+85.05+237.143+423.444=806.387

EJδ₂₂=

=

=41.675+89.303+29.327+30.576+12.348=203.229

EJδ₁₂=EJδ₂₁=



EJΔ_1p=



EJΔ_2p=



Выполним построчные проверки правильности коэффициентов при неизвестных, пользуясь условием :



где - суммарная единичная эпюра изгибающих моментов, получаемая по зависимости , приведена на рисунке 4.

Помощь на экзамене онлайн.


Перемножение эпюр и выполним пользуясь правилом Верещагина.







EJ(δ₁₁+δ₁₂)= 806.387+260.471=1066.858





EJ(δ₂₂+δ₂₁)=203.229+260.471=463.7

Проверим правильность вычисления свободных членов уравнений (1) :











=-262.549-1050.197-8412.296-5624.999-10388.172-10750.664=-36488.877

EJ(Δ_1p+Δ_2p)=

Следовательно, коэффициенты δ и Δ определены правильно.

6. Решим систему канонических уравнений и сделаем проверку решения.

Подставляя в систему (1) значения, полученных коэффициентов, получим систему :



Решим, полученную систему.

Δ= ; Δ₁=

Δ₂=

Тогда : X₁= кН ; X₂= кН

Проверку правильности решения системы уравнений произведём путём подстановки полученных значений X₁ и X₂ в исходные уравнения :



Таким образом, реакции X₁ и X₂ найдены, верно.

7. Построим окончательную эпюру М. Выполним статическую и кинематическую проверку эпюры М.

Окончательная эпюра изгибающих моментов может быть получена по уравнению :

M=

Эпюры изгибающих моментов от фактических значений X₁ и X₂ приведены на рисунке 5.



Результирующая эпюра М построена на рисунке 6.



Проведём проверку правильности окончательной эпюры изгибающих моментов.

Статическая проверка состоит в том, что проверяем равновесие узла системы под действием изгибающих моментов, приложенных к примыкающим к узлу отсечённым стержням. При этом должно выполнятся условие : ΣM_уз=0



Узел B : ΣM_узB=-79.8-0.342+80.142=0

Узел D : ΣM_узD=29.178-29.178=0

Узел E : ΣM_узE=2.982-2.982=0

Узел F : ΣM_узF=57.76-37.732-20.028=0

Таким образом, равновесие рамы соблюдается.

Кинематическую проверку выполним по условию :







Относительная погрешность вычислений :

μ=

Для стержневых систем средней сложности относительная погрешность вычислений должна составлять не более 3%.

Статическая и кинематическая проверка выполняются, и, следовательно, окончательная эпюра изгибающих моментов построена – верно.

8. Построение эпюры Q по эпюре М.

Для построения эпюры поперечных сил воспользуемся окончательной эпюрой изгибающих моментов М.

На участках, где эпюра М имеет прямолинейное очертание, поперечная сила численно равна :

Q=

где α – угол наклона эпюры М к оси стержня.

Если для совмещения с эпюрой изгибающих моментов стержень нужно поворачивать по ходу часовой стрелки, то поперечная сила принимается положительной.

На участке BC : Q_BC=tgα_BC= кН

На участке DB : Q_BD=tgα_BD= кН

На участке DE : Q_DE=tgα_DE= кН

На участке EF : Q_EF=tgα_EF= кН

На участке FH : Q_FH=tgα_FH= кН

На участках, где эпюра М ограничена параболой, поперечные силы найдём по формуле

Q_x= (3)

где - значение поперечной силы в сечениях простой шарнирно опёртой балки.

Определим поперечную силу Q на участке AB. Для этого определим , рассматривая участок AB как простую шарнирно опёртую балку.

Реакции балки :

Σm_B=0 ; 6.3H_A-0.5q₂·6.3²=0 ; H_A=0.5×8×6.3=25.2 кН ; H_B=25.2 кН

На рисунке 7 построена эпюра .

Тогда, применяя формулу (3), получим :

Q_A= кН

Q_B= кН

Определим поперечную силу Q на участке FN. Для этого определим , рассматривая участок FN как простую шарнирно опёртую балку.

Реакции балки :

Σm_F=0 ; -3.8V_N+0.5q₂·3.8²=0 ; V_N=0.5×8×3.8=15.2 кН ; V_F=15.2 кН

На рисунке 7 построена эпюра .

Тогда, применяя формулу (3), получим :

Q_N=

Q_F= кН



Окончательная эпюра поперечных сил приведена на рисунке 8.



9. По эпюре Q построим эпюру N.

Эпюру продольных сил N строим по эпюре поперечных сил Q, рассматривая равновесие узлов. Узлы рамы вырезаем в такой последовательности, чтобы каждый рассматриваемый узел содержал не более двух стержней с неизвестными продольными силами. При составлении уравнений равновесия (ΣX=0, ΣY=0) вначале полагаем, что все неизвестные продольные силы являются растягивающими (положительными). Отсечённые узлы рассматриваемой рамы приведены на рисунке 9.

Узел D : ΣX=0 ; N_DB+12.474=0 ; N_DB=-12.474 кН (стержень DB сжат)

ΣY=0 ; -N_DE-3.28=0 ; N_DE=-3.28 кН (стержень DE сжат)

Узел Е : ΣX=0 ; -N_EF-12.474=0 ; N_EF=-12.474 кН (стержень EF сжат)

Узел F : ΣX=0 ; -N_FN+N_FE-8.521=0 ; N_FN=0 (стержень FN не нагружен)

ΣY=0 ; -N_FH-30.4-3.278=0 ; N_FH=-30.4-3.278=-33.678 кН (стержень FH сжат)

Узел B : ΣX=0 ; N_BC-N_BD-12.479=0 ; N_BC=-12.479+12.479=0 (стержень BC не нагружен)

ΣY=0 ; -N_BA+3.28-21=0 ; N_BA=-21+3.28=-17.72 кН (стержень BA сжат)



Окончательная эпюра продольных сил N приведена на рисунке 10.



10. Выполним статическую проверку равновесия системы в целом.

По эпюрам Q, N и М из условий равновесия опорных узлов получены опорные реакции (рисунок 11) :

H_H=8.521 кН ; V_H=33.678 кН ; M_H=1.944 кН·м ;

H_A=37.921 кН ; V_A=17.72 кН

Для данной системы составляем три уравнения равновесия :

ΣX=0 ; -H_H+H_A+F₂-6.3q₂=-8.521+37.921+21-6.3×8=58.921-58.921=0

ΣY=0 ; V_H+V_A-F₂-3.8q₂=33.678+17.72-21-3.8×8=51.398-51.4=0

Σm_H=0 ; -M_H+0.5q₂×3.8²-4.2F₂-18F₂+0.5q₂·6.3²+14.2V_A=0

-1.944+0.5×8×3.8²-4.2×21-18×21+0.5×8×6.3²+14.2×17.72=-468.144+468.144=0



Таким образом, статические уравнения соблюдаются.

Помощь на экзамене онлайн.