Задача 12. На двутавровую балку с высоты h падает груз F. Требуется

Сопромат - решение задач, контрольные работы.

Задача 12.

На двутавровую балку с высоты H падает груз F.

Требуется :

1) Определить наибольшие нормальные напряжения в балке ;

2) Вычислить наибольшие напряжения в балке при условии, что правая опора заменена пружиной, податливость которой (т.е. осадка от груза 1 кН) равна α ;

3) Сравнить полученные результаты.

Дано : номер двутавра 36 ; L=3 м ; F=11 кН ; α=3 мм/кН ; H=L/5 (высота падения не задана, поэтому принимаем самостоятельно).

Решение.

Балка подвергается поперечному (изгибающему) удару.

Условие прочности балки :



Наибольшее напряжение в балки от статического действия груза :



где M_x – максимальный момент в сечении балки (определяется по эпюре) ; W_x – момент сопротивления сечения при изгибе, для двутавра № 36 : W_x=743 cм³ (определяется по таблицам сортамента прокатной стали).

Построим эпюру изгибающих моментов. Определим реакции опор :

Σm_C=-R_AL+0.8FL=0 , откуда

R_A=0.8F=0.8×11=8.8 кН

Σm_A=R_CL-0.2FL=0 , откуда

R_C=0.2F=0.2×11=2.2 кН

Балка имеет два участка. Обозначим z_i расстояние от левого (правого) конца балки до некоторого её сечения. Найдём изгибающие моменты в характерных сечениях балки.

M_A=0 ; M_B^л=0.2R_AL=0.2×8.8×3=5.28 кН·м ; M_B^пр=0.8R_CL=0.8×2.2×3=5.28 кН·м ; M_C=0.

Эпюра изгибающих моментов построена на рисунке, со стороны растянутых волокон.

Тогда, при M_x=5.28 кН∙м (в сечении B) наибольшее напряжение в балке от статического действия груза :

=7.1×10⁶ Па=7.1 МПа

Для определения динамического коэффициента вычислим величину прогиба в точке приложения груза от статического действия его.

Воспользуемся методом начальных параметров. Начало отсчёта абсциссы z примем на опоре A, где y₀=0. В точке удара :

EJy_B=

Неизвестный начальный параметр ν₀ найдём, составив уравнения для сечения С, где y_C=0 :

EJy_C=

Откуда : ν₀=

Тогда, при найденном выражении для ν₀, получим :

EJy_B=

EJy_B=

Откуда y_B==-9.5×10^-5 м=-0.095 мм

где Е=2×10¹¹ Па – модуль упругости ; J=J_x=13380 см⁴ – момент инерции (по таблице сортамента прокатной стали).

Находим динамический коэффициент :

k_d==113.4

Находим динамическое напряжение :

МПа

Находим прогиб от динамического действия груза F в точке удара :

y_d=k_dy_st=k_dy_B=113.4×0.095=10.8 мм.



Вычислим наибольшее напряжение в балке при условии, что правая опора заменена пружиной.

В случае опирания правого конца балки на пружину при действии на балку статической силы F пружина под влиянием опорной реакции R_C=2.2 кН, укоротится на длину a=R_Cα=

=2.2×3=6.6 мм. Правый конец балки при этом опустится на величину a, а сечение B балки – на величину y_Bст=0.2a=0.2×6.6=1.32 мм. Помощь на экзамене онлайн.

Полное вертикальное перемещение от статического действия силы F в сечении под силой (в сечении B) равно сумме величин прогиба, найденной при расчёте балки без пружины, и перемещения, вызванного сжатием пружины, т.е. :

Δ_ст=y_B+y_Bст=0.095+1.32=1.415 мм.

Находим динамический коэффициент :

k_d==30.1

Находим динамическое напряжение :

МПа

Находим прогиб от динамического действия груза F в точке удара :

y_d=k_dy_st=k_dΔ_ст=30.1×1.415=42.6 мм.

Таким образом, установка пружины под правым концом балки уменьшила динамические напряжения в 805.14/213.71=3.8 раза.



Помощь на экзамене, зачете, тесте.