2. Докажите, что сумма трех последовательных степеней числа 2 делится на 3

1. Разложите числа в произведение степеней простых чисел и найдите их наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)

а) 1000 и 1176;

б) 840 и 2048;

в) 462, 1176 и 4096;

г) 840, 1000 и 1024.
2. Докажите, что сумма трех последовательных степеней числа 2 делится на 7.
3. Докажите, что разность 43⁴³ – 17¹⁷ делится на 10 без остатка.
4. Найдите какое-нибудь стозначное число, в десятичной записи которого не было бы нулей и которое делилось бы на сумму своих цифр.
5. Докажите, что 30⁹⁹ + 61¹⁰⁰ делится на 31.
6. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом целого числа.
7. (x, y, z) – пифагорова тройка, т. е. x² + y² = z². Докажите, что xyz делится на 60.
8. Докажите, что число, записываемое одними шестерками и нулями, не может быть точным квадратом.
9. Решите в натуральных числах уравнение x² = 30 + y².
10. Существует ли выпуклый многоугольник, у которого ровно 2010 диагоналей?