А. Н. Тихонов, А. Д. Горбунов Об оптимальности неявных разностных схем типа Адамса 1

А.Н. Тихонов, А. Д. Горбунов

Об оптимальности неявных разностных схем типа Адамса
1. Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

, (1)

где - искомая вектор-функция от x, -заданная вектор-функция от x и .

Пусть для приближенного решения этой задачи применяется устойчивая неявная разностная схема типа Адамса, использующая n+1 точку ( n - четное):

(2)

() при соответствующих начальных условиях.

Известно [1], что для погрешности метода, определяемого формулой (2), при достаточной гладкости вектор-функции f имеет место следующее асимптотическое разложение:

, (3)

где - точное решение задачи (1), - матрицант матрицы , - точное решение уравнения (2) при соответствующих начальных условиях, s - степень оператора , константы и определяются формулами

. (4)

Таким образом, величина главного члена (относительно h) разложения (3) при фиксированном h для данного решения целиком определяется величиной коэффициента .

Известно также [2], что при соответствующем выборе коэффициентов и получается неявная схема вида (2) максимальной степени s=n+2. При этом, вообще говоря, определяются не все 2n+2 коэффициента и , входящие в уравнение (2); некоторые из них остаются относительно свободными. Возникает вопрос, нельзя ли при соответствующем выборе этих свободных коэффициентов получить такую устойчивую схему вида (2) наивысшей степени, для которой отношение принимало бы минимальное значение. Рассмотрению последней задачи и посвящается настоящая заметка.
2. Прямой путь решения рассматриваемой задачи состоит в отыскании относительного минимума выражения , если рассматривать его как функцию коэффициентов и при условиях, что последние удовлетворяют требованиям устойчивости и соответствующей степени аппроксимации. Однако, упомянутый путь сопряжен, как всегда, с большими вычислительными трудностями. В связи с этим рассматриваемая задача будет решаться более коротким способом.

Наряду с формулой (4) величина вполне характеризуется тождеством (см. [1])

(5)

где - произвольная достаточно гладкая функция.

Произведем в этом тождестве замену переменного индекса k по формуле , где - новый переменный индекс; тогда (5) примет вид

(6)

Последнее соотношение мы подвергнем ряду преобразований, указанных в работе [2].

Введем в рассмотрение оператор сдвига E, определяемый для произвольной вектор-функции равенством , и перепишем (6) в виде

(7)

где



суть характеристические полиномы, соответственно, разностных операторов

.

Отметим, что в условиях рассматриваемой задачи полиномы , и величины и столь взаимообусловлены, что задание, например, полинома вполне определяет полином и величины и . Имея в виду это, преобразуем соотношение (7) так, чтобы для величины получилось выражение, для которого легко находится нижняя грань на совокупности допустимых полиномов .

Так как полиномы , и величина не зависят от конкретных свойств вектор-функции , то соотношение (7) достаточно рассмотреть для какой-либо более или менее простой функции. Положим, например, , тогда , и соотношение (7) преобразуется к виду

; (8)

обозначает ту из ветвей, для которой .

Далее, преобразуем рассматриваемую нами комплексную -плоскость с разрезом вдоль отрицательного луча действительной оси при помощи преобразования.

;

при этом вводятся в рассмотрение так называемые ассоциированные многочлены оператора L:

, (9)

(10)

( вследствие того, что ). В результате этого соотношение (8) преобра­зуется к виду

. (11)

Комплексная z -плоскость рассматривается с разрезом по отрезку от -1 до +1 дейст­вительной оси. Это соответствует тому, что определяется однозначно из условия обращения в нуль этой ветви при .

Наконец, перепишем (11) в виде

. (12)

Отсюда вытекает, что при заданном полином нужно полагать равным главной части функции

,

ибо только при этом условии имеет место соотношение

.

Заметив это и учитывая разложение

,

получим нужное нам равенство

, (13)

где

(14)

Так как в условиях рассматриваемой задачи = 0 ( ибо ), то согласно (12) и (13) получается

. (15)

Если полиномы выбирать так, чтобы , то будут справедливы неравенства. Учитывая, кроме того, что ( см.[2] ) при , получим из (15)

. (16)

Таким образом, нижняя грань отвечает полиному или соответствующему полиному . Разностная схема вида (2), отвечающая последнему полиному, очевидно, неустойчива.

Далее вычислим . Имеем

.

После этого с учетом (16) получим

. (17)

Тем самым, доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Среди устойчивых схем вида (2) ( n - четное ) наивысшей степени s=n+2 не существует схемы, для которой величина достигала бы минимума.
Теорема 2. Для всякой устойчивой схемы вида (2) ( n - четное) наивысшей степени s=n+2 имеет место неравенство .
Теорема 3. Для всякого произвольного положительного числа можно построить устойчивую схему вида (2) ( n - четное) наивысшей степени s=n+2 такую, что+.

Литература

1. 
   А.Н. Тихонов, А.Д. Горбунов. Асимптотические разложения погреш­ности разностного метода решения задачи Коши для системы обыкновенных диф­ференциальных уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1962, 2, № 4, 537- 548.
   
2. 
   G. Dahlquist. Convergens and stabiliti in the numerical integration of ordinary differential equations. Math. skand., 1956, 4, № 1, 33-53.