скачать doc
Соотношение неопределенностей Гейзенберга.
В
процессе измерения меняется состояние микрообъекта.При измерении координаты микрочастица необходимо ее удержать в течение некоторого времени в определенном месте, а это возможно лишь при внешнем воздействии на нее. При этом меняется импульс и энергия частицы.
Неопределенность измерения координаты ∆y = a; λБ=h/p
В результате дифракции на щели электрон изменяет направление своего движения, скорости и импульса. Возникает компонента импульса по оси Y: рy = р sin а = h/λБ · sin a.
Первый дифракционный максимум наблюдается под углом а1: a sin а1 = λБ
Следовательно, рy = h/а.
Реально возможно попадание электрона в область дифракционных максимумов более высоких порядков, поэтому неточность (или неопределенность) измерения импульса:
∆рy ≥ h/а
Соотношение неопределенностей Гейзенберга:
Произведение неопределенности координаты частицы на неопределенность ее импульса не меньше постоянной Планка: ∆y ∆рy ≥ h.
Если импульс р частицы известен точно, т.е. ∆рy = 0, то известна и длина волны де Бройля λБ=h/p. Тогда ∆y ≥ h/∆рy. Следовательно, ∆y → ∞ (т.е. частицу можно обнаружить в любой точке пространства).
С другой стороны, чем точнее определяется координата частицы, тем менее точными становятся сведения о ее импульсе. Если ∆y → 0, то ∆рy≥ h/∆y→ ∞
Соотношение неопределенностей для энергии частицы и времени ее измерения ∆Ey ∆t ≥ h
Нельзя независимо рассматривать корпускулярные и волновые характеристики микрочастиц: они взаимосвязаны. Одновременно точное определение положения и импульса частицы невозможно.
Уравнение Шредингера
▼2 ψ + 2m/ћ2 ·(E-U) ψ = 0;
где ψ(t,x,y,z) – волновая функция
▼2 ψ = ð2 ψ/ ðx2 + ð2 ψ/ ðy2 + ð2 ψ/ ðz2;
E – полная энергия частицы в стационарном состоянии;
U – ее потенциальная энергия
m – масса частицы.
В случае одномерного движения частицы ð2 ψ/ ðx2 + 2m/ћ2 ·(E-U) ψ = 0
Уравнение Шредингера имеет решения не при любых значениях E, а лишь при некоторых
(собственных значениях). Совокупность собственных значений называется спектр.
У свободной частицы спектр энергий сплошной, у связанной – дискретный.
Потенциальная яма – область пространства, в которой потенциальная энергия минимальна. Пусть расстояние между стенками ямы L, стенки ямы бесконечно высокие.
Внутри ямы U=0; за ее пределами U= ∞. В этом случае частица испытывает отражение от стенок и попасть за пределы ямы не может. За пределами ямы ψ(0) = ψ(L) = 0;
внутри ямы ð2 ψ/ ðx2 + 2m/ћ2 ·E·ψ = 0.
Обозначив k2 = 2mЕ/ћ2 получим уравнение гармонического осциллятора:
ð2 ψ/ ðx2 + k2ψ = 0. Его общее решение ψ(х) = А sin(kx) + B cos(kx).
Так как ψ(0) = 0, то В=0; ψ(х) = А sin(kx).
Так как ψ(L) = 0, то Аsin(kx)=0, следовательно kL=nπ; 2mЕ L2/ћ2=n2π2
Е = n2π2ћ2/2mL2
Вывод: в замкнутой системе стационарные состояния возможны только при дискретных значениях полной энергии.
С волновой точки зрения между стенками во встречных направлениях движутся две волны де Бройля. Это напоминает картину двух встречных волн, бегущих по струне с закрепленными концами. Как и в случае струны, стационарным состояниям соответствуют стоячие волны, которые образуются при условии, что на длине L укладывается целое число полуволн:
L = n · (λ / 2) (n = 1, 2, 3, ...)
Таким образом, стационарным состояниям частицы, запертой в потенциальной яме, соответствует дискретный набор длин волн.
Стоячие волны де Бройля, образующиеся при движении частицы в потенциальной яме, это и есть волновые или пси-функции, с помощью которых квантовая механика описывает стационарные состояния микрообъектов. Квадрат модуля |ψ|2 волновой функции определяется как вероятность нахождения частицы в различных точках пространства.