Областная олимпиада. 9 класс. 1998 г

Областная олимпиада. 9 класс. 1998 г.
1. В коридоре длиной 11 м и с высотой потолка 3 м у самого начала ударяют о пол мяч со скоростью 10 м/с под углом 60^о к горизонту. На какой высоте от пола ударяется мяч о торцевую стенку коридора?
Определим максимальную высоту подъема мяча. м, что больше высоты потолка. Запишем уравнение высоты и найдем время подъема мяча до потолка , t₁ – время подъема мяча. Сопротивление воздуха не учитываем. Тогда дальность полета мяча . Оценим количество соударений мяча с полом. Дальность полета мяча, после подстановки значений, составит 4,79 м. Следовательно, мяч ударится 2 раза. Второй раз мяч отскочит на расстоянии l₂ = 11 м – 2  4,79 м = 1,42 м. Записав уравнение высоты, дальности полета найдем высоту удара мяча о стенку.

, , , .

После вычислений, окончательно находим h = 2,03 м.
2. Электроплитка содержит три спирали сопротивлением 120 Ом каждая, соединенные параллельно друг другу. Эта плитка включается в сеть последовательно с резистором сопротивлением 500 Ом. Как изменяется время необходимое для нагревания на плитке чайника с водой, если одна из спиралей перегорит.
Три спирали исправны , и .

Две спирали исправны , и .

.
3. В стакане, доверху наполненном водой и закрытом сверху, плавает деревянный шарик. Как изменится сила давления шарика на крышку, если стакан движется с ускорением a, направленным вверх.
Сила давления шарика на крышку, когда стакан неподвижен

.

Сила давления шарика на крышку в случае движения стакана

.

Для жидкости , следовательно, , . Давление шарика на крышку равно . Найдем отношение давлений

.
4. Из ведра налили в кастрюлю некоторое количество воды, затем поставили кастрюлю на нагреватель и через 30 минут вода в ней закипела. Тогда из того же ведра зачерпнули еще некоторое количество воды и долили в кастрюлю. При этом температура воды в кастрюле понизилась на 12 ^оС. Через 5 минут после этого вода в кастрюле закипела. Какова температура воды в вере. Теплообмен воды с внешней средой не учитывать.
При нагревании первой порции воды , N – полезная мощность нагревателя. При нагревании второй порции воды . Отношение масса воды . При смешении двух порций воды . Из последнего равенства находим t₁:

. После вычислений, находим t₁ = 16 ^оС.
5. Трактор «Беларусь» поворачивает так, что частота вращения одного из задних колес равна n₁ = 1,5 об/с, а другого n₂ = 1,4 об/с. Расстояние между колесами равно l = 1,9 м. Определите радиус разворота трактора.
Обозначим  – угловая скорость разворота середины трактора. Тогда и

. Решая совместно этих два уравнения, найдем

, . м.
Областная олимпиада. 10 класс. 1998 г.
1. Источник света расположен на двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы на ее оси. За линзой перпендикулярно оптической оси помещено плоское зеркало. На каком расстоянии от линзы нужно поместить зеркало, чтобы лучи, отраженные от зеркала пройдя вторично через линзу, стали параллельными.
.
2. На сфере радиусом R, составленной из двух полусфер, равномерно распределен заряд Q. С какой силой необходимо действовать на каждую полусферу, чтобы они не расходились?
Давление на поверхность сферы обусловленное взаимодействием зарядов – p; при мысленном изменении объема сферы на V совершится работа:

.

Потенциальная энергия заряда на сфере изменится на величину:

, тогда .

Теперь мысленно раздвинем полусферы:

, поскольку , то .

3. В цилиндре, закрытом поршнем массой m находится газ массой M и молекулярной массой . К середине поршня приделан шток B, соединенный рычагом с шарниром A. Газ равномерно нагревают, причем – скорость нагрева. Чтобы поршень при этом покоился, грузик m_o передвигают влево. Найти скорость движения груза, если высота поршня над дном сосуда равна h, а атмосферным давлением и трением можно пренебречь.
Правило моментов относительно точки вращения A: , . Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона , .

, , .
4. В установке по забиванию свай в землю на сваю массой 2 т падает болванка копра массой 100 кг. Сила сопротивления грунта не зависит от глубины погружения сваи в землю и равна 20 кН. Первоначальная высота болванки над сваей 10 м. Считая удар болванки о сваю абсолютно неупругим, а разгон копра происходящим только под действием силы тяжести (без начальной скорости) все время с одной и той же высоты над уровнем земли, определить длину сваи. Известно, что ее полностью забивают в землю за 100 ударов.
Скорость сваи сразу после удара v найдем из закона сохранения импульса

, где v_o – скорость копра перед ударом .

Считая глубину погружения за один удар малой, получим

,

или , где – высота над уровнем сваи после k ударов. . После N = 100 ударов , отсюда .

5. Две полыньи на озере отделены друг от друга ледяной полосой шириной 100 м. Толщина льда 1 м. Требуется перетащить небольшой (по сравнению с размерами полосы) кусок льда, отколовшийся от полосы, из одной полыньи в другую. Коэффициент трения льда о лед равен 0,01. Есть два предложения: поднять кусок и протащить по льду сверху или утопить его и протащить под ледяным покровом. В каком случае минимальная работа будет меньше и во сколько раз? Плотность льда 900 кг/м³, воды – 1000 кг/м³.
При поднятии льдины сила изменяется от 0 до mg при изменении высоты от 0 до h – , где  часть высоты над уровнем воды. Из условия плавания

.

Работа при подъеме .

При погружении сила изменяется от 0 до . Работа совершенная при погружении .

Работа по перетаскиванию сверху , снизу . Итого:

.


Областная олимпиада. 11 класс. 1998г.
1. В прямоугольную горизонтальную кювету с двумя противолежащими металлическими, а двумя другими диэлектрическими стенками налит электролит, плотность которого , а электропроводность . К металлическим стенкам приложено напряжение U, и вся кювета помещена в однородное вертикальное магнитное поле с индукцией . Определить разность уровней жидкости между диэлектрическими стенками кюветы. Расстояние между металлическими стенками равно a, а их длина b.
2. В лабораторной установке требуется обеспечить непрерывный ток жидкости через плоский вертикальный змеевик ABCDE…. Лаборант присоединил к началу змеевика сосуд M, причем уровень жидкости в сосуде H был выше уровня h верхних колен змеевика, и открыл кран. Потечет ли жидкость через змеевик? Капиллярным явлением и падением уровня H жидкости в сосуде M пренебречь.




Рассмотрим процесс заполнения змеевика водой. При заполнении колена A жидкость начнет перетекать по нижней части колена B и стенкам колена C в D. После заполнения D повышается лишь уровень в трубке E. При этом запертый воздух в коленах B и C образует воздушную пробку. Для равновесия жидкости в колене E необходимо, чтобы давление p в воздушной пробке превышало атмосферное давление p_o на величину гидростатического давления столба жидкости в E, т. е.

.

Аналогично равновесие жидкости в A возможно, если H > h. Сквозной поток жидкости возможен, если превышение уровня H над уровнем колен равно сумме высот всех трубок, в которых жидкость стекает вниз, образуя воздушные пробки. Отсюда следует, что , где k – число колен в змеевике.
3. На краю прямоугольного обрыва высотой h лежит однородный шар радиусом R. В исходном положении шар находится в состоянии неустойчивого равновесия, т. е. центр шара лежит над краем обрыва. Определите место падения шара на землю, если вывести его из состояния равновесия. Трение между шаром и обрывом отсутствует.
На шар действуют две силы: сила тяжести и реакция опоры . Плечи этих сил относительно центра шара равны нулю, значит, шар движется поступательно и, следовательно, его можно принять за материальную точку.

В момент отрыва реакция опоры равна нулю. Тогда уравнение движения шара имеет вид:

(1).

На основании закона сохранения энергии для поступательного движения шара (относительно верхней поверхности обрыва)

(2).

Из (1) и (2) находим начальную скорость v_o и угол падения _о

, , .

Нижняя точка шара находится над Землей на высоте

.

Уравнение движения шара: , ,


(3)
(4)

Из (3) находим время падения шара . Тогда искомое расстояние точки падения от края обрыва равно: .

4. Перевернутый цилиндрический тонкий стакан высотою H плавает так, что его дно находится вровень с поверхностью воды, причем вода занимает часть стакана. Такой же стакан, но пустой, погружают в воду вверх дном. На какую глубину h надо его погрузить, чтобы он не всплыл? Окружающий воздух имеет температуру T₁, вода – T₂, атмосферное давление равно 10⁵ Па, плотность воды 10³ кг/м³.
Для плавающего у поверхности стакана давление воздуха в нем равно

.

Условие плавания (1), где G – вес стакана.

Погруженный на глубину h стакан не всплывает, если сила давления воздуха на дно стакана снизу  суммы силы давления воды на дно сверху и веса стакана, т. е.

(2),

где V –объем воздуха в стакане на глубине h. Исключая из (1) и (2) G, находим (3).

На основе объединенного газового закона (4).

Исключая из (3) и (4) объем V находим окончательно:

.

Задача имеет смысл, если .

5. На схеме, изображенной на рисунке, емкость C₂ = 10 мкФ, сопротивление резистора R = 2 кОм, площадь пластин конденсатора C₁, равна S = 100 см², а расстояние между ними d = 5 мм. Рентгеновский излучатель, который ионизирует воздух между обкладками конденсатора C₁, создает n = 210¹⁸ пар носителей заряда за 1 c в 1 м³. Заряд носителей e = 1,610^-19 Кл. Все носители заряда долетают до пластин конденсатора C₁. Определить заряд на конденсаторе C₂.
Электрический ток, протекший между обкладками конденсатора C₁ равен:

, где .

Напряжение на C₂ равно . Искомый заряд на обкладках

.

Подставим значения Кл.

II тур. 9 класс.
1. Определите экспериментально положение главных фокусов оптической системы двух линз расположенных на расстоянии L друг от друга.

Оборудование: собирающая линза Л1, рассеивающая линза Л2, вспомогательная линза Л, батарейка, лампочка, экран, линейка.
Положение главных фокусов оптической системы можно найти, направив параллельный пучок света вдоль главной оптической оси системы. Для этого нить лампочки устанавливается в главном фокусе вспомогательной линзы. Поверка параллельности пучка света проводится с помощью измерения диаметра пятна на экране при перемещении последнего вдоль пучка.

Расположим данную систему двух линз и вспомогательную линзу так, чтобы их главные оптические оси совпали, находим задний фокус F₂ оптической системы – место получения изображения на экране нити лампочки.

Направив параллельный пучок света с другой стороны системы, определим положение переднего фокуса F₁.
2. Определить отношение масс сосудов.

Оборудование: два прозрачных сосуда из одинакового материала (стекла), ведро с водой, липкая лента для отметки уровней воды, груша для переливания воды.
В один из сосудов (назовем его первым) наливаем такое количество воды, чтобы при опускании этого сосуда в ведро с водой он погружался до краев, но не тонул. В соответствии с условием плавания тел имеем , где m₁ – масса 1-го сосуда, _о – плотность воды, V_o – объем воды в сосуде, V₁ – объем сосуда, не заполненный водой, V_C – объем стекла, из которого изготовлен сосуд. Отсюда следует , где _С – плотность стекла.

Аналогично для массы второго сосуда получим . Следовательно, отношение масса равно отношению объемов . Отношение объемов можно определить разными способами, предварительно отметив липкой лентой, уровень жидкости в сосуде , , – объем груши. Следовательно, , где n_i – максимальное целое число объемов груши.
3. С поверхности горизонтального диска радиуса R = 1 м, вращающегося с постоянной угловой скоростью  = 0,50 с^-1, на высоте H = 2 м над поверхностью Земли случайно слетают водяные капли. Определите радиус мокрого пятна на поверхности земли.
Время падения капли . Дальность полета . Радиус мокрого пятна равен м.
II тур. 10 класс.




1. В сосуд с водой опускают стеклянный капилляр радиусом R. Температурный ход коэффициента поверхностного натяжения показан на рисунке. В каком диапазоне температур вся вода вытечет из сосуда? Для вычислений принять R = 0,1 мм, h = 14,1 см, H = 15 см,  = 10³ кг/м³.
Будем считать, что капилляр полностью смачивается водой, так что поверхность воды в капилляре является сферой радиуса R.

Для того, чтобы вода начала вытекать из сосуда, необходимо, чтобы избыточное давление над мениском было способно поднять воду в правом колене до горизонтального уровня, т. е.

.

Капли воды будут отрываться в левом капилляре, если избыточное давление под мениском меньше гидростатического . Последнее уравнение написано для наихудшего случая, когда почти вся вода уже вытекла. Таки образом,

(1)

Из графика находим Н/м (2). Из (1) и (2) находим .

^оС, ^оС.
2. Определить отношение масс сосудов.

Оборудование: два прозрачных сосуда из одинакового материала (стекла), ведро с водой, липкая лента для отметки уровней воды, груша для переливания воды.
В один из сосудов (назовем его первым) наливаем такое количество воды, чтобы при опускании этого сосуда в ведро с водой он погружался до краев, но не тонул. В соответствии с условием плавания тел имеем , где m₁ – масса 1-го сосуда, _о – плотность воды, V_o – объем воды в сосуде, V₁ – объем сосуда, не заполненный водой, V_C – объем стекла, из которого изготовлен сосуд. Отсюда следует , где _С – плотность стекла.

Аналогично для массы второго сосуда получим . Следовательно, отношение масса равно отношению объемов . Отношение объемов можно определить разными способами, предварительно отметив липкой лентой, уровень жидкости в сосуде , , – объем груши. Следовательно, , где n_i – максимальное целое число объемов груши.

3. На рисунке показана экспериментально полученная зависимость силы упругости пружины от ее длины. Найти период малых колебаний груза массой m = 60 г, подвешенного вертикально на этой пружине в поле силы тяжести.
Найдем положение равновесия груза. При равновесии , где x_o – координата положения равновесия (и длина пружины в этом положении). Значение x_o найдем графически, проведя прямую , до пересечения с графиком , x_o = 7,5 см.

При смещении из положения равновесия на x на груз действует возвращающая сила

.

При малых x: , где – жесткость пружины, когда ее длина равна x_o. Геометрически этому приближенно соответствует замена участка кривой прямой линией, т. е. касательной, проведенной в т. . Тангенс угла наклона этой касательной к оси x равен . Поэтому период малых колебаний груза равен

.

Из графика находим . Таким образом, c.

II тур. 11 класс.
1. Определить отношение масс сосудов.

Оборудование: два прозрачных сосуда из одинакового материала (стекла), ведро с водой, липкая лента для отметки уровней воды, груша для переливания воды.
В один из сосудов (назовем его первым) наливаем такое количество воды, чтобы при опускании этого сосуда в ведро с водой он погружался до краев, но не тонул. В соответствии с условием плавания тел имеем , где m₁ – масса 1-го сосуда, _о – плотность воды, V_o – объем воды в сосуде, V₁ – объем сосуда, не заполненный водой, V_C – объем стекла, из которого изготовлен сосуд. Отсюда следует , где _С – плотность стекла.

Аналогично для массы второго сосуда получим . Следовательно, отношение масса равно отношению объемов . Отношение объемов можно определить разными способами, предварительно отметив липкой лентой, уровень жидкости в сосуде , , – объем груши. Следовательно, , где n_i – максимальное целое число объемов груши.

2. Источник тока исследовали путем подключения к нему различных резисторов (нагрузок). Измерение значения силы тока в цепи и напряжения на клеммах источника приведены в таблице. Определите ЭДС источника, ток короткого замыкания и внутреннее сопротивление источника.

I, A	0,110	0,140	0,190	0,250	0,290	0,360	0,400
U, B	4,80	4,40	4,00	3,40	3,00	2,40	2,00

; .

Из графика найдем Ом^-1, A; Ом, B. Ток короткого замыкания A.

3. В сосуд с водой опускают стеклянный капилляр радиусом R. Температурный ход коэффициента поверхностного натяжения показан на рисунке. В каком диапазоне температур вся вода вытечет из сосуда? Для вычислений принять R = 0,1 мм, h = 14,1 см, H = 15 см,  = 10³ кг/м³.
Будем считать, что капилляр полностью смачивается водой, так что поверхность воды в капилляре является сферой радиуса R.

Для того, чтобы вода начала вытекать из сосуда, необходимо, чтобы избыточное давление над мениском было способно поднять воду в правом колене до горизонтального уровня, т. е.

.

Капли воды будут отрываться в левом капилляре, если избыточное давление под мениском меньше гидростатического . Последнее уравнение написано для наихудшего случая, когда почти вся вода уже вытекла. Таки образом,

(1)

Из графика находим Н/м (2). Из (1) и (2) находим .

^оС, ^оС.