Областная олимпиада. 9 класс. 2003 г

Областная олимпиада. 9 класс. 2003 г.




1. Три деревянных шарика массами m₁, m₂ и m₃ соединены нитями, перекинутыми через блоки так, как показано на рисунке. Шарики массами m₂ и m₃ частично погружены в воду, налитую в цилиндрический сосуд с площадью основания S и система грузов находится в равновесии. На сколько повысится уровень воды в сосуде, если нить, связывающая грузы m₁ и m₂ разрывается, и все шарики оказываются в воде?
Обозначим изменение высоты уровня воды в сосуде – h. Тогда:

, где , , – объемы подводной части шариков при равновесном состоянии системы. , , , где  – плотность воды. Объемы V₂ и V₃ определим из уравнений, описывающих равновесное состояние шариков.

.

.

2. На главной оптической оси тонкой собирающей положительной линзы на расстоянии (F – фокусное расстояние) находится точечный источник (S). Линза разделяется на две равные половины плоскостью, содержащей главную оптическую ось, и одна из этих половин начинает медленно без наклона удаляться от источника по главной оптической оси. Опишите, как выше указанная оптическая система будет отображать источник S.
Задача решается аналитически или путем построений.

1) Всегда существует действительное изображение S₁, находящееся на расстоянии от неподвижной части линзы.

2) удаляющаяся часть линзы всегда формирует действительное изображение S₂, которое удаляется от точки S₁, но приближается к заднему фокусу этой части линзы.

3) Как только удаляющаяся часть линзы окажется в интервале [S₁, S₁ + F] система формирует третье мнимое изображение источника (точка S₃). При удалении части линзы от точки S₁, т. е. к источнику S и дальше.

4) Когда перемещающаяся часть линзы окажется на расстоянии S₁ + F от первоначального положения, т. е. на расстоянии , изображение S₃ раздваивается (мнимое в слева и действительное в справа).

5) При небольшом удалении части линзы от точки S₁ + F остается только действительное изображение S₃, которое начинает приближаться к этой части линзы и к источнику S, но S₃ всегда остается правее точки S₂, т. е. отрезок S₂S₃ всегда уменьшается.

6) С некоторого положения перемещающейся части линзы изображение S₃ приближаясь к ней, начнет удаляться от точки S (но всегда S₂S₃ уменьшается).

7) На очень большом расстоянии перемещающейся части линзы от первоначального положения точки S₂ и S₃ практически совпадут в заднем фокусе движущейся части линзы.
3. Высокая теплоизолированная трубка заполнена до высоты 25 см льдом, полученным при замерзании воды в этой же трубке. Поверх льда в трубку заливают воду при температуре 10 ^оС так, что трубка оказывается заполненной до высоты 50 см. После установления теплового равновесия уровень воды в трубке повышается на 0,5 см. Какова была начальная температура льда? Плотность льда 900 кг/м³, удельная теплота плавления льда 340 кДж/кг, удельная теплоемкость льда 2100 Дж/(кгК), а удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кгК).
Между льдом и водой происходит теплообмен. При этом часть воды кристаллизуется и устанавливается нулевая температура. Определим массу замерзшей воды.

, где h = 0,25 м, h = 0,05 м, h₁ высота столбика льда.

.

Составим уравнение теплового баланса

или .

Из последнего уравнения находим начальную температуру льда .
4. Из шланга лежащего на земле, «бьет» под углом 45^о к горизонту струя воды со скоростью v м/с и попадает на наклонную поверхность с углом наклона 45^о и отстоящую по горизонтали от шланга на расстоянии l м. Площадь сечения отверстия шланга S см². Определить массу струи воды, находящейся в воздухе.
Масса воды определяется по формуле , где t – время движения воды до соприкосновения с поверхностью.

Для траектории воды: (1), . Выражая из уравнения координаты по оси x время, и подставляя во второе уравнение , получим уравнение траектории струи:

.

Уравнение прямой, принадлежащей плоскости . Учитывая, что , получаем и (2). Сделаем замену (1) в (2): . Следовательно, масса струи воды, находящейся в воздухе равна .

Примечание: на олимпиаде были предложены значения v = 6 м/с, S = 3 см², l = 5 м,  = 45^о. Подставляя эти значения в формулу кг. Но дальность полета струи м, струя не долетает до наклонной поверхности. Следовательно, и кг.
5. Какой электрический ток пойдет по подводящим проводам цепи, присоединенной к источнику с очень большой выходной мощностью, при коротком замыкании, если на спиралях сопротивлением 400 Ом и 100 Ом при поочередном их подключении в цепь, выделяется одинаковая мощность 400 Вт?

Значения силы тока при подключении спиралей и коротком замыкании равно:

, , .

Напряжение на спиралях определим по формуле:

, , , , где R_o – сопротивление подводящих проводов. , , .

, .

Разделив, левые и правые части уравнений, находим

.

Областная олимпиада. 10 класс. 2003 г.
1. Шмель может лететь вертикально вверх с максимальной скоростью v₁, вниз – со скоростью v₂. Считая «силу тяги» шмеля не зависящей от направления полета, а силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости шмеля, определите максимальную скорость шмеля под углом  к горизонту.
Запишем условия равномерного полета шмеля вверх:

и вниз: .

Отсюда можно выразить отдельно «силу тяги» F и силу тяжести mg, через постоянный коэффициент k и скорости:

, .

Пусть искомая скорость шмеля равна v и направлена под углом  к горизонту. Тогда можно записать (см. рисунок):

, или .

Поскольку , после простых преобразований, получим

, и .
2. Тонкостенная проводящая сфера радиусом R подключена источнику тонкими проводами, присоединенными в точках A и B (AO  OB, О – центр сферы). Ток через источник равен I_o. В каком направлении движутся заряды в точке C (OC  OA, OC  OB)? Сделав на сфере около точки C две отметки, так, чтобы расстояние между ними составлял R/1000, а соединяющий их отрезок оказался перпендикулярным направлению движения зарядов. Какая часть тока протекает по сфере между этими отметками?
Сначала рассмотрим совсем простое подключение сферы к источнику к полюсам. Ясно, что на экваторе между отметками, находящимися на малом расстоянии l друг от друга, будет течь ток

.

Теперь подключим к сфере два источника – один между полюсами, а другой – между противоположными точками экватора. Тогда ток в точке C будет равен геометрической сумме двух взаимно перпендикулярных токов. Но этот ток ровно в 2 раза больше искомого.

Окончательно получим, что между заданными отметками на сфере протекает ток

в направлении 45^о к экватору.
3. На квадратном деревянном плоту размером 2  2  0,3 м, сделанного из дерева плотностью 800 кг/м³, стоит физик массой 80 кг. На какое расстояние от центра плота он должен отойти, чтобы край плота окунулся в воду?
Пусть в начальный момент времени физик находится в центре плота. Запишем условие равновесия системы «человек – плот» в виде , где m – масса человека, – масса плота, S – площадь плота, h – глубина погружения его в воду. Отсюда находим h = 0,26 м.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда человек отошел от центра на расстояние l, и край плота окунулся в воду. Поскольку система по-прежнему находится в равновесии, объем погруженной части плота изменится не должен:

м.

Нам осталось записать уравнение моментов сил относительно центра масс плота. Моменты создают следующие силы: сила тяжести человека , архимедова сила , действующая на погруженную не заштрихованную на рисунке часть плота, и архимедова сила , действующая на заштрихованный участок, причем точка ее приложения лежит в точке пересечения медиан выделенного треугольника (плечо этой силы равно , где L = 2 м – длина плота). Поэтому получаем равенство

.

Из последнего уравнения, учитывая малость угла , находим искомую величину l:

м.




4. Зависимость величины тока от приложенного напряжения для лампы неизвестной конструкции приведена на рисунке. Эту лампу подключили к источнику последовательно с резистором, сопротивление которого 10 Ом. При каком напряжении источника мощность, потребляемая лампой, составит ¼ от мощности, которую развивает источник?
Задачу придется решать графически. По условию мощность источника в 4 раза больше мощности лампы, значит, напряжение на резисторе составляет ¾ напряжения батареи, а напряжение лампы – ¼, т. е. ровно в 3 раза меньше и при том и при том же токе. Если нарисовать на нашем графике зависимость между током и напряжением для резистора, сопротивление которого в 3 раза меньше, чем 10 Ом, то получим прямую, которая пересекает график для лампы при токах 2,5 A и 6 A. Конечно, эти цифры примерные, их точность определяется малыми размерами графика – у вас могут получиться несколько другие значения.

Теперь найдем ответ. Условие задачи можно выполнить, подобрав напряжение источника таким, чтобы ток составил либо 2,5 A: B, либо 6 A: B.

5. На главной оптической оси тонкой собирающей положительной линзы на расстоянии (F – фокусное расстояние) находится точечный источник (S). Линза разделяется на две равные половины плоскостью, содержащей главную оптическую ось, и одна из этих половин начинает медленно без наклона удаляться от источника по главной оптической оси. Опишите, как выше указанная оптическая система будет отображать источник S.
Задача решается аналитически или путем построений.

1) Всегда существует действительное изображение S₁, находящееся на расстоянии от неподвижной части линзы.

2) удаляющаяся часть линзы всегда формирует действительное изображение S₂, которое удаляется от точки S₁, но приближается к заднему фокусу этой части линзы.

3) Как только удаляющаяся часть линзы окажется в интервале [S₁, S₁ + F] система формирует третье мнимое изображение источника (точка S₃). При удалении части линзы от точки S₁, т. е. к источнику S и дальше.

4) Когда перемещающаяся часть линзы окажется на расстоянии S₁ + F от первоначального положения, т. е. на расстоянии , изображение S₃ раздваивается (мнимое в слева и действительное в справа).

5) При небольшом удалении части линзы от точки S₁ + F остается только действительное изображение S₃, которое начинает приближаться к этой части линзы и к источнику S, но S₃ всегда остается правее точки S₂, т. е. отрезок S₂S₃ всегда уменьшается.

6) С некоторого положения перемещающейся части линзы изображение S₃ приближаясь к ней, начнет удаляться от точки S (но всегда S₂S₃ уменьшается).

7) На очень большом расстоянии перемещающейся части линзы от первоначального положения точки S₂ и S₃ практически совпадут в заднем фокусе движущейся части линзы.
Областная олимпиада. 11 класс. 2003 г.
1. Из опыта известно, что, если замкнутую систему тел перенести из одного положения в пространстве в другое или повернуть ее в пространстве на любой угол, то такие операции не изменяют ход физических процессов в системе. Эти свойства называют однородностью и изотропностью пространства, соответственно.
Пусть – потенциальная энергия взаимодействия n – материальных точек. Доказать, что свойства однородности и изотропности пространства приводят к тому, что функция u должна зависеть от расстояний каких-либо (n – 1) точек и остальной точки, т. е.

.
Пусть – произвольный вектор смещения начала координат. Тогда однородность пространства требует выполнения равенства: . В частности, полагая , имеем . Очевидно, изотропность пространства требует равенства
2. Светящаяся оболочка взорвавшейся звезды начала расширятся в точке O со скоростью . Найти:

1) Место точек («видимую» оболочку), излучение от которой достигает наблюдателя, находящегося на достаточно большом удалении R от точки O в момент времени .

2) Скорость расширения «видимой» оболочки. 3) Максимальное значение скорости .

4) Максимальное значение составляющей скорости перпендикулярной к лучу зрения.

Скорость света c.
1) Пусть момент времени испускания света от точки A равно , тогда

.

2) , , при .

3) .

4) Условие максимума , .

3. Расчеты показывают, что напряженность электрического поля внутри равномерно заряженного шара радиуса R равно , где  – объемная плотность заряда, – радиус вектор точки наблюдения (), _о – электрическая постоянная. Используя эти результаты найти:

3.1. Напряженность электрического поля в полости, образованной пересечением двух шаров. Шары несут равномерно распределенные по объему заряды с плотностями  и –. Расстояние между центрами шаров a.

3.2. Распределение зарядов по поверхности сферы радиуса R, чтобы поле внутри нее было однородным и равным .
1) По принципу суперпозиции: .

Таким образом, поле внутри полости – однородно-независимо от соотношения радиусов шаров и расстояния между центрами. В частности, поле – однородно внутри сферической полости, вырезанной внутри однородно заряженного шара.

2) Рассмотрим пересечение двух шаров радиуса R, равномерно заряженных по объему с плотностями  и –. Расстояние между центрами . Как показано в 1) поле внутри полости однородно и равно .

При этом объемный заряд отличен от нуля только в тонком поверхностном слое. Переходя к пределу при (считая, что ), мы приходим к представлению о поверхностном заряде на сфере. Очевидно, толщина заряженного слоя в точке, определяемой углом , равна . Тогда на единицу площади приходится заряд: .
4. Если электрон движется внутри сферы радиуса r с импульсом p, то имеет место соотношение неопределенностей Гейзенберга . Опираясь на соотношения неопределенностей Гейзенберга оценить «размеры» и энергию основного состояния атома водорода и гелия. Сравнить полученные оценки для энергий с экспериментом эВ, эВ.
Полная энергия атома водорода:

(1).

Минимизируя (1) по r, находим

м; эВ.

Полная энергия атома гелия

(2).

Минимизируя (2) по r, находим

м; эВ.
5. Два спутника A и B следуют друг за другом на расстоянии 45 км по общей круговой орбите вблизи Земли. Чтобы стыковаться, они должны сблизиться и продолжать движение по общей орбите. Какой простейшей последовательностью коротких включений двигателя отстающего спутника B можно осуществить этот маневр, если его двигатель может изменить его скорость на величину v, не превышающую 8 км/ч? Радиус Земли R = 6,3710⁶ м, ускорение свободного падения g = 9,81 м/с².
Движение приземного спутника описывается уравнением:

или (1).

Из уравнения (1) можно получить ряд полезных соотношений:

Период обращения спутника ч (2).

Полная энергия спутника (3) (4).

(3-й закон Кеплера) (5).

Из уравнений (4) и (5) получаем: (6).

Для уменьшения периода T, необходимо увеличить |E| или уменьшить скорость на v < 0 (т. к. E < 0). Для малых изменений периода и скорости из (6) получаем:

(7).

При этом спутник перейдет на орбиту меньшего радиуса и через n оборотов опередит свое первоначальное положение на круговой орбите на расстояние

.

Увеличив затем его скорость v можно снова перевести его на исходную орбиту с относительной скоростью спутников равной нулю. Определим n и v при L = 45 км и T = 1,41 ч:

км/ч; при n = 1 км/ч, при n = 2 км/ч, таким образом .

Для стыковки необходимо уменьшить скорость отстающего спутника на 5,3 км/ч, а затем через два оборота вновь увеличить ее до прежнего уровня.
II тур. 9 класс.
1. Имеется школьный лабораторный вольтметр с пределом измерения 6 B, источник стабилизированного напряжения не более 6 B, моток тонкой медной проволоки и линейка. Как, используя перечисленные материалы, изготовить амперметр измерения 1 A?
Чтобы изготовить амперметр, нужно знать сопротивление прибора. Для этого вольтметром необходимо измерить напряжение источника U₁. Затем, подключить вольтметр к источнику тока по схеме, изображенной на рисунке и измерить напряжение U₂. , где l – длина проволоки, S – площадь поперечного сечения,  – удельное сопротивление меди. Полученные данные позволяют определить сопротивление шунта.

, , .

2. На призму из стекла, изображенную на рисунке, от щели падает параллельный пучок света. При вращении щели и призмы относительно оси пучка лучей происходит вращение изображения щели, отличающееся по направлению и частоте. Объясните наблюдаемые явления.
Задача решается путем последовательного построения изображения при различных положениях призмы:

1) Призма горизонтальна – изображение стрелки перевернутое (смотри рисунок).

2) Призма перевернута на 90^о. Изображение прямое, т. е. повернулось на 180^о.

3) Призма повернута еще на 90^о. Изображение разворачивается снова на 180^о.

Таким образом, изображение стрелки вращается с угловой скоростью в два раза большей, чем призма.

Направление вращения:

Пусть стрелка поворачивается относительно оси по часовой стрелке, тогда ее изображение вращается в противоположную сторону, против часовой стрелки.

При вращении призмы относительно предмета, его изображение вращается в туже сторону, что и призма.
II тур. 10 класс.
1. В стакан с водой опустили кипятильник, и вода начала понемногу нагреваться. График зависимости температуры воды от времени приведен на рисунке. По истечении трех минут кипятильник отключают от сети. Через какое время вода остынет до 50 градусов? До 30?
Начальный участок графика – почти прямолинейный; значит, потери тепла тут малы. Будем считать, что их вовсе нет. Это даст нам возможность оценить теряемую тепловую мощность при разных температурах воды в долях по отношению к мощности нагревателя. Для этого нам нужно сравнить наклоны касательных в разных точках графика.

В области температуры 60 ^оС тангенс угла наклона касательной в 8 раз меньше тангенса угла наклона начального прямолинейного участка. Это означает, что здесь 7/8 потребляемой энергии уходит наружу. Аналогично получаем, что при температурах, близких к 50 ^оС, теряется 3/4 энергии. При меньших температурах точность получается совсем плохой, поэтому на второй вопрос (остывание до 30 ^оС) ответ можно дать лишь приблизительный.

Примерный «график остывания», т. е. график зависимости температуры воды при остывании, от времени, приведен на рисунке. Из этого графика видно, что время остывания от 60 до 50 ^оС составляет примерно 0,3 мин, а до 30 ^оС – 2,5 – 3 мин.

Примечание. Полученные ответы, конечно же, очень сильно зависят от вида исходного графика. Поэтому не стоит серьезно полагаться на приведенные цифры, лучше постарайтесь аккуратно получить их из своих данных.
2. На призму из стекла, изображенную на рисунке, от щели падает параллельный пучок света. При вращении щели и призмы относительно оси пучка лучей происходит вращение изображения щели, отличающееся по направлению и частоте. Объясните наблюдаемые явления.
Задача решается путем последовательного построения изображения при различных положениях призмы:

1) Призма горизонтальна – изображение стрелки перевернутое (смотри рисунок).

2) Призма перевернута на 90^о. Изображение прямое, т. е. повернулось на 180^о.

3) Призма повернута еще на 90^о. Изображение разворачивается снова на 180^о.

Таким образом, изображение стрелки вращается с угловой скоростью в два раза большей, чем призма.

Направление вращения:

Пусть стрелка поворачивается относительно оси по часовой стрелке, тогда ее изображение вращается в противоположную сторону, против часовой стрелки.

При вращении призмы относительно предмета, его изображение вращается в туже сторону, что и призма.

II тур. 11 класс.
1. Бесконечная цепочка состоит из одинаковых шариков массы m, соединенных одинаковыми легкими пружинами жесткостью k. Каждый шарик может двигаться только в направлении вдоль цепочки.

1.1. Найти собственную частоту колебаний одного из шариков _о, если два соседних шарика закреплены.

1.2. По цепочке распространяется продольная бегущая волна, для которой смещение k-го шарика x_k изменяется по гармоническому закону . Найти сдвиг фаз  между колебаниями двух соседних шариков при частоте волн .

1.3. При каких частотах колебаний  по цепочке могут распространяться бегущие волны?
1) Обозначим смещение шарика от конечного положения равновесия через x. Уравнение движения шарика имеет вид: (1). Учитывая, что , из (1) получаем уравнение гармонических колебаний с круговой частотой (2) вида:

2) Обозначим смещение k-го шарика от положения равновесия через . Тогда по закону Гука имеем: , .

Уравнение движения (1) примет вид:

,

или с учетом обозначения (2): (3).

Для бегущей волны . Сдвиги фаз колебаний между соседними шариками  – одинаковы, а выбор начальной фазы колебаний одного из шариков произволен. Поэтому подставляя в (3) следующие выражения для смещения:

, , .

Получим:

.

Учитывая соотношение , и сокращая на , находим (4) или .

Два знака соответствуют бегущим волнам, распространяющимся в разных направлениях.

3) Так как , находим (5).
2. В кабине космического корабля имеется высокочастотная печь для исследования плавления в условиях невесомости. Нужно расплавить металлический шар, который хорошо проводит тепло. Разработайте методику экспериментального определения времени полного расплавления шара.

Примечание:

1) Теплообмен шара с окружающей средой пропорционален разности температур;

2) Исследователь имеет возможность визуально наблюдать процесс плавки, а также изменять мощность печи и пользоваться справочными данными.
t_o = 0 – начало плавки, так как шар обладает высокой теплопроводностью, то он быстро прогреется и, следовательно, температуру внутри шара можно считать не зависящей от радиальной координаты. Очевидно, что из-за разности температур внутри шара и вне он будет излучать. Шар начнет плавиться с поверхности. Из-за того, что опыт проводится в условиях невесомости, образующаяся жидкая пленка будет покрывать шар и никуда не будет стекать. В итоге получится жидкая капля радиусом, равным радиусу шара.

Визуально можно заметить начало плавления, но нельзя судить расплавился весь шар или нет. Запишем уравнение теплового баланса.

(1),

где t – время (в секундах); , , , – теплоемкость, плотность, объем шара и температура плавления шара соответственно;  – удельная теплота плавления; T_o – температура окружающей среды;  – доля расплавившегося к моменту времени t объема; – излученная с поверхности энергия. (2), где R – радиус шара; – некоторый коэффициент; – тепло, излученное за время t₁, равное нагреву шара от T_o до T_пл: при t < t₁ плавления еще нет, а при t > t₁ плавление уже есть.

Из (1), (2), (3) можно получить: (4), при полном расплаве шара  = 1, P, R, T_o, t₁ – можно измерить,  и можно взять из справочника.

Для опытного определения коэффициента можно использовать следующее. Изменяя мощность печи добиваются такого ее значения, при котором подводимая мощность будет равна теряемой шаром на излучение. В этом случае , но он еще не плавится. Тогда из уравнения

, по измеряемым величинам R, , T_o, P₁ найдем коэффициент .