Областная олимпиада. 9 класс. 2001 г

Областная олимпиада. 9 класс. 2001 г.
1. Два тела движутся по прямой навстречу друг другу с начальными скоростями v_o1 = 20 м/с и v_o2 = 15 м/с и постоянными ускорениями a₁ = 2 м/с² и a₂ = 1 м/с², направленным противоположно соответствующим скоростям в начальный момент времени. При каком максимальном расстоянии S^/ между телами они встретятся в процессе движения.
Свяжем систему координат с первым тело. Уравнения движения тел в этой СК будет

; , где и – скорость и ускорение второго тела относительно первого. Учитывая расположение векторов и направление оси , будем иметь: , .

Таким образом, уравнение движения второго тела будет

.

Графики движения тел в подвижной СК. При t =  второе тело придет в начало координат, т. е. поравняется с первым телом. Следовательно, (1).

Найдем время встречи. Как видно из графика, скорость в момент времени должна быть равна 0. . При . Следовательно, (2). Подставляя это значение в (1), получим: .

Графики движения тел в неподвижной СК:

t₁ = 10 c и t₂ = 15 c – моменты времени, когда тела поравняются. Как видно из рисунка в точке встречи у них одинаковая скорость, следовательно, относительная скорость равна 0.

Второй способ решения:

Используя для относительного движения формулу . Здесь ,

; ; – проекция вектора перемещения. Следовательно, .

.

Примечание: при решении таким способом надо обосновать, что конечная относительная скорость равна 0. (с помощью графика 1)


2. Шарик падает под углом  на наклонную плоскость, образующую угол  с горизонтом. После нескольких упругих отскоков от наклонной плоскости шарик возвращается в исходную точку. Сколько отскоков совершил при этом шарик.
Пусть шарик падает и отскакивает со скоростью v_o. Введем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда , , , , , .

Уравнения движения шарика после отскока будут иметь вид:

, .

Пусть в момент времени шарик вернется в исходную точку, т. е. при x = 0. Следовательно, – время движения шарика.

Легко видеть, что высота подскока над наклонной плоскостью будет оставаться неизменной – это, по существу, движение тела брошенного вверх с начальной скоростью и ускорением .

Следовательно, время между двумя отскоками в процессе движения не меняется и его можно найти из условий: y = 0 или v_y = 0, . Следовательно, . Если взять ; время подъема.

3. В теплоизолированном сосуде имеются две жидкости с начальными температурами t₁ и t₂ и удельными теплоемкостями c₁ и c₂, разделенные не теплопроводящей перегородкой. Перегородку убирают, и после установления теплового равновесия разность между начальной температурой одной жидкости и установившейся в сосуде температурой t оказывается в 2 раза меньше разности начальных температур. Найти отношение масс жидкостей.
Пусть для определенности t₂ > t₁. Тогда будем иметь: , Следовательно, . По условию задачи . Следовательно,

.
4. В сосуде, из которого быстро откачивают воздух, находится небольшое количество воды массой m при температуре 0 ^оС. В результате интенсивного испарения происходит замораживание воды. Какая часть первоначального количества воды обратилась в лед?
Пусть m₁ – масса образовавшегося льда, m₂ – масса пара. Тогда m₁ + m₂ = m – масса воды до замерзания. – количество выделившейся теплоты при кристаллизации воды массой m₁.

– количество теплоты необходимое для испарения воды массой m₂. Не учитывая потери при теплообмене, имеем . Следовательно, от первоначальной массы.

5. Для регулирования напряжения на нагрузке собрана схема, изображенная на рисунке. Сопротивление нагрузки и регулировочного реостата равно R. Нагрузка подключена к 2/3 части реостата. Выходное напряжение неизменно и равно U. Определить во сколько раз изменится напряжение на нагрузке, если ее сопротивление увеличить в 2 раза?
2/3 части реостата вместе с нагрузкой эквивалентны резистору с сопротивлением

.

Полное сопротивление цепи . Ток в цепи . Напряжение на нагрузке будет равно . Если сопротивление нагрузки станет равным 2R, то , , , напряжение на нагрузке будет равно . .

Областная олимпиада. 10 класс. 2001 г.
1. На рисунке изображены два одинаковых кубика массой M каждый. К середине невесомой нити прикрепленной к ним в точках A и B, приложена горизонтальная сила. При каких значениях F верхний кубик будет неподвижен, если нижний жестко закреплен на поверхности? Коэффициент трения между кубиками , а угол ACB равен 2.
Изобразим силы, действующие на верхний кубик: , , и . Под действием этих сил кубик может не только двигаться поступательно, но и поворачиваться.

1) Поступательное движение.

По второму закону Ньютона , . В проекции на оси координат:

x: , y: .

Так как кубик должен находится в покое, то . Тогда , . Из рисунка видно, что , окончательно,

.

Так как (1). Так как F > 0, то , если же , то наступает заклинивание и ни при каком F кубик не сможет двигаться поступательно.

2) Вращение.

Кубик может опрокинуться, поворачиваясь вокруг оси, проходящей через точку O. В этой точке при опрокидывании будет приложена сила реакции опоры . Тогда

и . Имеем .

Опрокидывание не произойдет, если F < Mg (2). Рассмотрим совместно (1) и (2) или

. Тогда при условии кубик, с ростом F, раньше начнет скользить. При выполнении противоположного неравенства – опрокидываться.
2. Одноатомный идеальный газ расширяется так, что его молярная теплоемкость остается постоянной, при этом газ совершает работу A = 165 Дж. Затем газ изохорически нагревают до первоначальной температуры, для чего к нему подводят количество теплоты Q = 125 Дж. Определите молярную теплоемкость.
Пусть в процессе с постоянной теплоемкостью, равной , температура газа изменяется от T₁ до T₂. Тогда по определению c, количество теплоты , полученное газом, равно (1). По закону сохранению энергии (первое начало термодинамики) (2), где A – работа, совершаемая газом над внешними телами; U – изменение внутренней энергии газа.

При нагревании газа изохорически все подведенное количество теплоты Q идет на увеличение внутренней энергии газа. Газ при этом возвращается к исходной температуре T₁. Так как U есть функция только T, а ее изменение определяется только разностью температур, то в процессе с постоянной теплоемкостью изменение температуры газа и изменения его внутренней энергии противоположны по знаку соответствующим изменениям при изохорическом процессе.

Для рассматриваемого изохорического процесса (3). Подставляя (3) в (1) и в (2) и учтем выше сказанное относительно U, будем иметь

. .

Окончательно: Дж/(мольК). Минус означает, что при подводе к газу тепла происходит охлаждение газа. Это происходит потому, что газ совершает работу и за счет уменьшения собственной внутренней энергии.
3. Две тонкие собирающие линзы имеют общую главную оптическую ось. Фокусное расстояние первой линзы 10 см, а второй – 20 см. Расстояние от предмета до первой линзы равно 30 см. При каких расстояниях между линзами эта оптическая система дает мнимое уменьшенное изображение предмета.
Находим положение изображения предмета, даваемое первой линзой. Сделаем рисунок и введем обозначения. см. Увеличение первой линзы (1) .

Пусть изображение стрелочки H₁ даваемое второй линзой H₂. Тогда рассуждая похожим образом, находим увеличение второй линзы , где d₂ и f₂ соответственно расстояния от H₁ до второй линзы и от линзы до H₂. Из последнего равенства находим или с учетом (1) имеем . Из этого находим увеличение системы линз . По условию , т. е. (2). Для того, чтобы изображение было мнимым необходимо, чтобы выполнялось условие (3).

По формуле второй тонкой линзы, удовлетворяющей условию (3), находим

(4). Подставим (4) в (2) . Решим это уравнение:

, откуда (6).

Из рисунка видно, что расстояние , с учетом (6) находим, что или

L < 15 см + 10 см < 25 см.

Это верхний предел по L, ибо L < f₁ изображение будет уменьшенным, но действительным. Таким образом, 15 см < L < 25 см.

4. На рисунке изображены две зависимости сопротивления R от площади поперечного сечения S для некоторого широко используемого в технике проводника. Определить длину l₃ этого проводника в точке A₃, находящегося посредине отрезка A₁A₂ биссектрисы угла ROS. Длины проводников l₁ и l₂ на соответствующих кривых считать известными.
Для практически важных проводников сопротивление в зависимости от параметров рассчитывается по формуле . Если имеем набор проводников строго определенной длины, например l₁, но с различными постоянными сечениями S_i, то . Это напоминает зависимость при постоянной температуре T вида . Пусть для точки A₁ сопротивление R₁ и площадь поперечного сечения S₁. Так как OA₂ биссектриса, то и сопротивление R₂ в точке A₂ и площадь поперечного сечения S₂, будут , где a – некоторое число. Для точки A₃ имеем

; .

Так как материал проводников один и тот же (удельное сопротивление ), то

или , .
5. Откачанный до глубокого вакуума сосуд разделен жесткой неподвижной перегородкой на две части равного объема. В первую часть сосуда вводится смесь аргона и водорода при давлении p = 1,5 МПа. Обнаруживается при этом, что в результате диффузии через перегородку может просачиваться только водород. После окончания процесса диффузии давление в первой части сосуда становится 1 МПа. Найти в каком отношении взяты в смеси массы аргона и водорода. Процесс диффузии считать очень медленным и изотермическим. Толщиной полупроницаемой перегородки пренебречь. Молярная масса аргона 0,04 кг/моль, водорода 0,002 кг/моль.
В начальный момент времени водород не успевает диффундировать через перегородку. Начальное давление p смеси газов . Пусть – масса водорода, а – масса аргона. Объем всего сосуда 2V (первой части V). Температура системы T. Тогда (1).

После окончания процесса диффузии водород равномерно займет весь объем 2V и его давление в первой части станет . Теперь давление смеси газов станет (2). Возьмем отношение (1) к (2) или . Т. е. .
Областная олимпиада. 11 класс. 2001 г.
1. Магнитогидродинамический насос для перекачки жидких (расплавленных) металлов имеет участок в виде канала квадратного сечения со стороной a = 2 см, находящийся в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл. Найдите перепад давления в таком насосе p, если перпендикулярно магнитному полю через боковые электроды пропустить ток I = 100 A.
Перепад давления создается за счет силы Ампера, действующей на ток со стороны магнитного поля. Пусть S – площадь бокового электрода. Плотность тока . Выделим на электроде малую площадку , тогда по выделенному проводнику длины a и площади поперечного сечения течет ток . На ток действует сила Ампера . Тогда на весь объем жидкого металла действует сила . Эта сила уравновешивается перепадом давлений между входным и выходным сечением насоса . Отсюда находим . После вычислений, находим Па.
2. В проточном колориметре газ пропускают при температуре T₁ = 293 K. При мощности нагревателя N₁ = 1 кВт и расходе газа q₁ = 540 кг/ч температура T₂ газа за нагревателем оказалась такой же, как и при удвоенной мощности нагревателя и увеличении расхода газа до q₂ = 720 кг/ч. Найти температуру T₂ газа. Давление газа постоянно, его молярная теплоемкость c = 29,3 Дж/(мольК).
За интервал времени t нагреватель выделяет количество теплоты , которое частично отдается газу массы , проходящему за это время через спираль нагревателя, и частично в количестве теряется из-за теплопроводности и излучения стенок трубки и торцов устройства. Уравнение теплового баланса для этих двух условий опыта имеют вид:

, .

– для установившейся разности температур , одинаковы. Вычитая, имеем:

. Тогда .

После подстановки значений имеем T₂ = 312,8 K.
3. Какие предметы можно рассмотреть на фотографии, сделанной со спутника, если разрешающая способность пленки  = 0,01 мм? Каким должно быть время экспозиции , чтобы полностью использовать возможность пленки? Фокусное расстояние объектива фотоаппарата F = 10 см, высота орбиты спутника H = 100 км. Радиус Земли R = 6400 км. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с². (разрешающая способность пленки – это наименьшее расстояние между двумя различимыми глазами точками).
Так как высота орбиты спутника , то скорость спутника на орбите . За время экспозиции  спутник пролетел расстояние . Используя формулу линзы , и определение линейного увеличения объектива, найдем смещение l изображения на пленке, которое не должно превышать ее разрешающей способности 

, , .

с.

Минимальный размер предметов, которые можно рассмотреть на фотографии, будет мало отличаться от того, что дает неподвижный фотоаппарат () и определена «размытием» изображения, т. е. м.

4. Магнитное поле симметрично относительно вращения вокруг оси z, причем проекция вектора магнитной индукции на ось z изменяется по закону . Найти угол  между вектором и осью z в точке A, лежащей на расстоянии R от оси z и на расстоянии h от плоскости XOY. B_o и h_o – известные постоянные.
Воспользуемся важным свойством магнитного поля: линии магнитного поля всегда замкнуты и поэтому магнитный поток  через любую замкнутую поверхность равен нулю. Рассмотрим замкнутую цилиндрическую поверхность, проходящую через точку A. Тогда:

.

;

.

5. Кирпич массы m лежит на горизонтальном столе. Коэффициент трения между кирпичом и столом равен . К кирпичу приложена сила под углом  к плоскости стола. Нарисовать график зависимости силы трения и ускорения кирпича a от величины силы .
Рассмотрим 3 случая:  = 0;  > 0;  < 0.

1)  = 0, при этом .

Если .

Если и .

2)  > 0

.

Область определения: .

Если кирпич неподвижен, т. е. a = 0.

,

следовательно ;

Если (a > 0), то

= .

(F > F_o), .

3)  < 0

всегда.

Если a = 0; .

Данное условие выполняется при условии или , если , т. е. , то , если , то произойдет заклинивание кирпича.

Если a > 0 и ,

то ,

следовательно, , .


II тур. 9 класс.
1. 1 кг льда и 1 кг легкоплавкого вещества, не смешивающего с водой при t = –40 ^оС помещены в теплоизолированный сосуд с нагревателем внутри. На нагреватель подали постоянную мощность. Зависимость температуры в сосуде от времени показана на рисунке. Удельная теплоемкость льда равна Дж/(кгК), твердого вещества Дж/(кгК). Определить удельную теплоту плавления вещества  и его удельную теплоемкость c в расплавленном состоянии.
Плато при t = –20 ^оС соответствует процессу плавления вещества при t = 0 ^оС – таянию льда.

Нагрев смеси от –40 ^оС до –20 ^оС потребовал времени ₁ = 60 с и количества тепла P₁, где P – мощность нагревателя.
Уравнение теплового баланса для этого процесса:

(1).

Для полного плавления вещества потребовалось времени ₂ = 120 с: (2). Разделив уравнение (1) на (2) найдем : Дж/кг.

Нагрев льда и вещества от –20 ^оС до 0 ^оС потребовал ₃ = 60 с, и уравнение теплового баланса примет вид: (3). Разделив уравнение (3) на (1), находим c:

Дж/(кгК).
2. Стеклянный флакон от духов заполнен ртутью и плотно закрыт притертой стеклянной пробкой. Не вынимая. На вынимая пробки, определить массу находящейся во флаконе ртути. Оборудование подберите сами
– масса ртути, плотность ртути – табличное данное.

– масса флакона с ртутью (определим путем взвешивания (m))

– масса стеклянного флакона, плотность стекла – табличное значение.

– внешний объем флакона (определяем при помощи мензурки и отливного стакана).

, .

Окончательно, имеем массу ртути, равную .
II тур. 10 класс.
1. Три тонких проволоки одинакового диаметра – железная, медная и алюминиевая соединены последовательно. Их подключают к источнику высокого напряжения, и одна из проволок перегорает. Какая? Начальная температура t_o = 27 ^oC.
Вопрос сводится к тому, какая из проволок, при быстром нагревании (без потерь тепла), раньше нагреется до «своей» температуры плавления. Необходимое для этого время

.

Перегорит алюминиевая проволока, у которой величина наименьшая. Заметим, что при перегорании плавится очень короткий отрезок проволоки, поэтому учитывать расход тепла на плавление не следует.
2. На рисунке приведен график изменения давления пороховых газов в стволе ружья по мере продвижения пули в стволе. Определите скорость сгорания пороха (в кг/с) при давлении , если скорость пули в этот момент равна v. Площадь поперечного сечения ствола равна S. Температуру пороховых газов считать постоянной. Известно, что пороховые газы, образующиеся при сгорании массы пороха M, в объеме V_o создают давление p_o.
Изменение давления пороховых газов в стволе происходит за счет изменения массы сгорающего пороха и за счет изменения объема, занимающего газами, по мере продвижения пули. По первой причине должно происходить увеличение давления, по второй – уменьшение. Как видно из рисунка, на участке 1 – 2 преобладает первая тенденция, а на участке 2 – 3 – вторая. В момент времени , когда давление , увеличение давления за счет сгорания пороха компенсирует уменьшение давления за счет продвижения пули.

Запишем уравнение состояния газов в тот момент времени , когда давление их равно :

,

где m – масса сгоревшего к этому времени пороха, V – объем пространства в стволе за пулей.

Пусть за малый промежуток времени , в течение которого давление можно считать постоянным и равным , сгорает масса пороха m. Объем запульного пространства за это время увеличился на ( настолько мало, что скорость v пули можно считать постоянной). Давление газов за время  не изменилось; это означает, что газ, образовавшийся при сгорании массы m пороха, при давлении : занимает как раз объем , то есть

, или .

Из последнего равенства находим скорость сгорания пороха в момент времени :

.

Из условия задачи известно, что . Отсюда находим, что .

3. смотри задачу № 3 из 11-го класса.

II тур. 11 класс.
1. Выточенную на токарном станке фигуру с плоским основанием поставили на дно сосуда и начали наливать в сосуд воду. На рисунке приведен график зависимости силы F, с которой фигура давит на дно, от высоты уровня воды в сосуде (вода под фигуру не подтекает). Определить по графику площадь основания фигуры, ее объем и плотность материала, из которого она сделана. Нарисуйте (приближенно) эту фигуру. На какой высоте площадь горизонтального сечения фигуры равна площади ее основания?
Пусть при высоте H уровня воды в сосуде объем погруженной в воду части фигуры равен V. Сила, действующая на фигуру со стороны воды равна , где S_o – площадь основания фигуры. Запишем условие равновесия фигуры: , где M – масса фигуры, – абсолютное значение силы нормальной реакции со стороны дна сосуда при данном уровне воды в сосуде. Согласно III закону Ньютона, , следовательно,

.

Ясно, что после того как фигура будет полностью покрыта водой, график станет линейным. По этому участку графика определим S_o (выберем точки H₁ = 4 см и H₂ = 5 см):

м².

Теперь можно определить объем фигуры:

,

(мы учли, что при H = 0 ). Взяв точку, лежащем на линейном участке графика, – например, точку, соответствующую H₂ = 5 см, – найдем:

м³.

Плотность материала, из которого сделана фигура, равна кг/м³.

Для исследования формы фигуры найдем малое приращение силы F, обусловленное малым приращением высоты H уровня воды:

,

(мы учли, что малое приращение объема равно ). Отсюда видно, что там, где F растет с ростом H (F > 0), ; и, наоборот, при F < 0 . В точках кривой, которые соответствуют площадям сечения, равным S_o, F = 0, то есть в этих точках касательная к кривой горизонтальна. Это условие выполняется в точках см и см и около основания фигуры. (Читатели, знакомые с дифференцированием, могут произвести более подробный анализ формы фигуры, взяв первую и вторую производные функции F(H).)
2. Определите ЭДС источника тока, если имеется 2 амперметра, используя минимальное число электрических схем.
На рисунке изображены две схемы. В первой из них оба вольтметра подключены к источнику последовательно, во второй используется только один вольтметр. Обозначим, через U₁, U₂ и показания вольтметров и через I₁ и I₂ – токи в цепях. Тогда

, .

Заметим, что . Из этих соотношений получим .

Погрешности измерений определяются, в основном, классом точности используемых вольтметров. Отметим здесь, что существенную роль играет также соотношение параметров вольтметров и источника. Например, при выполнении первой части задания максимальная точность достигается в случае, когда внутреннее сопротивление источника и сопротивления обоих вольтметров одного порядка. Если один из вольтметров высокоомный, а другой низкоомный, рассмотренный способ дает плохой результат. Если у одного из вольтметров , то лучше всего измерять ЭДС источника с помощью одной схемы, приведенной на втором рисунке. В этом случае .
3. Представьте себе, что вы стоите перед большим листом толстого прозрачного стекла (например, перед стеклянной витриной). Каким образом можно определить толщину стекла, если доступа к его краям нет (скажем, края стекла замурованы в стены), в помещение за стеклом проникнуть нельзя, разбить стекло тоже нельзя? В вашем распоряжении имеются линейки, угольник, бумага, карандаш и карманный калькулятор для проведения расчетов. Показатель преломления стекла n.
Если приставить линейку под прямым углом к стеклу, то мы увидим два ее отражения: в ближней (I) и дальней (II) поверхностях стекла. Первое изображение дает нам как бы «линейку за зеркалом», по которой можно измерять положение конца второго изображения при разных углах наблюдения. Это позволяет определить толщину стекла.

Глядя в стекло, мы видим конец второго отражения линейки не в точке a^/, где он находится на самом деле, а в точке a^//. Положение этой точки мы и можем фиксировать по «линейке за зеркалом».

Пусть толщина стекла d, показатель преломления n. Как видно из рисунка,

.

Подставив , , получим .

В этом выражении d^/, , – те величины, которые мы можем измерить и вычислить, пользуясь нашими инструментами. Чтобы избавиться от неизвестного показателя преломления n, поступим так. Произведем измерения d^/ при двух значениях угла падения  (значения и легко найти, измеряя расстояния от глаза до стекла и до точки пересечения луча зрения со стеклом). Тогда . Отсюда после несложных преобразований, получим .