Областная олимпиада. 9 класс. 1999 г

Областная олимпиада. 9 класс. 1999 г.
1. 1999. Орудие установленное на горе высотой h = 2000 м, посылает горизонтально снаряд со скоростью v₁ = 800 м/с. Через промежуток времени  = 5 c. Из этой же точки выпускается другой снаряд. Какой скоростью v₂ он должен обладать и как его надо выпустить, чтобы оба снаряда одновременно упали в одну точку поверхности Земли.
Запишем уравнение движения первого снаряда и . Если y₁ = 0, то c. Дальность снаряда, при этом, равна м.

Для второго снаряда и . Если y₂ = 0, то и . Следовательно, . Снаряд надо выпустить под углом . Минус указывает на то, что снаряд выпущен под углом к горизонту вниз. Его скорость равна км/с
2. 1999. Два тела, находящихся на горизонтальной плоскости, движутся по одной прямой навстречу друг другу с начальными скоростями v_o1 = 0,4 м/с и v_o2 = 0,6 м/с и постоянными ускорениями a₁ = 0,02 м/с² и a₂ = 0,04 м/с², направленным противоположно своим скоростям. При каком максимальном расстоянии между телами в начальный момент времени они могут поравняться друг с другом?
Запишем уравнения движения тел и построим графики их движения.

; и уравнения скорости ; .

В момент времени, когда тела поравняются, графики координат при начальном максимальном расстоянии между телами будут касаться, т. е. иметь общую касательную. В этот момент их скорости будут равны. При t = t₁, ; . Кроме того, при t = t₁, ; м.

Если начальное расстояние l будет больше , то тела не встретятся (рис. 2). Если , то тела встретятся дважды (рис. 1).
3. 1999. Потери мощности в линии электропередач составляют k₁ = 5 % от мощности, получаемой потребителем. Во сколько раз нужно изменить напряжение на входе линии и сопротивление потребителя для того, чтобы при той же мощности, получаемой потребителем, потери в линии снизить до k₂ = 1 %.
Мощность, полученная потребителем , где I₁ – ток в линии электропередач, r – сопротивление линии, R₁ – сопротивление потребителя, U₁ – напряжение на входе линии. Эта мощность должна остаться неизменной , где U₂ – новое напряжение, R₂ – новое сопротивление.

По условию задачи

, а .

Следовательно, . Итак: . Преобразуем последнее выражение

.
4. 1999. На конце доски длиной L и массой M находится брусок массой m и длиной l. Доска может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения бруска по поверхности доски . Какую скорость v надо толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?
Второй закон Ньютона для бруска и доски в проекции на ось OX имеет вид:

и .

Рассмотрим движение бруска относительно доски

.

.

.

5. 1999. В U-образной трубке находится вода и масло. Разность уровней воды в левом и правом колене равна h. В некоторый момент времени открывают кран K в тонкой горизонтальной трубке, соединяющей колена так, как показано на рисунке. Как изменится уровень масла в правом колене, если плотность масла равна 2/3 плотности воды?
В трубке ABC – находится вода, в CD – масло. До открытия крана давление на уровне BC одинаково: , .

До открытия крана давление на уровне переходной трубки в левом и в правом коленах разные. В левом колене , в правом ; и, следовательно, масло по переходной трубке будет переходить вверх. Пусть справа уровень масла понизился на x, а слева на столько же поднялся вверх. Теперь нарушилось равенство давлений на уровне BC:

, . Теперь , поэтому часть воды должно перетечь в правое колено. Пусть слева уровень воды понизился на y, а справа поднялся на y. Запишем теперь равенство давлений на уровнях EF и B₁C₁.

EF:

B₁C₁: .

Учитывая, что ; и , получим и . Следовательно, общее понижение уровня равно

.
Областная олимпиада. 10 класс. 1999 г.
1. 1999. На шероховатой железнодорожной платформе стоит заполненный контейнер высотой и шириной , имеющий с одной стороны маленькие колёса. При разгоне поезда влево контейнер начинает сползать вправо по платформе, если ускорение разгона превышает .С каким минимальным ускорением должен тормозить поезд, чтобы контейнер начал сползать влево? Трением качения пренебречь.
Рассмотрим силы, действующие на контейнер. Это сила тяжести , трения и силы реакции и . Определим из условий равновесия контейнера, т. е. из равенства суммы всех моментов сил и суммы всех проекций сил на вертикальную ось.

, .

При ускорении платформы . С другой стороны, в момент сползания контейнера сила трения равна , где  – коэффициент трения. Отсюда получаем и

.

При торможении платформы с ускорением a сила трения направлена влево и равна , а в момент начала сползания контейнера . Точно как и выше имеем:

.

Приравнивая правые части для  имеем: . При сильном трении контейнер может перевернуться, при этом и . Тогда , . Откуда и . Такому значению коэффициента трения соответствует ускорение при разгоне .

Таким образом: при . Если же , то контейнер перевернется.
2. 1999. Параллельно главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием движется точечный источник света. На каком расстоянии от линзы он окажется в тот момент, когда скорость изображения его в линзе будет равна по величине скорости источника? Расстояние от главной оптической оси до источника ().
Сделаем рисунок и введем обозначения. Пусть источник S приближается к F₁, тогда изображение S^/ удаляется от F₂. В таком случае формула тонкой линзы в какой-то момент времени будет иметь вид: . В момент выравнивания скоростей v_o и u движение источника можно допустить как равномерное. Тогда за малое время источник приблизится к F₁ на , а изображение удалится . Очевидно . Откуда

при .

Так как , имеем

.

Если источник оказался в точке F₁, то изображение мгновенно оказывается в и .

Пусть источник продолжает движение и окажется между линзой и передней фокальной плоскостью. Изображение S^/ в этом случае приближается к линзе, как и источник. Рассуждая, как и выше будем иметь:

или . Как и выше .

Однако . Как видим, при выполнении условия задачи, источник может быть в двух точках относительно фокальной плоскости F₁: перед F₁ на расстоянии d₁ равном до линзы и за F₁ на расстоянии до линзы.
3. 1999. Длинная верёвка закреплена одним из своих концов в вершине сферы (А) большого радиуса. В некоторый момент верёвку отпускают. Найдите ускорение верёвки сразу после этого. Трение отсутствует.
Единственной силой ускоряющей веревку является сила тяжести. Значит, надо найти ее составляющую вдоль сферы. Разобьем веревку на маленькие участки длиной ∆l. Пусть угол между радиусом, проведенным к одному из таких участков из центра сферы, и вертикалью равен . Тогда составляющая силы тяжести вдоль сферы для этого участка равна , где – масса веревки. Так как – разность высот концов участка , то, соответственно . Искомая ускоряющая сила есть . Из рисунка видно и . Тогда .
4. 1999. Определить сопротивление R_o3 разветвленной цепи. Сопротивление каждого из девяти стержней равно 1 Ом.
Рассмотрим один способ. На основании закона сохранения заряда для узла , или для разности потенциалов . Используем симметрию задачи, обозначим потенциалы точек: для узла A₁ , откуда .

Для узла A₂ .

Очевидно: Ом.
5. 1999. В теплоизолированный цилиндрический сосуд поместили кусок льда массой M при t = 0^о C и прочно прикрепили ко дну. Затем залили этот лёд водой такой же массой . Вода полностью покрыла лёд и достигла уровня = 20 см. Определите, какова была температура воды, если после установления теплового равновесия уровень воды в сосуде опустился на = 0,4 см. Плотность воды и льда равны 1000 и 920 Дж/кг×К соответственно. Удельная теплота плавления льда l=330 кДж/кг.
Если бы весь лед растаял, то уровень воды понизился см. Так как h < h_o, то в нашем случае не весь лед растаял. Следовательно, в сосуде установилась конечная температура 0 ^оС. Пусть растаяло m кг льда, тогда .

Очевидно, , , где S – площадь дна. Тогда или

^оС.

Областная олимпиада. 11 класс. 1999 г.
1. 1999. Железнодорожный состав, длиной L, двигаясь по инерции со скоростью v_o, въезжает на горку с углом наклона α. Сколько времени пройдет от начала подъема до остановки состава. Считать, что длина переходного участка пути от горизонтального к наклонной плоскости много меньше длины состава, трением пренебречь.
Рассмотрим вначале случай, когда начальной скорости состава достаточно для того, чтобы весь состав оказался на горке и остановился. Эту предельную скорость найдем по закону сохранения энергии: . В общем случае необходимо рассмотреть 2 случая, когда , т.е. часть поезда остается на горизонтальном участке пути после остановки. И второй случай , когда весь состав продолжает движение на горке до полной остановки.

1) Рассмотрим случай когда . Пусть на горку въехала часть состава длиной . Тогда центр тяжести этой части состава массой поднимется на высоту . По закону сохранения энергии имеем: (1). Уравнение (1) совпадает с аналогичным уравнением для гармонических колебаний тела массой M, подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости k. (2). Сравнивая (1) и (2), получаем закон движения состава по горке: (3), где , а (4). Из начального условия , находим . Время, от начала подъема поезда до остановки ₁ найдем из условия: , .

2) В случае весь поезд поднимется на горку и будет иметь начальный запас скорости, который находится из условия: . Учитывая закон изменения скорости , найдем время его движения вдоль горки ₂ из условия: . Для этого случая искомое полное время будет равно: . Итак, при , время от начала подъема до полной остановки поезда равно , а при , это время будет равным .
2. 1999. Плита, массы m удерживается на месте в горизонтальном положении N струями жидкости плотности r, бьющими вертикально вверх. Площадь каждого отверстия шланга S. Скорость жидкости на выходе из отверстий v_o. На какой высоте от шланга удерживается плита, если, достигнув плиты, жидкость разлетается в горизонтальной плоскости?
Плита будет удерживаться на месте, если ее сила тяжести будет уравновешиваться силой со стороны бьющих струй . N струй выбрасывают массу жидкости: , обладающей кинетической энергией . Отсюда . За время ∆t вода передает плите импульс: . Сила, действующая на плиту будет определяться выражением . Следовательно, .
3. 1999. В закрытом с обоих концов цилиндре, заполненном идеальным газом, находится поршень массы m и площадью S. В состоянии равновесия поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом V_o. Давление газа p_o. Поршень немного сместили из положения равновесия и отпустили. Найти частоту колебаний, считая процесс в газе изотермическим, колебания малыми, трением пренебречь.
Так как процесс изотермический, то и

, . Силы и .

По второму закону Ньютона или

. Таким образом, мы приходим к уравнению колебаний поршня: , где . Здесь мы учли малость колебаний, и следовательно: .
4. 1999. Дана электрическая схема, содержащая источник переменного тока , диод с вольтамперной характеристикой, изображенной на рисунке, резистор R = 100 Ом, источник постоянного тока B, внутренним сопротивлением можно пренебречь. Найти долю периода , в течение которого в цепи течет ток.
Ток через диод не течет, если напряжение достигает 10 B, при дальнейшем увеличении напряжения диод эквивалентен резистору с сопротивлением Ом.

Напряжение . Напряжение на диоде

. Следовательно,

. Ток течет в цепи если .
5. 1999. На расстоянии h от плоского зеркала находится светящаяся точка. На зеркало медленно наливают прозрачную жидкость с показателем преломления n так, что ее уровень поднимается с постоянной скоростью v. Найти скорость движения изображения светящейся точки.
Пусть высота уровня воды над зеркалом. Необходимо рассмотреть 2 случая: и .

Рассмотрим первый случай: .

Смещение второго луча (SA) равно ,

,

. Учтено малость углов  и  и использован закон преломления в виде .

.

Отсюда скорость движения изображения v₁ равна: . Знак минус означает, что изображение приближается к зеркалу.

Рассмотрим 2 случай: l > h.

. Закон преломления .

.

Искомая скорость .

Имеем два ответа: ,

II тур. 9 класс.
1. Действующая модель подъемного крана способна поднять 10 бетонных плит без обрыва троса. Сколько плит поднимет реальный кран, изготовленный из тех же материалов, если линейные размеры крана, троса и плит в 12 раз больше, чем в модели?

Примечание: Напряжение, возникающее в тросе сечением S при нагрузке весом P, равно .

Предел прочности материала троса определяется условием (1), где P – вес одной модельной плиты.

При переходе к реальному крану все линейные размеры увеличиваются в n = 12 раз, тогда

; (2). Максимальное число плит N, которое может поднять реальный кран, определяется условием: (3). Откуда . Учитывая условие (1), т. е. , получаем .

Таким образом, реальный кран не сможет поднять ни одной плиты.

2. 1 кг льда и 1 кг легкоплавкого вещества, не смешивающего с водой при t = –40 ^оС помещены в теплоизолированный сосуд с нагревателем внутри. На нагреватель подали постоянную мощность. Зависимость температуры в сосуде от времени показана на рисунке. Удельная теплоемкость льда равна Дж/(кгК), твердого вещества Дж/(кгК). Определить удельную теплоту плавления вещества  и его удельную теплоемкость c в расплавленном состоянии.
Плато при t = –20 ^оС соответствует процессу плавления вещества при t = 0 ^оС – таянию льда.

Нагрев смеси от –40 ^оС до –20 ^оС потребовал времени ₁ = 60 с и количества тепла P₁, где P – мощность нагревателя.

Уравнение теплового баланса для этого процесса:

(1).

Для полного плавления вещества потребовалось времени ₂ = 120 с: (2). Разделив уравнение (1) на (2) найдем : Дж/кг.

Нагрев льда и вещества от –20 ^оС до 0 ^оС потребовал ₃ = 60 с, и уравнение теплового баланса примет вид: (3). Разделив уравнение (3) на (1), находим c:

Дж/(кгК).
3. На крышку черного ящика, содержащего радиотехнические элементы выведено 4 клеммы с номерами 1,2, 3, 4. Используя универсальный источник постоянного и переменного (на частоте _о) тока, автоматически поддерживается некоторое определенное напряжение на выходе в обоих режимах и имеющий внутреннее сопротивление z_o = 0, а так же встроенный амперметр, экспериментатор получил следующие данные:

Номера пар клемм		1,2	2,3	3,4	1,3	2,4	1,4
Сила тока (A)	Постоянный ток в обоих направлениях	0	0	2	4	0	4
	Переменный ток	4	2,2	0,85	4	4	2,2

Используя данные изобразить графически (схематично) вид семейств вольтамперных характеристик для пар клемм (3, 4), (2, 3), (2, 4). Каждое семейство должно содержать характеристику по постоянному току ( = 0) и по переменному току на частотах  < _o; _o; _o < . Все графики исполнить в одинаковом масштабе.
Используя данные таблицы, можно определить содержимое черного ящика и установить, что

. Таким образом, цепь (2, 4) настроена в резонанс. Тогда опорной является характеристика на частоте _о, снятой для цепи (2, 4). Все остальные будут иметь меньшие углы наклона к оси напряжений, в том числе и равные нулю.
II тур. 10 класс.
1. Имеется амперметр для измерения силы тока до = 14 A и вольтметр для измерения напряжения до = 10 B. Как из первого прибора сделать вольтметр для измерения напряжения до = 50 B, а из второго – амперметр для измерения тока до = 2 A?

Оборудование: источник тока, реостат, ключ, соединительные провода, катушка нихромовой проволоки с известным удельным сопротивлением , линейка с миллиметровыми делениями, карандаш.
Определим внутреннее сопротивление каждого прибора. Для этого составим цепи

По показаниям амперметра и вольтметра найдем внутреннее сопротивление вольтметра.

. Пусть, например = 500 Ом.

По показаниям приборов находим внутреннее сопротивление амперметра

. Пусть, например Ом.

Итак, если по амперметру может проходить максимальный ток

= 1 A, то на него можно подать максимальное напряжение, равное

B. Следовательно, надо расширить предел измерения этого прибора в n₁ раз.

раз.

Точно также и для вольтметра. Через него может проходить максимально допустимый ток

A. Следовательно, надо расширить предел измерения этого прибора в

раз.

Для амперметра нужно добавочное сопротивление, включенное последовательно с амперметром .

Для вольтметра нужен шунт сопротивлением .

Теперь нужно изготовить добавочное сопротивление и шунт. Используем формулу . Удельное сопротивление известно по условию задачи. Найдем S. Для этого намотаем плотно на карандаш некоторое количество витков проволоки, найдем ее диаметр, а потом и S. После этого определим необходимую длину проволоки. Зная сопротивление реостата и используя приборы до и после переделки, можно, хотя бы примерно убедится в правильности проделанной работы.
2. Смотри задачу №2 9 класс.
3. Однородная нерастяжимая веревка подвешена за концы в точках A и B, находящихся на разных высотах. Натяжение веревки в точке A равно . Найти натяжение веревки в точке B, если она находится на h выше точки A. Масса веревки m, длина l. Предложите способы экспериментального измерения .
Соединим точки A и B гладкой наклонной плоскостью длиной L и замкнем веревку по этой плоскости. Понятно, что вся веревка должна находится в равновесии. Участок веревки, лежащий на плоскости, поддерживается в равновесии разностью натяжений веревки в точках B и A:

, .