Областная олимпиада. 9 класс. 2000 г

Областная олимпиада. 9 класс. 2000 г.
1. В один из сообщающихся сосудов налита вода, в другой масло. На какое расстояние сместится граница раздела жидкостей по горизонтальной трубке, если на поверхность трубки налить слой такого же масла толщиной l = 0,5 см? Площади поперечного сечения сосудов одинаковы. Отношение площади поперечного сечения каждого из сосудов к площади поперечного сечения горизонтальной трубки . Плотность воды _B = 1 г/см³, масла _М = 0,85 г/см³.
Пусть после доливания масла уровень жидкости в правом сосуде опустится на h см. Тогда граница раздела в горизонтальной трубке сместится влево на расстояние (1).

На такую же высоту h поднимется уровень масла в левом сосуде.

До наливания масла (2), где , – уровни масла и воды в сосудах.

После наливания масла (3), где , – новые уровни масла и воды в сосудах. (4), так как уровень масла в левом сосуде поднялся, а уровень воды в правом сосуде опустился.

Из (2) и (3) находим , (5). Подставляя (5) в (1), имеем . После вычислений x = 2,3 см.
2. По неподвижной морской глади буксируется квадратный плот, сторона которого l, со скоростью v относительно воды (примем, что поверхность моря этим движением не возмущается). У одного из углов плота выныривает дельфин и в дальнейшем плывет по периметру плота параллельно его бокам в непосредственной близости от них. Сколько времени понадобится дельфину, чтобы вернуться к исходному углу, если он плывет с неизменной скоростью u относительно воды? Считать, что сторона плота l достаточно велика и особенности движения в поворотных точках не учитывать.

Пусть движение дельфина начинается от угла A. На участке AD скорость дельфина относительно плота будет , на участке CB эта скорость будет . Тогда время движения по этим участкам составит в сумме .

Рассмотрим поперечное движение вдоль DC. Для того чтобы относительно плота плыть параллельно его борту, дельфин должен так направить вектор своей скорости относительно воды, чтобы одна из ее составляющих, перпендикулярная DC, была равна v, а другая была параллельна DC, на рисунке .

Время движения относительно борта DC равно , так как . На участке BA ситуация аналогичная.

В итоге на поперечное движение будет затрачено время . Общее время движения дельфина равно .
3. Тележка массы M движется по инерции по горизонтальной поверхности со скоростью v_o. На передний край тележки кладут тело массой m с нулевой начальной скоростью относительно горизонтальной поверхности. Размерами тела можно пренебречь по сравнению с длиной тележки l. Коэффициент трения между телом и тележкой . Оказавшись на тележке, тело начинает по ней скользить. При какой длине тележки тело не соскользнет с нее?
Рассмотрим движение тела и тележки относительно горизонтальной поверхности. Находясь под действием силы трения , направленной в том же направлении, что и , тело будет двигаться в этом же направлении с ускорением при нулевой начальной скорости. Поначалу, скорость тела будет меньше скорости движения тележки, и это отставание тела и будет означать его движение относительно тележки в обратном направлении – соскальзывание.

Согласно 3-го закона Ньютона на тележку будет действовать силы трения, направленная противоположно и равная ей по модулю. Сообщаемое этой силой тележке ускорение равное направлено противоположно направлению движения тележки. В результате скорость тележки будет убывать при начальном значении ее .

Отсюда следует, что в некоторый момент времени, если тело ранее не соскользнет с тележки, скорости тележки и тела относительно горизонтальной поверхности сравняются. Это будет означать, что тело и тележка продолжат далее движение как одно тело по инерции, соскальзывание прекратится.

Найдем этот момент времени. Скорость тела будет меняться по закону (1). Скорость тележки (2). Станет в момент когда

(3).

Однако, тело может соскользнуть с тележки ранее этого момента. Чтобы этого не произошло, необходимо, чтобы разность путей, пройденных телом и тележкой, была меньше (как предел равна) длины тележки l: (4). Необходимость этого требования видна из рисунка: A, B, A₁, B₁ – положение концов тележки в исходный момент времени и в момент t согласно (3). В этот момент тело должно еще находится между A₁ и B₁. Отсюда и вытекает необходимость , где S₁ – путь, пройденный тележкой, S – путь тела (относительно горизонтали). Находим

, . , согласно (4)

. После подстановки в последнее выражение времени (3):

.

4. Некоторая установка, выделяющая мощность 30 кВт, охлаждается водой, которая течет по спиральной трубке сечением 2 см². В установившемся режиме проточная вода нагревается на 15 ^оС. Определить скорость движения воды, считая, что мощность установки идет на нагревание воды. Плотность воды  = 10³ кг/м³, удельная теплоемкость c = 4190 Дж/(кг^оС).
За счет выделяемой мощности P вода получит количество теплоты за время . За это же время через охлажденную систему пройдет масса воды и поглотит количество теплоты равное , откуда м/с.

5. Проволочное кольцо включено в цепь, по которой проходит ток 9 A. Контакты делят длину кольца в отношении 1:2. При этом в кольце выделяется мощность 108 Вт. Какая мощность при той же силе тока во внешней цепи будет выделяться в кольце, если контакты разместить по диаметру кольца?
1 случай.

Пусть R – полное сопротивление провода, образующего кольцо. В первом случае:

, .

Отношение токов в параллельных участках , тогда A, а I₁ = 6 A, I₂ = 3 A.

. Подставляя значения, имеем Ом.

2 случай.

Сопротивление параллельных участков будет по и Вт.

Областная олимпиада. 10 класс. 2000 г.
1. Свинцовый лист, покрывающий южную часть крыши Бристольского собора, сполз вниз по крыше на 50 см в течение двух лет. Сползание листа началось сразу после того, как им была покрыта крыша. Попытка остановить сползание листа вколачиванием гвоздей в стропила не удалась, потому что сползающий лист вырвал гвозди. Крыша была не крутая, и свинцовый лист мог оставаться на ней, не скользя под действием силы тяжести вниз. Почему же сполз лист?

Попробуйте оценить, на сколько сползет за 10 дней свинцовый лист, если максимальная и минимальная температуры равны T₁ = 20 ^oC и T₂ = 10 ^oC, длина листа при T₂ = 10 ^oC равна l_o = 1 м. Угол наклона крыши  = 30^о, а коэффициент трения листа о стропила  = 0,7. Коэффициент линейного расширения свинца  = 310^-5 К^-1.
Обозначим x расстояние от нижнего края листа до точки O, которая остается неподвижной относительно крыши при нагревании листа (рис.). Сила трения, действующая на участке листа выше и ниже точки O, направлена так, как показано на рисунке и равны по абсолютной величине:

, ,

где m – масса листа, l – длина листа при температуре t₁, – масса единицы длины листа.

Так как лист нагревается медленно, можно считать, что в любой момент он находится в равновесии и сумма проекций на ось x сил, действующих на лист, равна нулю:

, отсюда найдем: .

Если весь лист при нагревании удлиняется на l, то удлинение нижней части листа равно , так что при нагревании листа его нижний край опускается на расстояние

.

Аналогично найдем расстояние , на которое поднимается нижний край листа при охлаждении. В этом случае неподвижна уже другая точка O^/ листа, а направление сил трения меняются на противоположные. Учитывая это, найдем:

.

За цикл изменения температуры нижний край листа опускается на расстояние , а за n суток лист сползает на расстояние

см.


2. В замкнутом сосуде находится насыщенный водяной пар при температуре 100 ^оС и остатки воды. Масса пара M = 100 г, масса воды m = 1 г. Сосуд нагревают, пока вся вода не испарится. До какой температуры надо нагреть сосуд? Какое количество тепла потребуется для нагревания всей воды? Давление насыщенного пара возрастает на 3,7 кПа при повышении температуры на 1 ^оС. Удельная теплота испарения воды r = 2,2510⁶ Дж/кг, удельная теплоемкость водяного пара C₁ = 1,3810³ Дж/(кгК).
Определим сначала, до какой температуры надо нагреть сосуд, чтобы вода испарилась. Запишем уравнение состояния пара при начальных условиях (давление насыщенного пара при температуре t₁ = 100 ^оС равно p₁ = 10⁵ Па). (1).

Когда температура сосуда станет и вся вода испарится, давление насыщенного пара в сосуде будет . По условию задачи , где  = 3,7 кПа/К. Воспользовавшись этим, запишем уравнение состояния пара при температуре T₂:

или (2).

Решая совместно (1) и (2), находим

K.

Таким образом, для испарения всей воды сосуд необходимо нагреть до T₂ = 100,29 ^оС.

Количество тепла, которое необходимо для этого, найдем из уравнения теплового баланса:

Дж.

3. Пункты A и B расположены на расстоянии l = 2 км друг от друга. Из пункта A по направлению к пункту B выехал автомобиль, который двигался все время равномерно. Одновременно навстречу ему выехал другой автомобиль с начальной скоростью v_o = 20 м/с и с постоянным ускорением a = 0,4 м/с², вектор которого совпадал по направлению с вектором скорости первого. Известно, что в пути автомобили два раза обгоняли друг друга. В каких пределах лежит скорость первого автомобиля?
Запишем уравнения движения автомобилей , . В момент времени второй автомобиль остановится. Обгон возможен при условии, что t > .

.

Находим корни квадратного уравнения .

t₁ > : ;

t₂ > :

Итак, < v₁ < . После вычислений 20 м/с < v₁ < 30 м/с.

Примечание: возможно графическое решение задачи.
4.Точечный источник света расположен на оси собирающей линзы. За линзой находится диафрагма с диаметром отверстия d₁ = 1 см. Оптическая ось линзы перпендикулярна плоскости диафрагмы и проходит через центр отверстия диафрагмы. За диафрагмой на расстоянии l = 10 см находится экран, на котором образуется световое пятно диаметром d₂ = 0,5 см.

В отверстие диафрагмы вставляется тонкая рассеивающая линза, при этом на экране образуется световая точка. Чему равно фокусное расстояние рассеивающей линзы?
Экран можно поставить в положение I и II. Так как линза рассеивающая, то экран надо ставить в положение II. В этом случае точку S₂ можно рассматривать как мнимый источник света для изображения S₃, даваемого рассеивающей линзой.

, f = l.

d найдем из подобия треугольников ABS₂ и A₁B₁S₂:

.

см.



5. Цепь собрана из одинаковых резисторов и вольтметров. Первый вольтметр показывает U₁ = 4 B, а третий – U₃ = 2 B. Каково показание второго вольтметра?
Различие в показаниях вольтметров возникает из-за того, что они не являются идеальными, то есть имеют конечное сопротивление, которое мы обозначим . Оно сравнимо с сопротивлением резисторов R.

На схеме указаны обозначения токов, текущих через различные элементы схемы. Используя законы последовательного и параллельного соединения, можно записать следующие уравнения:

(1).

Выразим силу тока I₂ через силу тока I₃, используя систему уравнений

(2), из которой следует (3).

Несмотря на то, что в системе четырех уравнений (1), (3) содержится 5 неизвестных, из нее можно найти значение U₂.

Действительно, в третье уравнение системы (1) подставим выражение (3):

(4).

Из двух первых уравнений этой же системы выразим:

(из разности этих уравнений);

(из частного этих уравнений)

и подставим их в уравнение (4): . Решение этого квадратного уравнения имеет вид: . Отрицательный корень мы отбросили, как не имеющий физического смысла. B.

Областная олимпиада. 11 класс. 2000 г.
1. Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи воды под углами  и  к горизонту с одинаковыми скоростями к горизонту. На каком расстоянии по горизонтали от отверстия струи пересекутся?
У
(1)
(2)
равнения движения:

Исключая и (1) время t и подставляя во (2) уравнение находим уравнение траектории :

(3)

Дальность полета находим из условий , : (4).

Пересечение струй находим из (3), положив, что :

(5)

а) x_o = 0; б) , тогда из (5), получаем (6)

при из (6) получаем любое значение x_o из интервала (см. 4):

.

, струи пересекутся, если , тогда из (6) имеем (7).

Решение (7) верно при условии .

Ответ: При любых ₁, ₂, v_o – x_o = 0. При x_o – любое из интервала . При условии , .

2.1. Доказать, что гравитационное поле внутри однородного шарового слоя с радиусами r и R отсутствует.

2.2. Найти силу, действующую на единичную массу (напряженность) гравитационного поля однородного шара радиусом R и массы M.

2.3. В однородном шаре радиуса R сделана сферическая полость радиуса , центр которой не совпадает с центром шара. Доказать, что поле тяготения внутри полости однородно.
2.1.) Докажем вначале, что поле тяготения внутри тонкого однородного сферического слоя отсутствует. Поместим пробную массу m_o в точку A. Построим два конуса с телесным углом при вершине A, равным : . Для однородного слоя . Тогда отношение

2.2.) Известно, что вне однородного шара () поле тяготения совпадает с полем тяготения точечной массы, помещенной в центре шара, и напряженность поля равна , где ускорение свободного падения на поверхности шара (), равно .

Найдем напряженность поля внутри шара. Для этого весь объем шара разобьем шар радиуса r и шаровой слой с радиусами r и R. Поле шарового слоя внутри него равна нулю, тогда

, где , следовательно,

().

2.3.) Если полость заполнить веществом той же плотности, то ускорение в точке A будет направлено к центру (по направлению AO₁) шара и равно , где . Но, заполняя полость, мы добавляем ускорение, направленное к центру полости (по линии AO₂):

, где .

Искомое ускорение . Докажем, что . Для этого найдем . Следовательно, подобен треугольнику, построенному из векторов , и , .

.

Таким образом, не зависит от положения точки A.
3. Оценить значение температурного градиента атмосферного воздуха, находящегося в устойчивом механическом равновесии. Считать, что в объемах воздуха, выведенных из состояния равновесия, происходят процессы изменения, соответствующие уравнению , где k – некоторая постоянная, n = 1,3, p – давление,  – плотность.

Давление в атмосфере или (1). Уравнение состояния любых выделенных объемов газа ; или (2).

Если некоторый объем воздуха переместился на высоту (h + dh) с высоты h, то его параметры изменились в соответствии с заданным уравнением: , т. е.

или (3).

Следовательно: (4), где – плотность сместившейся массы воздуха на высоте (h + dh).

Если для dh > 0, то сместившаяся масса вернется в исходное положение, то есть туда, где плотность окружающего воздуха .

Из (2) следует, что (4). Тогда условие устойчивого равновесия примет вид: при dh > 0. Используя (1), исключим dp, получим:

или К/м.


4. Два параллельных длинных стержня, соединенных накоротко и расположенных в плоскости наклоненной под углом  к горизонту, находятся в однородном магнитном поле на расстоянии L друг от друга. По стержням скользит, не теряя контакта с ними и располагаясь перпендикулярно им, третий стержень массой M, сопротивление которого R. Коэффициент трения скольжения . Вектор индукции направлен горизонтально и перпендикулярно подвижному стержню. Охарактеризовать качественно и количественно движение подвижного стержня спустя достаточно большой промежуток времени после начала его движения. Изменится ли этот характер, если вектор будет расположен вертикально?
5.Точечный источник света расположен на оси собирающей линзы. За линзой находится диафрагма с диаметром отверстия d₁ = 1 см. Оптическая ось линзы перпендикулярна плоскости диафрагмы и проходит через центр отверстия диафрагмы. За диафрагмой на расстоянии l = 10 см находится экран, на котором образуется световое пятно диаметром d₂ = 0,5 см.

В отверстие диафрагмы вставляется тонкая рассеивающая линза, при этом на экране образуется световая точка. Чему равно фокусное расстояние рассеивающей линзы?
Экран можно поставить в положение I и II. Так как линза рассеивающая, то экран надо ставить в положение II. В этом случае точку S₂ можно рассматривать как мнимый источник света для изображения S₃, даваемого рассеивающей линзой.

, f = l.

d найдем из подобия треугольников ABS₂ и A₁B₁S₂:

.

см.