Учебное пособие по курсу «Математика»

Свойства функции распределения:

1. 
   
   
2. 
   Функция распределения есть неубывающая функция по каждому из аргументов, т.е.  и  .
   
3. 
   
   
4. 
   , где: и являются функциями распределения случайных величин и .
   
5. 
   
   

1.5.3. Непрерывные двумерные случайные величины
Непрерывной называется двумерная случайная величина , если ее функция распределения непрерывна по обоим аргументам.
Для непрерывной двумерной случайной величины функцию распределения можно записать в виде:
,

где функция называется плотностью распределения двумерной случайной величины, или совместной плотностью вероятностей случайных величин и . Плотность распределения связана с функцией распределения формулой:


Свойства плотности распределения:

1. 
   
   
2. 
   
   

Если S – некоторая область в двумерном пространстве, то вероятность попадания двумерной случайной величины в эту область выражается формулой:


В частности, если область S представляет собой прямоугольник с вершинами (рис. 1.6), то вероятность попадания случайной величины в этот прямоугольник будет равна:


С помощью известной совместной плотности двух случайных величин Х и Y можно найти одномерные плотности распределения и этих величин по формулам:

1.5.4. Независимые и зависимые случайные величины. Коэффициент корреляции
Независимыми называются случайные величины Х и Y, для которых совместная функция распределения равна произведению функций распределения и этих случайных величин, т.е.:

Если случайные величины Х и Y независимы и имеют совместную плотность , то она будет равна произведению плотностей и этих величин: .
Коэффициентом корреляции двух случайных величин Х и Y называется число , определяемое формулой:

Свойства коэффициента корреляции

1. 
   
   
2. 
   Если Х и Y независимы, то .
   
3. 
   Если , то Х и Y являются зависимыми случайными величинами.
   
4. 
   Если , то
   

Из свойств коэффициента корреляции следует, что он является мерой тесноты линейной зависимости случайных величин Х и Y.
Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен нулю, то эти величины называются некоррелированными.

Для нормального распределения понятия независимости и некоррелируемости совпадают, т.е. если две нормальные величины некоррелированы, то они независимы

В самом общем случае это утверждение неверно.


ПРИМЕР: Найти коэффициент корреляции величин Х и Y, совместный закон распределения которых задан таблицей:

Y Х	1	2	3	4	
10 20 30	0,2 0,03 0,02	0,02 0,3 0,1	0,01 0,02 0,2	0 0 0,1	0,23 0,35 0,42
	0,25	0,42	0,23	0,1	1,00

Используя приведенные выше формулы, последовательно найдем:

И окончательно найдем:

Рекомендуемая литература по теме 1.5: [2, 4, 8, 9].

ВОПРОСЫ:

1. 
   Вероятность какого события задает сумма элементов первой строки матрицы распределения двумерной случайной величины?
   

2. 
   Вероятность какого события задает сумма элементов первого столбца матрицы распределения двумерной случайной величины?
   

3. 
   Чему равна сумма всех элементов матрицы распределения двумерной случайной величины?
   

4. 
   Какую величину определяет смешанная частная производная функции распределения двумерной случайной величины?
   

5. 
   Чему равен коэффициент корреляции для двух независимых случайных величин?
   

6. 
   Чему равен коэффициент корреляции случайных величин Х и Y, если Y = 2X?
   

ТЕМА 1.6. Закон больших чисел
1.6.1. Неравенства Маркова и Чебышева
Если все значения случайной величины Х неотрицательны и существует ее математическое ожидание , то для любого числа  > 0 справедливо неравенство Маркова:

Если для случайной величины Х существует ее математическое ожидание и дисперсия , то для любого числа  > 0 справедливо неравенство Чебышева:

ПРИМЕР: Среднее число дождливых дней в году в данном районе равно 80. Оцените вероятность того, что в этом районе будет не более 100 дождливых дней в году.

Пусть случайная величина Х – число дождливых дней в году. Применив неравенство Маркова, получим:


1.6.2. Закон больших чисел
Приведем закон больших чисел (теорему Чебышева) в упрощенной формулировке, пригодной для решения практических задач.