Задача 1 Доказать логический закон, используя таблицы истинности. Вариант X ? Y ?

1. Задание №1

по темам

2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

3. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ

4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Задача 1

Доказать логический закон, используя таблицы истинности.

Вариант 1. X ?(Y ? Z)?(X ?Y) ? Z

Вариант 2. X ? (Y ? Z)?(X ? Y) ? Z

Вариант 3. X ? Y ? Z ? (X ? Y) ? (X ? Z

Вариант 4. ? ?X ? ?Y

Вариант 5. X ? (Y ? Z) ? X ? Y ? X ? Z

Вариант 6. (X ? Y) ? (?Y ? ?X)

Вариант 7. (X ? Y)??(X ?Y) ? (Y ? X)

Вариант 8. (X ? Y) ? (?X ? Y) ? (X ? ?Y)

Вариант 9.(X ? Y) ? ?X ? Y

Вариант 10. ? ?X ? ?Y

Задача 2

Предикат P(x) определен на области (множестве точек плоскости) Q. Записать формулу предиката P(x), для которого областью истинности (все точки, для которых P(x) имеет значение «истина») является заштрихованная часть области Q, если на указанных ниже рисунках изображены области истинности предикатов P₁(x), P₂ (x) и P₃.(x).

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10


Задача 3

Дано множество M={a, b}. Предикат P(x, y), где x и y ? M, задан следующей таблицей

x	y	P(x, y)
a	a	0
a	b	1
b	a	1
b	b	1

Определить значение истинности следующих высказываний.

Вариант 1. ?x P(x, a) Вариант 6. ?y?x P(x, y)

Вариант 2. ?x P(x, a) Вариант 7. ?x?y P(x, y)

Вариант 3. ?y P(a, y) Вариант 8. ?y?x P(x, y)

Вариант 4. ?y P(a, y) Вариант 9. ?x?y P(x, y)

Вариант 5. ?x?y P(x, y) Вариант 10. ? x?y P(x, y)

Задача 4

Записать в форме высказываний следующие фразы (предложения):

Вариант 1. Все слушатели данной группы – москвичи.

Вариант 2. Некоторые москвичи – слушатели данной группы.

Вариант 3. Все слушатели в данной группе – или москвичи, или из Подмосковья.

Вариант 4. В данной группе есть слушатели старше 40 лет.

Вариант 5. В данной группе нет слушателей старше 35 лет.

Вариант 6. В данной группе все слушатели от 35 до 42 лет.

Вариант 7. Все слушатели данной группы учатся на «хорошо» и «отлично».

Вариант 8. Некоторые слушатели данной группы учатся только на «отлично».

Вариант 9. В данной группе нет слушателей, которые не учатся на «хорошо» и «отлично».

Вариант 10. Все москвичи в данной группе учатся на «хорошо» и «отлично».

Задача 5

Пусть S(x, y, z) и П(x, y, z)   соответственно предикаты сложения
(z является суммой x и y) и умножения (z является произведением x и y), рассматриваемые на множестве Z всех целых чисел и на множестве
N₀ = N ? {0} целых неотрицательных чисел. Какой смысл имеют следующие формулы и на каком множестве (Z или N₀) они истинны?

Вариант 1. ?y?x S(x, y, x)	Вариант 6. ? y?x П(x, y, -x)
Вариант 2. ? y?x П(x, y, x)		Вариант 7. ?y?x П(x, y, 0)
Вариант 3. ?z?x ?y S(x, y, z)		Вариант 8. ? y?x S(x, y, -5)
Вариант 4. ?z?x ?y П(x, y, z)		Вариант 9. ? x?y П(x, y, -5)
Вариант 5. ? y?x S(x, y, 0)		Вариант 10. ? x?y S(x, y, -12)

Задача 6

Пусть даны следующие множества: E= {1, 2, 3, 4, 5}, X={1, 5}, Y={1, 2, 4}, Z={2, 5}. Найти множества:

Вариант 1. X ? Y’	Вариант 6. X’ ??Y’
Вариант 2. (X ? Z) ? Y’		Вариант 7. (X ? Y) ? Z
Вариант 3. X ? (Y ? Z)		Вариант 8. X ? Z
Вариант 4. (X ? Y) ? (X ? Z)		Вариант 9. (X \ Z) ? (Y \ Z)
Вариант 5. (X ? Y)’		Вариант 10. (X ? Y) ? (X ? Z)

Задача 7

Начертить диаграмму Венна, иллюстрирующую построение следующих множеств:

Вариант 1. X ? Y’	Вариант 6. X’ ??Y’
Вариант 2. (X ? Z) ? Y’		Вариант 7. (X ? Y) ? Z
Вариант 3. X ? (Y ? Z)		Вариант 8. X ? Z
Вариант 4. (X ? Y) ? (X ? Z)		Вариант 9. (X \ Z) ? (Y \ Z)
Вариант 5. (X ? Y)’		Вариант 10. (X ? Y) ? (X ? Z)

Задача 8

Выписать все элементы отношений ??=<X, R> и ?^-1, если

Вариант 1. X= {2, 4, 6, 8}, R = {<x, y>: x < y}

Вариант 2. X= {1, 3, 5}, R = {<x, y>: x ? y}

Вариант 3. X = P({a, b, c}), R = {: A ? B}

Вариант 4. X = P({a, b}), R = {: A ? B}

Вариант 5. X = {2, 4, 8, 10}, R = {<x, y>: x ? y}

Вариант 6. X={2, 4, 16, 22}, R ={<x, y>: x является делителем y}

Вариант 7. X = {2, 4, 16, 22}, R ={<x, y>: { x+y делится на 6}

Вариант 8. X = {2, 4, 16, 22}, R = {<x, y>: x / y четно}

Вариант 9. X = {2, 4, 8, 10}, R = {<x, y>: x - y делится на 3}

Вариант 10. X = P({a, b, c}), R = {: A ? B ? ?}

Начертить на координатной плоскости или на параллельных осях диаграмму, представляющую отношение.

Примечание. Выше P(A) обозначает множество всех подмножеств множества A.
Задача 9

Пусть X = Y = R , а отображение ?: X ? Y задается указанным ниже законом. Нарисовать график отображения и охарактеризовать отображение (всюду определенность, функциональность, отображение «на», взаимная однозначность).

Вариант 1. y = | x |	Вариант 6. y = 1 / cos x
Вариант 2. | y | = | x |		Вариант 7. y = tg x
Вариант 3. x2 = y		Вариант 8. y ? | y | = x ? | x |
Вариант 4. x ? y = 6		Вариант 9. x = y2
Вариант 5. x3 = y		Вариант 10. | y | = x

Задача 10

Варианты 1-5. Для графа, представленного следующей матрицей инциденций, определить матрицу смежности и нарисовать диаграмму графа.

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3		Вариант 4
Вариант 5

Варианты 6-10. Для графа, представленного следующей матрицей смежности, определить матрицу инциденций и нарисовать диаграмму графа:

Вариант 6	Вариант 7
Вариант 8		Вариант 9
Вариант 10

Задача 11

Представить в виде ориентированного графа отношение ??=<X, R>

Вариант 1. X= {2, 4, 6, 8}, R = {<x, y>: x < y}

Вариант 2. X= {1, 3, 5}, R = {<x, y>: x ? y}

Вариант 3. X = P({a, b, c}), R = {: A ? B}

Вариант 4. X = P({a, b}), R = {: A ? B}

Вариант 5. X = {2, 4, 8, 10}, R = {<x, y>: x ? y}

Вариант 6. X={2, 4, 16, 22}, R ={<x, y>: x является делителем y}

Вариант 7. X = {2, 4, 16, 22}, R ={<x, y>: { x+y делится на 6}

Вариант 8. X = {2, 4, 16, 22}, R = {<x, y>: x / y четно}

Вариант 9. X = {2, 4, 8, 10}, R = {<x, y>: x - y делится на 3}

Вариант 10. X = P({a, b, c}), R = {: A ? B ? ?}

Примечание. Выше P(A) обозначает множество всех подмножеств множества A.

Задача 12.

Варианты 1-4. Нарисовать диаграмму орграфа G=<V, X> и определить, будет ли он связным, сильно связным или несвязным.

Вариант 1. V= {v₁, v₂, v_3,, v₄, v₅},

X={<v₁, v₂>, <v₂, v₁>, <v₂, v₂>, <v₂, v₃>, <v₂, v₄>, <v₄, v₃>, <v₄, v₂>, <v₄, v₁>}

Вариант 2. V={v₁, v₂, v_3,, v₄, v₅},

X={<v₁, v₂>, <v₁, v₃>, <v₁, v₅>, <v₂, v₃>, <v₂, v₄>, <v₃, v₃>, <v₃, v₄>, <v₃, v₁>,
<v₄, v₅>, <v₅, v₁>}

Вариант 3. V= {v₁, v₂, v_3,, v₄, v₅},

X= {<v₁, v₂>, <v₂, v₁>, <v₂, v₃>, <v₃, v₁>, <v₃, v₃>, <v₄, v₁>, <v₅, v₅>}

Вариант 4. V= {v₁, v₂, v_3,, v₄, v₅ , v₆},

X={<v₁, v₂>, <v₁, v₅>, <v₂, v₄>, <v₄, v₃>, <v₃, v₆>, <v₄, v₅>, <v₅, v₁>, <v₆, v₁>, <v₆, v₆>}
Варианты 5-8. Пусть Т =<V, X>   ориентированное дерево. Разрезом С дерева Т называется подмножество вершин Т таких, что

а) не существует двух вершин С на маршруте в Т;

б) ни одна вершина не может быть добавлена к С без нарушения пункта а).

Определить все разрезы следующего ориентированного дерева:

Вариант 5. V={v₁, v₂, v_3,, v₄, v₅ , v₆},

X={<v₁, v₂>, <v₁, v₃>, <v₁, v₄>, <v₃, v₅>, <v₃, v₆>}

Вариант 6. V={v₁, v₂, v_3,, v₄, v₅ , v₆},

X={<v₁, v₂>, <v₁, v₅>, <v₂, v₃>, <v₂, v₄>, <v₅, v₆>}

Вариант 7. V={v₁, v₂, v_3,, v₄, v₅ , v₆},

X={<v₁, v₂>, <v₁, v₆>, <v₂, v₃>, <v₂, v₄>, <v₂, v₅>}

Вариант 8. V={v₁, v₂, v_3,, v₄, v₅ , v₆},

X={<v₁, v₂>, <v₁, v₃>, <v₁, v₄>, <v₂, v₆>, <v₃, v₇>, <v₃, v₈>, <v₄, v₅>}

Варианты 9-10. Если T   ориентированное дерево, то уровень вершины определяют как максимальную длину маршрута от этой вершины до листа. Глубина вершины   это длина пути от корня до этой вершины. Глубиной дерева T называют длину самого длинного маршрута в T. Высотой вершины называют глубину дерева T за вычетом глубины вершины. Высотой дерева T является высота корня.

Пусть T =<V, X>, V= {v₁, v₂, ..., v₉},

X={₁, v₂>, ₁, v₃>, ₁, v₄>, ₃, v₅>, ₃, v₆>, ₃, v₇>, ₅, v₈>, ₅, v₉>}

Вариант 9. Нарисовать Т со значениями уровней и со значениями глубин в качестве меток вершин. Определить глубину дерева Т.

Вариант 10. Нарисовать Т со значениями уровней и со значениями высот в качестве меток вершин. Определить высоту дерева Т.

Задание № 2

по темам

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Задачи 1 и 2

Даны матрицы A и B. Указать какие из нижеприведенных операций выполнимы и выполнить их.

Задача 1. 1) A + B; 2) A^T + B; 3) A + B ^T; 4) A^T + B ^T.

Задача 2 5)AB; 6) A^TB; 7) AB ^T; 8) BA^T

1. 
   Вариант 1 Вариант 2
   

2. 
   Вариант 3 Вариант 4
   

3. 
   Вариант 5 Вариант 6
   

4. 
   Вариант 7 Вариант 8
   

5. 
   Вариант 9 Вариант 10
   

Задача 3

Найти матрицу, обратную матрице A, если она существует. Найти определитель матрицы B

6. 
   Вариант 1
   

7. 
   Вариант 2
   

8. 
   Вариант 3
   

9. 
   Вариант 4
   

10. 
    Вариант 5
    

5. 1. 
      Вариант 6
      

2. 
   
   
3. 
   Вариант 7
   

4. 
   
   
5. 
   Вариант 8
   

6. 
   Вариант 9
   

7. 
   
   
8. 
   Вариант 10