скачать doc
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ: ДВУХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Для того чтобы при наличии двух независимых переменных проверить статистическую значимость двух результатов действия независимой переменной, а также, взаимодействие, между, переменными, применяется Р-критерий. Принципы его применения точно такие же, как и описанные в предыдущем приложении. Для того чтобы выявить, достаточно ли величина отношения превышает 1, чтобы отвергнуть нуль-гипотезу, производится сравнение межгрупповой оценки дисперсии генеральной совокупности с внутригрупповой оценкой.
Как получить внутригрупповую оценку, уже было показано. Межгрупповая оценка определяется раздельно для каждого из двух основных результатов действия и для взаимодействия. Таким образом, вычисляются три величины Р; каждая полученная величина сравнивается с табличным значением критерия для альфа-уровня, равного 0,05 или 0,01. Это значение критерия можно найти в статистической таблице 3.
Эксперимент с двумя независимыми переменными
Давайте по-другому рассмотрим четыре выборки наших данных по времени реакции. Допустим, что на самом деле эксперимент на время реакции проводился с двумя независимыми переменными: одной из них был тип стимула — свет или тон, другой —тип реакции:
\ Факторные эксперименты 371
простая реакция или реакция выбора. Простая реакция означает нажатие левой кнопки, когда сигнал появляется слева, и нажатие правой, — когда он появляется справа. Вернемся к исходным обозначениям, условие А представляет простую реакцию на световой стимул; условие Б — простую реакцию на тон; условие В — реакцию выбора на свет; Г — реакцию выбора на тон. Опыт проводился на четырех группах по 17 испытуемых. Ниже приводятся средние времена реакций, полученные для четырех групп испытуемых.
| Тип реакция | | Тип сигнала | |
| | чвук | свет | среднее |
| Простая реакция Реакция выбора Среднее | 162 250 £06,0 | 185 265 225,0 | 173,5 257,5 215,5 |
Различие, связанное с ответом (типом реакции), представлено в этом случае различием между строками, а различия, — вызванные стимулом, представлены различиями между столбцами. Таким образом, произведение реакции на стимул есть произведение строки на столбец (стр Хстл). В матрице г строк и с столбцов, в нашем случае г==с==2.
. Внутригрупповое среднее квадратичное
Для тех же четырех групп данных можно использовать предыдущие расчеты для вычисления среднего квадратичного внутри группы (СКВвг):
СКвГ ==^Хг1с1 + ^ХгМ + 2Дт2с1 + ^Хг2с2 (8-1) ИЛИ СКвг == 4306 + 5808 + 5391 + 4673 - 20178.
? Как вы заметили, индексы у слагаемых уже новые. 1 ^х^пс1 означает, что полученная внутри группы величина х" соответствует строке 1 (простая) и столбцу 1
Факторные эксперименты 373
И здесь также межгрупповое среднее квадратичное находится делением суммы квадратов на число степеней свободы. Поэтому для строк
СКВ,
(8.5)
СКВ.
119952
-119952.
Среднее квадратичное по столбцам
(тон). Точно так же 2õ2 означает величину для строки 2 (выбор) и столбца 2 (свет) и т. д.
Здесь для нахождения среднего квадратичного можно снова применить формулу (7.6) (.поскольку гХ== ):
скВ,г=^-. ^—^ñ
Из того, что 68 испытуемых делятся на 4 группы, как и ранее, следует
СКВвг - -^Ц- == 315.
Совершенно аналогичные процедуры могут быть сделаны и относительно столбцов. Вначале
(1^=\М^ —Л^общ, йп = Л^2 — ^общ
(8.6)
^=206,0—215,5-—9,5, ^= 225,0— 215,5 = +9,5, СКстл = пг(^1 + & и т. д., если есть еще столбцы) (8.7)
т ттм*
^стл = 17 • 2(90,25 + 90,25) = 6137, ^стл = С ~ 1
^/стл
СКВ.
=2-1=1, СК^
В нашем случае
^-
(8.8)
(8.9)
СКВ,
= 6137.
Среднее квадратичное (строки X столбцы)
Для того чтобы найти сумму квадратов (СКотрхстл)» 1 вы должны вначале найти разность между средним каждой подгруппы и общим средним. Затем сложить квад-
Среднее квадратичное по строкам
Вначале найдем сумму квадратов по строкам и из нее найдем среднее квадратичное по строкам. Разности между средним по каждой строке и общим средним вычисляются следующим образом:
^ ==М^— Мобщ, <1п •= Л^г2— ^общ (8.2) или: йп == 173,5 —215,5=— 42,0, ^ = 257,5 — 215,5- +42,0.
Сумма квадратов по строкам — это сумма квадратов этих значений, умноженная на произведение числа случаев в группе п и числа столбцов с:
СКстр=пс (^1+^2) и т. д. если есть последующие строки. (8.3)
Здесь СКВ^р = 17-2(1764,0 + 176,40) = 119952.
Число степеней свободы для строк равно их числу минус 1: ^^=т~\. (8.4)
В нашем случае стр = 2 - 1 = 1.
Д ^ -
Факторные эксперименты соответствующее число степеней свободы:
скв.
стрХстл
стрхстл
В нашем случае
стр X стл
М
(8.12)
СКВ.
стрХстл
272.
Вычисление отношения
Теперь у нас есть четыре оценки популяционной дисперсии су. Это (1) внутригрупповое среднее квадратичное; (2) среднее квадратичное по строкам; (3) среднее квадратичное по столбцам и (4) среднее квадратичное — строки Х столбцы. Мы можем использовать внутригрупповое среднее квадратичное как знаменатель при вычислении Р-отношения относительно каждого из остальных средних квадратичных. Введение знаменателя часто называют показателем ошибки, имея в виду несистематическое изменение, которое невозможно контролировать в экспериментальных условиях:
В нашем случае
Р^ Таким же образом,
,(8.13)
119952 315
ИЛИ: р _6137 •"стл — —~»— 315
И еще раз соответственно:
стрХстл
= 380,80.
стл_
С^вг = 19,48.
стрХстл
(8.14)
(8.15)
стрХстл ==
0,86.
л1» Глава 8
раты этих разностей и умножить полученную сумму на число случаев в группе. Наконец, вычесть из этого числа сумму квадратов по строкам и сумму квадратов по столбцам. Давайте теперь проделаем эти операции шаг за шагом:
^Пс1 == М-Пс1 —Мобщ, <1пс2 =Л^1с2—^общ, йгъа ^ ^гча — ^общ> ^2с2 ^ ^г2са — •^общ-В нашем случае им == 162,0—215,5 =—53,5,^^=185,0—215,5=—30,5,
^ = 250,0—215,5 = + 34,5, йпсч. == 265,0 — 215,5 =+ 49,5,
СКсгрХпл ==Л (^1с1 + йг\с1 + ^2с1 + йг1с1) — СК^р — СКстл-(8.10)
(Замечание: первая часть уравнения уже вычислялась с использованием уравнения 7.4.)
С^стрхстл = 17(2862,25+930,25 + 1190,25 + 2450,25)— — 119952 —6137 == 126361 — 119952 —6137 = 272.
Прежде чем мы перейдем ,к последнему шагу вычисления среднего квадратичного (СКВстрхстл), мы должны найти число степеней свободы для взаимодействия строк и столбцов. Вспомним, что мы сравниваем разности по одной независимой переменной, вызванные действием другой независимой переменной. Существуют (/•—1) разностей по строкам и (с—1) при сравнении этих строк с разностями по столбцам. Таким образом, общее число ^ равно произведению (г—\) (с—1). В нашем случае, где всего две строки и два столбца, взаимодействие (строкиХстолбцы) равно 1:
стрхстл-(г-1)(с-1) (8.11) или:
стрхстл=(2-1)(2-1)=1.
Среднее квадратичное по строкам и столбцам равно сумме квадратов по строкам и столбцам, деленное на
Факторные эксперименты
Задача. Используйте данные из задачи в статистическом приложении к главе 7 и проведите дисперсионный анализ с составлением таблицы дисперсионного анализа. Снова данные получены для шести раздельных групп испытуемых. Одной переменной является величина награды, второй переменной—трудность задачи. Данные из главы 7 должны быть использованы следующим образом.
| . ; | Величина | награды от низкой | к высокой |
| | А | Б | В |
| 1 Легкая 1 Трудная | Ур. 4 Ур. 3 | Ур. 5 Ур. 2 | Óð. 6 Ур. 1 |
| 1 Ответ: | |||
| ; Источник дисперсии | ск | (И СКВ | Р р |
| 1 Трудность (строки) 433,2 1 Награда (столбцы) 15,8 1 Взаимодействие (трудность 141,8 Х награда) 1 Внутригрупповая 224,4 1 Общая 815,2 | 1 433,2 2 7,9 2 70,9 24 9,35 29 | 46,33 <0,01 0,84 7,58 <0,01 | |
| | |||
Принятие или отвержение нуль-гипотезы
Аналогично тому, как это делалось в статистическом приложении к главе 7, мы воспользуемся Статистической таблицей 3 для нахождения критического значения 1р. Для Рстр имеется 1 в числителе и 64 в знаменателе. Табличное значение для отвержения нуль-гипотезы для 1 и б5с равно 7,04 на уровне 0,01. Очевидно, что полученная нами величина 380,80 позволяет на этом уровне отклонить нуль-гипотезу. Для Рстл комбинация в числителе и знаменателе та же самая. И здесь полученная величина 19,48 позволяет отклонить нуль-гипотезу на альфа-уровне, равном 0,01.
Для Рстрхстл мы также ищем табличное значение для 1 и 65с. Полученная нами величина 0,86 не позволяет отклонить нуль-гипотезу даже для альфа-уровня 0,05. Критическое значение здесь равно 3,99. Р, меньшее единицы, может быть получено лишь для выборочного распределения. В этом случае оно просто не может быть статистически значимым.
Таблица дисперсионного анализа
Дисперсионный анализ можно подытожить в виде следующей таблицы. Обратите внимание, что степени свободы являются аддитивными так же, как и суммы квадратов.
Дисперсионный анализ. Эксперимент на время реакции с разными типами стимулов и видами реакций
Источник дисперсии СК сЧ СКВ Р Р
| Реакции (строки) | 119952 | 1 | 119952 | 380,80 | <0,01 |
| Стимулы (столбцы) | 6137 | 1 | 6137 | 19,48 | <0,01 |
| Взаимодействие строки X | 272 | 1 | 272 | 0,86 | |
| столбцы | | | | | |
| Внутригрупповая | 20178 | 64 | 315 | | |
| Общая | 146539 | 67 | | | |