Математический кружок Занятие Простые и составные числа

Предлагаем познакомиться, как выглядит занятие математического кружка на примере кружка, взятого из главы 1 «Введение в алгебру» 7 класса. Заголовок «Занятие 1» условно, это не значит, что этот материал рассчитан на проведение одного занятия по этой теме.

Математический кружок

Занятие 1. Простые и составные числа

Обзор теории. В тексте идет речь о натуральных числах.

1. Простое число – это число p > 1, у которого нет других делителей, кроме 1 и p.

2. Составное число – это число n > 1, не являющееся простым, т. е. его можно представить в виде n = m  k, где m > 1, k > 1.

3. Ряд простых чисел бесконечен (теорема Евклида): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …

4. Каждое число n можно разложить на простые множители, т. е. записать в виде , где p₁, …, p_s – различные простые числа. Такое представление однозначно с точностью до порядка множителей.

Серия 1. Вводная

1. Докажите, что сумма трех последовательных чисел всегда делится на 3.

2. Предложите обобщение этой задачи.

3. Докажите, что произведение трех последовательных чисел всегда делится на 6.

4. Каким может быть остаток от деления нечетного простого числа на 6?

5. Докажите, что число p² + 2 составное, где p > 3 – простое число.
Серия 2. Простые числа

1. p, p + 10, p + 14 – простые числа. Найдите p.

2. p, 2p + 1, 4p + 1 – простые числа. Найдите p.

3. p, 4p² + 1, 6p² + 1 – простые числа. Найдите p.

4. p, p² + 2 – простые числа. Докажите, что p³ + 2 – простое число.

5. Пусть n – произведение нескольких первых простых чисел. Докажите, что оба его соседа (т. е. числа n – 1 и n + 1) не являются точными квадратами.

6. Найдите наименьшее натуральное число, обладающее такими свойствами: его половина – квадрат целого числа, его треть – куб целого числа, его пятая часть – пятая степень целого числа.

7. Докажите, что если одно из двух чисел 2ⁿ – 1 или 2ⁿ + 1 (n > 2) простое, то второе – составное.
Серия 3. Разложение на простые множители

1. Число А равно произведению всех целых чисел от 1 до 10 включительно: А = 1  2  3  ...  9  10.

1) Какие простые числа будут входить в разложение числа А на простые множители?

2) В какой степени входит число 3 в разложение А по степеням простых чисел?

3) Сколькими нулями оканчивается число А?

4) Запишите разложение числа А по степеням простых чисел. Вообще произведение всех целых чисел от 1 до n включительно записывается как n! и читается «n факториал». Данное в задаче число А можно записать как 10!.

2. Рассмотрим число A = 50!

1) Найдите показатели, с которыми простые числа p = 5, p = 11, p = 23, p = 37 входят в разложение числа A на простые множители.

2) Каково наименьшее простое число, которое входит в разложение числа A на простые множители в первой степени?

3) Пусть p – простое число и n < p².

а) n = 110. В какой степени входит p = 11 в разложение 110! ?

б) Тот же вопрос для n = 100! и p = 11.

в) Докажите, что если n < p², то p входит в разложение n! в степени , где [  ] – целая часть числа.

4) Пусть p²  n < p³.

а) n = 100, p = 7. В какой степени входит p = 7 в разложение 100! ?

б) Докажите, что простое число p входит в разложение n! в степени .

5) Предложите обобщение задач этой серии.

Ответы

Серия 1. 1. n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1).

5. Если p > 3, то оно не делится на 3 и его квадрат имеет 1 в остатке при делении на 3. Поэтому число p² + 2 делится на 3 и не может быть простым.

Серия 2. 1–4. Рассмотрите остатки при делении на 3.

6. 2¹⁵  3¹⁰  5⁶.

Серия 3. 2. 50! = 2^{25 + 12 + 6 + 3 + 1}  3^{16 + 5 + 1}  5^10 + 2  7⁷  11⁴  13³  17²  19²   23²  29  31  37  41  43  47ю

Рекомендованная литература к занятиям кружка

1. Башмаков М. И. Математика в кармане «Кенгуру». – М.: Дрофа, 2010.

2. Серия «Библиотека математического кружка». – М.: Наука, 1950–1975.