скачать rtf
Г л а в а 6. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ.
Задача 6.1.
Даны три совокупности, имеющие нормальное распределение. Их параметры: среднее
арифметическое и стандартное отклонение, соответственно равны: X1, Х2, Х3, 1, 2, 3. Нарисуйте кривые нормального распределения, если:
X1 = Х2 = Х3, 1 < 2 < 3;
2) X1 < Х2 < Х3, 1 = 2 = 3.
Задача 6.2.
По результатам наблюдения за больными, выздоравливающими после сложной операции, было построено частотное распределение, близкое к нормальному для которого средняя арифметическая равна 28 дням, стандартное отклонение 4,2 дня.
Постройте примерный график распределения.
Задача 6.3.
Распределение годовых доходов для владельцев дачных участков от продажи продуктов подсобного хозяйства характеризуется нормальным распределением, средняя арифметическая для которого равна 320 руб., а стандартное отклонение – 120 руб. Однородна ли совокупность? В каком интервале находится около 95% всех доходов? Чему равны медианное и модальное значения доходов? Является ли распределение симметричным?
Задача 6.4.
Специально организованное наблюдение за сроком службы батареек показало, что средний срок работы составляет 19 часов, стандартное отклонение составляет 1,2 часа, и все распределение срока службы в целом можно рассматривать как нормальное. В какие пределы попадает срок службы примерно 68,27% всех батареек? В какие пределы попадает срок службы примерно 95,45% батареек?
Задача 6.5.
Пусть размер изготовленной детали есть случайная величина, распределенная нормально со средним 10 см и стандартный отклонением 0,01 см. Необходимо определить:
вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется годной, если допускаются
отклонения от 10 см не более, чем на 0,025 см;
вероятность того, что размер детали не превысит 10,03 см;
какова должна быть точность изготовления детали, характеризуемая величиной , чтобы при допуске ±0,02 см годность детали гарантировалась с вероятностью 0,99.
Задача 6.6.
Две группы экспертов численностью 20 и 40 человек сделали прогноз в отношении изменения рейтинга известного политического деятеля в течение ближайшего месяца. Повышение рейтинга предполагают в 1-ой группе 3 человека, во 2-ой - 8 человек. Считают, что рейтинг не изменится – 5 и 10 человек. Прогнозируют снижение рейтинга соответственно 12 и 22 человека. Можно ли объяснить случайностью различия во мнениях экспертов?
Примечание. За теоретическое распределение рекомендуется принять распределение мнений в более многочисленной группе.
Задача 6.7.
Различными группами экспертов на трех выставках оценивается новая модель автомобиля по пятибалльной шкале. Результаты представлены в таблице:
| Балл | Выставка А, чел. | Выставка В, чел. | Выставка С, чел. |
| 5 | 27 | 16 | 17 |
| 4 | 17 | 11 | 2 |
| 3 | 5 | 2 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | - |
| 1 | - | - | - |
| Итого | 50 | 30 | 20 |
Определите, можно ли доверять всем трем группам экспертов при решении вопроса об общей оценке новой модели и запуске ее в производство, т. е. случайны ли различия во мнениях трех групп экспертов. (В качестве теоретического рекомендуются принять суммарное распределение.)
Задача 6.8.
Глава предприятия решил оценить, как распределяется число невыходов на работу по дням недели (иначе говоря, до какой степени оно является случайным).
Дни недели | Результаты наблюдений по табелю |
| понедельник | 12 |
| вторник | 9 |
| среда | 11 |
| четверг | 10 |
| пятница | 9 |
| суббота | 9 |
Можно ли согласиться со случайностью в распределении невыходов по дням недели.
Уровень значимости возьмите 0,01 (то есть вероятность, с которой будет отвергаться нулевая гипотеза 0,99).
Задача 6.9.
Кассир банка допускает случайные ошибки при расчетах, вследствие чего в кассе могут появиться как недостачи, так и излишки, распределение которых представлено в таблице.
| Сумма излишков / недостач , у.е. | Число рабочих дней |
недостача свыше 5 | 1 |
недостача от 3 до 5 | 3 |
недостача от 1 до 3 | 9 |
| от недостачи в 1 до излишка в 1 | 33 |
излишек от 1 до 3 | 12 |
| излишек от 3 до 5 | 4 |
| излишек более 5 | 2 |
Можно ли считать ошибки кассира случайными?
Примечание: случайные ошибки подчиняются нормальному закону.
Задача 6.10.
По данным о распределении обследуемых семей по доходам определите существенность различия социальной дифференциации населения двух областей.
| Группы семей по среднедушевому доходу, в прожиточных минимумах (п.м.) | Число семей | |
| Область “А” | Область “В” | |
| Ниже п.м. | 17 | 35 |
| Равен п.м. - 1,1 п.м. | 22 | 56 |
| От 1,1 п.м. до 1,5 п.м. | 67 | 109 |
| От 1,1 п.м. до 2 п.м. | 79 | 94 |
| От 2 п.м. до 3 п.м. | 139 | 90 |
| От 3 п.м. до 5 п.м. | 88 | 38 |
| 5 п.м. и выше | 13 | 3 |
Задача 6.11.
Производственное объединение «Скороход» реализует изготовляемую обувь только через систему фирменных магазинов. Результаты реализации в фирменных магазинах и производства «Скороходом» мужской обуви за отчетный год приведены в таблице.
| Размеры обуви | Реализация, тыс. пар | Производство, тыс. пар |
| 38 | 42 | 30 |
| 39 | 91 | 72 |
| 40 | 633 | 551 |
| 41 | 871 | 952 |
| 42 | 1064 | 1153 |
| 43 | 935 | 1017 |
| 44 | 219 | 270 |
| 45 и более | 144 | 201 |
Рассчитайте структуру как реализованной, так и произведенной обуви. Постройте полигон распределения. С вероятностями 95% и 99% ответьте на вопрос: случайно ли различие частот.
Задача 6.12.
По окончании показа новой одежды среди зрителей был проведен опрос, результаты которого приведены.
| Число высказавших мнение | Мнение о коллекции |
| 47 | выдающаяся |
| 45 | отличная |
| 40 | очень хорошая |
| 39 | хорошая |
| 35 | посредственная |
| 34 | неприемлемая |
Автор коллекции считает, что, судя по количеству голосов, положительно оценивших коллекцию, ее можно рекомендовать в массовое производство; представитель фирмы, занимающийся пошивом готовой одежды, полагает, что разница в положительных и отрицательных оценках не столь существенна и носит случайный характер. Проверьте гипотезу случайности разницы мнений опрошенных зрителей. Сделайте вывод, можно ли рекомендовать данную коллекцию в массовое производство.
Задача 6.13.
Имеется распределение партий деталей по длительности производственного цикла:
| Длительность произ. цикла, час | менее 28 | 28-113 | 113-198 | 198-283 | 283-368 | 368-453 | 453-538 | 538-623 | 623-708 | 708- и более | Итого |
| Количество партий | - | 5 | 12 | 12 | 15 | 9 | 9 | 7 | 2 | - | 71 |
Постройте гистограмму распределения и определите, какому теоретическому распределению оно соответствует. Проверьте эту гипотезу с помощью критериев 2 и Колмогорова.
Задача 6.14.
С целью совершенствования системы тарифов городская АТС проводит исследование продолжительности телефонных разговоров в рабочее время, распределение которых по данным выборки представлено в таблице:
| Продолжительность телефонных разговоров, мин. | Количество разговоров |
| менее 4 | 10 |
| 4 – 5 | 20 |
| 5 - 6 | 30 |
| 6 - 7 | 35 |
| 7 - 8 | 25 |
| 8 - 9 | 15 |
| 9 - 10 | 10 |
| 10 и более | 5 |
| Итого | 150 |
Для адекватной оценки недостаточно средних показателей, необходимо выявить характер распределения. Проверьте, соответствует ли распределение продолжительности телефонных разговоров нормальному закону.
Задача 6.15.
В результате проверки 1000 партий одинаковых деталей получено следующее распределение количества бракованных деталей в партии:
| Количество бракованных деталей в партии | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Итого |
| Количество проверенных партий | 604 | 306 | 77 | 12 | 1 | 1000 |
Определите, соответствует ли распределение числа бракованных изделий закону редких событий (закону Пуассона).