скачать rtf
Г л а в а 7: ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ.
Задача 7.1.
Вам необходимо проверить на качество готовую продукцию консервного завода или кондитерской фабрики. Какой вид выборки вы бы предложили и почему?
Задача 7.2.
Как необходимо изменить численность повторной выборки, чтобы ее ошибка уменьшилась:
а) в 2 раза;
б) на 10%.
Что произойдет с ошибкой повторной выборки, если ее численность:
а) увеличится в 3 раза;
б) уменьшится на 50%.
Задача 7.3.
При каких условиях предельная ошибка повторной выборки больше ошибки бесповторной выборки: а) в 2 раза; б) в 3 раза; в) на 50%?
Задача 7.4.
По схеме случайной повторной выборки был проведен предварительный замер выработки у рабочих нескольких смен. Его результаты: средняя выработка рабочего составила – 495 деталей за смену, среднее квадратическое отклонение – 15 деталей.
Какова должна быть численность выборочного исследования производительности труда рабочих, чтобы с вероятностью 0,954 гарантировать, что размер ошибки выборки (отклонения среднего значения выработки рабочего за смену) не превзойдет 10 изделий.
Задача 7.5.
Какой объем выборки необходимо взять из совокупности 10000 рабочих при условии бесповторного отбора, чтобы система показателей отклонялась от показателей генеральной совокупности в следующих пределах:
а) по средней заработной плате одного рабочего – не более 3 рублей, если по данным аналогичного исследования в прошлом месяце дисперсия составила 1469;
б) по удельному весу тарифа в заработной плате – не более 0,02.
Задача 7.6.
В городском Сбербанке в порядке механической выборки каждого 5-го вклада проанализировали 8000 вкладов физических лиц. В результате было установлено, что средний размер вклада составил 4000 руб. при среднеквадратическом отклонении 500 руб.
Определите:
1) какова вероятность того, что предельная ошибка выборки не превышает 10 руб.?
2) какова должна быть численность выборки, чтобы при вероятности 95,4% предельная ошибка выборки не превысила 5 руб.?
Задача 7.7.
С целью выявления резервов рабочего времени 1000 рабочих проведено собственно-случайное обследование 200 человек. Наблюдение показало, что потери рабочего времени в среднем составили 30 минут за смену. Дисперсия выборки оказалась равной 81. С вероятностью 0,997 определите размер внутрисменных простоев всех рабочих завода. На сколько необходимо увеличить размер выборки, чтобы предельная ошибка снизилась на 50%?
Задача 7.8.
В результате проверки успеваемости студентов факультета путем механического 10- процентного отбора 50 человек получены следующие результаты:
а) средний балл – 4,1;
б) дисперсия – 0,555;
в) предельная ошибка выборки - 0,3 балла.
Определите вероятность, с которой была рассчитана ошибка выборки.
Задача 7.9.
В области проживает 500 тысяч семей. По итогам предыдущих обследований известно, что дисперсия среднедушевого дохода равна 6400. Сколько необходимо отобрать семей для проведения собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысила: 1 руб., 5 руб., 10 руб.?
Задача 7.10.
В автопарке ведется сплошное обследование расхода бензина и дизельного топлива на 100 километров методом саморегистрации, при этом из-за недобросовестности некоторых водителей возникает систематическая ошибка завышения расхода горючего. По данным саморегистрации водителей среднее значение расхода горючего составляет 20 литров на 100 километров, а дисперсия - 16. Одновременно на линию выходит 200 автобусов
Сколько водителей, отобранных механическим образом, необходимо сопровождать водителей, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысила 1 л. на 100 км.?
Задача 7.11.
По методу собственно-случайного бесповторного отбора было опрошено 200 женщин из 60 тысяч, проживающих в городе. Средние затраты времени для опрошенных на ведение домашнего хозяйства равны 28 часам в неделю. Выборочная дисперсия равна 4. С вероятностью 0,997 определите средние затраты времени на ведение домашнего хозяйства всеми женщинами.
Задача 7.12.
Администрация овощного магазина с вероятностью 0,95 решила исследовать среднее количество картофеля, приобретаемое одним покупателем. Была проведена собственно-случайная повторная выборка 160 человек, которая показала, что средний вес одной покупки составил 6,5 килограмм при стандартном отклонении 3 килограмма. Определите, в каких пределах колеблется средний вес покупки картофеля у всех покупателей.
Задача 7.13.
В выборке 40% женщин имеют двоих детей. С вероятностью 0,954 требуется спрогнозировать долю женщин, имеющих двух детей в генеральной совокупности численностью 60 тысяч человек, если случайным бесповторным отбором было опрошено 200 женщин.
Задача 7.14.
Служба маркетинга объединения решила выяснить, какая часть потребителей может по внешнему виду пылесоса определить его наименование. В случайной выборке участвовало 1400 домашних хозяек, из которых 420 справились с заданием. Используя доверительную вероятность 0,997, определите интервал, в котором колеблется доля разбирающихся в бытовой технике домашних хозяек в достаточно большой генеральной совокупности.
Задача 7.15.
Проведено выборочное обследование состояния здоровья 500 работников химического завода из общей численности 4 тысячи работающих. Выявлено, что 350 человек оказались практически здоровыми. С вероятностью 0,95 определите численность практически здоровых в составе всех работников завода.
Задача 7.16.
В порядке подготовки к новому учебному году в микрорайоне города, где проживает 6000 семей, проведена случайная бесповторная выборка 200 семей. Установлено, что в отобранных семьях шестилетних детей имеют 5,4% семей.
1. С выбранной самостоятельно доверительной вероятностью определите долю семей, имеющих детей-шестилеток в микрорайоне.
2. С той же вероятностью рассчитайте, сколько первоклассников ожидается в школах микрорайона на следующий год.
Задача 7.17.
На кондитерской фабрике в течение дня проведено 175 моментных наблюдений, в результате которых было установлено, что 87% оборудования в моменты наблюдения работало, а 13% - простаивало, при этом 60% неработающего оборудования простаивало по уважительным причинам.
С вероятностью 0,954 определите процент работающего оборудования и неработающего по неуважительным причинам по фабрике в целом.
Задача 7.18.
Из партии посуды в 100 тысяч единиц механическим способом отобрали каждую сотую. В результате было проверено 200 единиц посуды вида А, 300 – вида В и 500 – вида С, среди которых 10, 16 и 24 штуки соответственно оказались с внешними дефектами.
С вероятностью 0,997 определите колебание доли посуды с дефектами во всей партии. Есть ли существенные различия процента посуды с дефектами по разным видам?
Задача 7.19.
Имеются данные 1% выборки остатков вкладов населения в коммерческие банки.
| Уровень остатков, тыс. руб. | Число вкладчиков, чел |
| до 1 | 4 |
| 1 – 3 | 12 |
| 3 – 9 | 36 |
| 9 – 15 | 20 |
| 15 и более | 8 |
1) По этим данным рассчитайте с вероятностью 0,954 пределы колебания среднего уровня вклада во всей совокупности.
2) Какую необходимо взять численность выборки с вероятностью 0,997, чтобы пределы колебания доли вкладов свыше 15 тыс. руб. не превышали 5%.
Задача 7.20.
С целью выявления влажности зерна из партии в 10 тонн случайным способом было отобрано 100 проб зерна по 10 грамм в каждой. Испытания дали следующие результаты.
| Содержание влаги, %% | Число проб |
| 10 – 12 | 10 |
| 12 – 14 | 30 |
| 14 – 16 | 60 |
По этим данным определите:
1. средний уровень влажности зерна в выборке;
2. дисперсию;
3. с вероятностью 0,954 пределы колебания уровня влажности всей партии.
Задача 7.21.
В обычный день недели статистики отдела цен посетили 190 магазинов области и зарегистрировали средние цены на пшеничный хлеб. После обработки результаты наблюдения оказались следующими:
| Группы по уровню цен, руб. | Число магазинов |
| до 4,0 | 10 |
| 4,0 – 4,2 | 15 |
| 4,2 – 4,4 | 85 |
| 4,4 – 4,6 | 30 |
| 4,6 – 4,8 | 25 |
| 4,8 – 5,0 | 20 |
| 5,0 и более | 5 |
Используя формулу случайной бесповторной выборки, определите пределы колебания средней цены одного килограмма хлеба во всех магазинах области, если выборка составила 10 %. Примите вероятность равной 99,7%.
Задача 7.22
Фирма закупила 40000 бутылок коньяка. На одной из машин было погружено 4000 бутылок. По приезде 10 из них оказались разбитыми. Правомерен ли бой, если его норматив с учетом дальности поездки составляет 0,1%?
Задача 7.23.
В результате исследования 100 партий деталей на наличие в них нестандартных получены следующие данные:
| Процент нестандартной продукции в партии | Количество партий |
| 1 – 2 | 60 |
| 2 – 3 | 30 |
| 3 – 4 | 10 |
| Итого | 100 |
Можно ли принять всю серию из 1000 партий, если норматив нестандартной продукции составляет:
1) 2,3% ;
2) 2,1%?
Уровень доверия возьмите Р=0,954.
Задача 7.24.
Для изучения уровня выполнения норм выработки на заводе была проведена 10%-ная механическая выборка рабочих-станочников, показавших следующие результаты:
| Затраты времени на обработку одной детали, мин | Число рабочих |
| 10 - 12 | 10 |
| 12 - 14 | 20 |
| 14 - 16 | 60 |
| 16 - 18 | 15 |
| 18 - 20 | 5 |
По этим данным вычислите:
1. Средние затраты времени на обработку одной детали;
2. Дисперсию затрат времени;
3. Коэффициент вариации;
4. С вероятностью 0,954 ошибку выборочной средней и возможные пределы, в которых ожидаются затраты времени на одну деталь всеми станочниками завода;
5. С той же вероятностью – долю «передовиков», у которых затраты времени на изготовление одной детали 10 – 11 минут.
Задача 7.25.
Имеются данные о времени работы за компьютером 900 посетителей Интернет – Центра, что составляет ¼ их общего числа:
| Время работы в Интернет-Центре, час. в неделю | Число посетителей, % |
| менее 14 | 5 |
| 14 – 16 | 10 |
| 16 – 18 | 25 |
| 18 – 20 | 30 |
| 20 – 22 | 20 |
| 22 и более | 10 |
| Итого | 100 |
По этим данным определите:
1. с вероятностью 0,954 пределы колебания среднего времени работы посетителей в Интернет – Центре. Репрезентативна ли выборка по данному показателю?
2. с вероятностью 0,997 доверительный интервал для процента посетителей, работающих в Интернет – Центре более 20 часов в неделю.
Задача 7.26.
По данным выборочного обследования домашних хозяйств в городе с населением 600 тыс. жителей получено следующее распределение среднедушевых доходов:
| Группы домашних хозяйств по среднедушевому доходу, руб. | Количество членов обследованных домашних хозяйств, чел. |
| Менее 500 500 – 1000 1000 – 1500 1500 – 2000 2000 – 2500 2500 – 3000 3000 – 3500 3500 – 4000 4000 – 4500 4500 – 5000 5000 и более | 15 125 185 130 70 35 20 10 5 3 2 |
| Итого | 600 |
По этим данным определите:
1) с вероятностью 0,954 доверительный интервал для значения среднедушевого дохода в городе;
2) с вероятностью 0,997 минимальное и максимальное значения доли “бедного” (с доходами ниже прожиточного минимума) населения в городе.
Задача 7.27.
По данным социологических опросов известно, что уровень безработных в районных центрах 'А' и 'В' существенно различен. С целью определения доли безработных среди трудоспособного населения городов было решено провести 10% типическую пропорциональную выборку. Опрос дал следующие результаты:
| Города | Численность опрошенного взрослого населения, чел. | Доля безработных среди опрошенных, % |
| А | 500 | 22 |
| В | 1300 | 4 |
По этим данным определите:
1. среднюю долю безработных по двум городам;
2. дисперсию безработных по каждому городу и по двум городам;
3. с вероятностью 0,95 пределы уровня безработных по каждому городу и во всей численности населения двух городов вместе.
Задача 7.28.
Для выявления экспортных возможностей радиозавода отобрано 100 серий микросхем. Каждая серия включала два изделия, отобранных в случайном порядке. Результаты наблюдения оказались следующие:
| Группы серий по критерию соответствуют европейскому стандарту | Число серий |
| оба изделия соответствуют стандарту | 70 |
| только одна микросхема соответствует стандарту | 20 |
| ни одна микросхема не отвечает стандарту | 10 |
Определите:
1. межгрупповую дисперсию долей;
2. с вероятностью 0,997 долю изделий, которую можно экспортировать.
3. Покажите, насколько в данном случае серийная выборка точнее собственно-случайной.
Задача 7.29.
Фирма, занимающая 40% рынка в одном из городов, решила распространить свои товары в другом городе численностью 60 тысяч жителей, для чего провела 1% выборочное исследование населения по социальным группам:
| Социальные группы | Численность опрошенных, чел. | Будут покупать при: | ||
| данном уровне цен | снижении цен на 10% | снижении цен на 25% | ||
| рабочие | 280 | 32 | 40 | 45 |
| техническая интеллигенция | 80 | 40 | 50 | 55 |
| пенсионеры | 40 | 15 | 20 | 22 |
| военнослужащие | 30 | 20 | 25 | 28 |
| управленцы | 50 | 60 | 70 | 75 |
| бизнесмены | 20 | 80 | 90 | 92 |
| служащая интеллигенция | 100 | 18 | 28 | 32 |
| Итого | 600 | 265 | 323 | 349 |
По этим данным определите:
1. дисперсию по каждой группе во всех трех вариантах;
2. общую дисперсию в каждом варианте ответа;
3. среднюю долю пожелавших купить изделие;
4. пределы колебаний средней доли в каждом варианте;
5. какой вариант должна избрать фирма для сохранения или увеличения своей доли на рынке?
Задача 7.30.
В целях изучения объёма и состава имущества населения проведён пропорциональный типический отбор семей. Предварительно территория города была разделена на 5 зон, из которых и отбирали каждую тысячную семью. Итоги исследования представлены в следующей таблице:
| Номер зоны | Численность семей | Средний размер имущества тыс. руб. | Дисперсия размера имущества |
| 1 | 40 | 100 | 30 |
| 2 | 120 | 150 | 50 |
| 3 | 130 | 230 | 60 |
| 4 | 60 | 400 | 110 |
| 5 | 30 | 1100 | 1440 |
По этим данным требуется определить:
1. средний размер имущества, приходящегося на семью;
2. среднюю из внутригрупповых дисперсий;
3. с вероятностью 0,997 пределы колебания объёма имущества.
Задача 7.31.
С целью определения среднего дохода занятого населения проведена 0,1%-ная типическая пропорциональная выборка. Итоги исследования оказались следующие:
| Социальные группы населения | Численность лиц в выборке, чел. | Среднемесячный доход, руб. | Среднеквадра-тическое отклонение, руб. |
| Наемный персонал государст-венных и муниципальных предприятий и организаций | 160 | 920 | 140 |
| Наемный персонал акционер-ных и частных предприятий | 26 | 1640 | 240 |
| Работодатели | 4 | 10200 | 260 |
| Лица, занятые индивидуаль-ной трудовой деятельностью | 10 | 4500 | 280 |
Определите:
1. средний доход одного занятого в выборочной совокупности;
2. внутригрупповые дисперсие;
3. среднюю дисперсию из внутригрупповых;
4. общую дисперсию дохода в выборке;
5. с вероятностью 0,95 пределы колебания среднего дохода в генеральной совокупности.
Задача 7.32.
Аналитиками Сбербанка проведена 10 процентная механическая выборка остатков вкладов населения на начало месяца, результаты которой следующие:
| Группы по величине вкладов, руб. | Число вкладов | Дисперсия вкладов в группах |
| До 3000 | 70 | 10000 |
| 3000 – 10000 | 130 | 250000 |
| 10000 – 30000 | 340 | 2250000 |
| 30000 и более | 60 | 9000000 |
По этим данным определите:
1. средний размер вклада в выборке;
2. составляющие правила сложения дисперсий: межгрупповую дисперсию; среднюю из внутригрупповых дисперсий; общую дисперсию.
3. с вероятностью 0,954 пределы колебания среднего размера вклада в генеральной совокупности.
4. относительную погрешность ошибки выборки, если вместо общей дисперсии подставить среднюю из внутригрупповых.
Задача 7.33.
В городе, где право голоса имеют 500 тыс. человек, накануне выборов мэра проведен социологический опрос 500 человек, отобранных по схеме пропорциональной типологической выборки с соблюдением репрезентативности по полу и возрасту. 250 человек собираются прийти на выборы, причем 130 из них собираются голосовать «за» г-на К, а 120 – «за» г-на М. Результаты опроса по социальным группам представлены в таблице:
| Социальная группа опрашиваемого | Количество опрошенных, чел. | Придут на выборы, чел | Из них собираются голосовать, чел. | |
| «За» г-на К | «За» г-на М | |||
| рабочие | 117 | 57 | 27 | 30 |
| специалисты | 108 | 52 | 25 | 27 |
| пенсионеры | 90 | 54 | 24 | 29 |
| студенты | 37 | 16 | 9 | 7 |
| предприниматели | 62 | 28 | 20 | 8 |
| безработные | 43 | 21 | 8 | 13 |
| работники админи-стративных служб | 23 | 16 | 10 | 6 |
| прочие | 20 | 7 | 7 | - |
| Итого | 500 | 250 | 130 | 120 |
Предполагая, что явка избирателей действительно составит ровно 50%, ответьте на следующие вопросы:
1. Будет ли г-н К избран мэром? Какова вероятность этого события?
2. Можно ли утверждать, что г-н К обязательно наберет больше голосов, чем г-н М? Можете ли Вы определить вероятность того, что М действительно опередит К?
Задача 7.34.
Решите задачу 7.33 без учета социального статуса опрашиваемых, то есть только на основании итоговых цифр.
Сильно ли изменились ответы на поставленные вопросы?
Какая выборка – типологическая или случайная – дала более точные результаты?
Задача 7.35.
За неделю до выборов Президента проведен пропорциональный, репрезентативный по регионам, полу и возрасту опрос 12 тыс. человек по всей стране. 10 тыс. опрошенных собираются прийти на выборы, при этом 5050 из них хотят проголосовать за наиболее вероятного кандидата - г-на ИКС.
1. Каков ожидаемый процент участия граждан в выборах, если в стране право голоса имеют 120 млн. человек?
2. Можно ли утверждать, что г-н ИКС будет избран в 1-ом туре президентских выборов? Какова вероятность этого с учетом возможного колебания процента явки избирателей?
Задача 7.36.
Органами государственного надзора за качеством продовольственных товаров в случайном порядке отобрано 6 упаковок чая одного ТОО. Результаты взвешивания 100 граммовых пачек оказались следующие: 99, 101, 98, 97, 98, 100. С вероятностью 0,95 определите доверительный интервал среднего веса одной упаковки во всей продукции ТОО.
Задача 7.37.
Налоговая инспекция в случайном порядке отобрала для проверки 6 малых предприятий и проверила их с особой тщательностью. Было установлено, что в силу различных причин бюджет недополучил от них следующий доход (в процентах к установленной сумме): 10, 5, 20, 14, 2, 9.
Допуская, что относительная недоимка подчинена распределению Стьюдента, определите с вероятностью 0,99 максимальную долю недоимки по району.
Задача 7.38.
В целях изучения состава населения области по уровню доходов из каждой типической группы (горожане и селяне) в случайном порядке было отобрано 0,1% населения. Результаты обследования следующие:
| Типические группы населения | Численности выборки, чел. | Численность населения (чел.), имеющих доходы: | ||
| ниже прожиточного минимума | от 1 до 2 прожиточных минимумов | более 2 прожиточных минимумов | ||
| горожане | 1000 | 300 | 500 | 200 |
| селяне | 500 | 140 | 300 | 60 |
1. Сравните структуру городских и сельских семей по доходному признаку.
2. Какая группа более однородна по доходному признаку?
3. Рассчитайте атрибутивную дисперсию доходного признака по группам горожан и селян отдельно. (Используйте формулу: Dj = W1*W2+W1* W3+W2*W3, где W1, W2, W3, - доли каждого типа семей, j – горожане или селяне.)
4. Определите среднюю из внутригрупповых дисперсий.
5. С вероятностью 0,997 определите долю каждой доходной категории населения в целом по области.
Задача 7.39.
Компания, занимающаяся страхованием жилья от пожара, располагает следующими данными за минувший год:
| Степень тяжести пожаров | Число случаев |
| 0,2 | 3 |
| 0,4 | 7 |
| 0,6 | 40 |
| 0,8 | 120 |
| 1,0 | 30 |
За последние 2 года число пожаров, по которым были произведены страховые выплаты, по месяцам составило: 3, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 2, 1, 4, 2.
По этим данным определите:
1. с вероятностью 0,99 число страховых случаев в текущем году, если закономерность предыдущих лет сохранится;
2. с вероятностью 0,99 максимальную степень тяжести страхового случая в текущем году;
3. максимально возможную сумму страховых возмещений в текущем году, если средняя сумма страхового возмещения по договору при полном уничтожении объекта – 100 тыс. руб.
Примечание: «Тяжесть» пожара определяется степенью разрушения объекта (1,0 – соответствует полному уничтожению).
Задача 7.40.
Мэрия города приняла решение о введении бесплатного проезда пенсионеров в муниципальных автобусах. В связи с этим администрация автопредприятия потребовала субсидию в размере 6 рублей в день на одного пассажира-пенсионера. С целью определения численности пенсионеров, пользующихся услугами автобусов, было проведено моментное выборочное наблюдение. Результаты его сводки оказались следующие:
| Моменты наблюдения ( время суток ) | Среднее количество пассажиров в одном автобусе, чел | Количество автобусов на линии | ||
| всего | в т.ч. пенсионеров | всего | Из них - попали в выборку | |
| 8 часов | 68 | 7 | 130 | 40 |
| 12 часов | 51 | 13 | 80 | 30 |
| 16 часов | 72 | 8 | 135 | 38 |
| 20 часов | 44 | 2 | 64 | 20 |
По этим данным определите:
1. среднее число пассажиров пенсионеров в одном и во всех автобусах;
2. с вероятностью 0,95 доверительный интервал колебания средней в генеральной совокупности для количества пассажиров-пенсионеров в одном и во всех выбранных автобусах;
3. максимальный размер дотации на проезд пенсионеров, который необходимо запланировать в бюджете города.