скачать doc
Лекция 2. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Цифровая фильтрация, как одно из главных направлений в ЦОС, вызывает повышенный интерес ученых и специалистов и является эффективным средством повышения качества работы современных систем управления. Стремительное развитие методов цифровой фильтрации, а параллельно с ними и цифровых сигнальных процессоров привело к использованию цифровой фильтрации в различных областях, таких как связь и системы управления, радиотехника и электроника, акустика и сейсмология, радиовещание и телевидение, измерительная техника и приборостроение. Ежегодно во всем мире проводятся десятки международных научно-технических конференций и семинаров, посвященных решению актуальных проблем цифровой обработки сигналов и цифровой фильтрации. Издаются многочисленные книги и журналы, освещающие последние достижения в области теории и практики обработки цифровых сигналов. Постоянно растет число предприятий, организаций и научных центров, использующих в своих разработках методы и технологии цифровой фильтрации.
2.1 Применение цифровой фильтрации в современных системах управления
На сегодняшний день роль цифровой обработки сигналов и цифровой фильтрации, как одной из самых значимых ее частей, в различных приложениях теории автоматизированных систем управления и теории связи трудно переоценить. Это связано в первую очередь с постоянным повышением производительности и удешевлением современных средств вычислительной техники, а также с более широким и повсеместным использованием этих средств для решения актуальных научно-технических и производственных задач.
Цифровая фильтрация интенсивно развивается уже свыше сорока лет. За этот период разработаны новые алгоритмы, создана прогрессивная технология производства электронных устройств и расширено ее применение. Первоначально цифровая фильтрация сигналов использовалась в основном при моделировании аналоговых схем фильтрации сигналов на электронных вычислительных машинах. Стремительное развитие цифровых методов привело к необходимости выделить эти вопросы в самостоятельную область исследований. Методы цифровой обработки сигналов и цифровой фильтрации имеют важное значение прежде всего потому, что они непосредственно применяются в ЭВМ и специализированных цифровых устройствах, предназначенных для работы в реальном времени, а также для обработки больших массивов данных [1].
Ускоряющееся развитие цифровой вычислительной техники приводит к созданию все более надежного, быстродействующего, миниатюрного и качественного оборудования. Существуют самые разнообразные вычислительные машины, предназначенные для обработки сигналов, и специализированные устройства, способные решать специфические задачи эффективнее и быстрее. Персональная ЭВМ имеет центральный процессор, пригодный для решения многих задач. Он выполняет широкий спектр операций (при необходимости сразу для нескольких приложений), но это может ограничивать быстродействие системы. Долгие годы имеется тенденция к созданию очень гибких, специализированных процессоров, которые могут быть запрограммированы на выполнение десятков арифметических операций одновременно.
Существуют различные мнения по поводу того, что следует включать в понятие “цифровая фильтрация”. По-видимому, целесообразно отнести сюда все системы обработки, где сигналы представлены последовательностями величин, полученных в дискретные моменты времени. Такой подход позволяет рассматривать системы, в которых отсчеты сигналов в аналоговом виде запоминаются на элементах памяти, или системы, состоящие из отрезков линии передачи, используя в основном тот же математический аппарат, как и при описании чи сто цифрового фильтра, построенного на элементах цифровой техники [2].
Причины использования цифровой фильтрации в различных отраслях техники весьма разнообразны. В некоторых случаях, таких, как обработка радиолокационных, гидролокационных и сейсмических сигналов, основными соображениями в пользу применения методов цифровой фильтрации являются их универсальность и высокая точность. В других случаях, например при обработке речевых и звуковых сигналов, существенным фактором становится ожидаемый долгосрочный выигрыш в стоимости.
Невозможно представить систему управления, в которой отсутствовали бы каналы передачи сигналов. Ключевой концепцией в определении сигнала является тот факт, что сигнал всегда несет некоторую информацию. Это ведет к проблеме обработки физических аналоговых сигналов – проблеме извлечения информации. Во многих случаях в сигнале, содержащем информацию, присутствует шум, и основной целью является восстановление сигнала. Такие методы, как фильтрация, автокорреляция, свертка и т.д., часто используются для выполнения этой задачи и в аналоговой, и в цифровой областях.
Цифровая фильтрация является одним из наиболее мощных инструментальных средств цифровой обработки сигналов в современных системах управления. Кроме очевидных преимуществ над аналоговыми фильтрами, такими как устранение ошибок в фильтре, связанных с флуктуациями параметров пассивных компонентов во времени и по температуре, дрейфом операционного усилителя (ОУ в активных фильтрах) и т.д., цифровые фильтры способны удовлетворять таким техническим требованиям по своим параметрам, которых, в лучшем случае, было бы чрезвычайно трудно или даже невозможно достичь в аналоговом исполнении. Кроме того, характеристики цифрового фильтра могут быть легко изменены программно. Поэтому они широко используются в телекоммуникациях, в приложениях адаптивной фильтрации, таких как подавление эха в модемах, подавление шума и распознавание речи. Простейшей задачей применения цифровых фильтров является выделение (подавление) одной априорно заданной полосы частот; в зависимости от того, какие частоты подавляются, а какие - нет, различают фильтр нижних частот (ФНЧ), фильтр верхних частот (ФВЧ), полосовой фильтр (ПФ) и режекторный фильтр (РФ).
В случае цифровой фильтрации аналоговый сигнал преобразуется в двоичную форму аналого-цифровым преобразователем (АЦП). На выходе АЦП получается двоичное представление аналогового сигнала, которое затем обрабатывается арифметически цифровым сигнальным процессором (Digital Signal Processor – DSP). После обработки содержащаяся в сигнале информация может быть преобразована обратно в аналоговую форму с использованием цифро-аналогового преобразователя (ЦАП).
Цифровой фильтр, работающий в реальном масштабе времени, оперирует с дискретными по времени данными в противоположность непрерывному сигналу, обрабатываемому аналоговым фильтром. При этом очередной отсчет, соответствующий отклику фильтра, формируется по окончании каждого периода дискретизации. Вследствие дискретной природы обрабатываемого сигнала, на отсчеты данных зачастую ссылаются по их номерам, например, отсчет 1, отсчет 2, отсчет 3 и т.д. На рис. 2.1 представлен низкочастотный сигнал, содержащий высокочастотный шум, который должен быть отфильтрован. Вначале сигнал должен быть оцифрован с помощью АЦП для получения выборки x(n). Далее эта выборка поступает на цифровой фильтр, который в данном случае является ФНЧ. Отсчеты выходных данных y(n) используются для восстановления аналогового сигнала с применением ЦАП.
Тем не менее, цифровые фильтры не могут являться решением всех возможных задач фильтрации, возникающих при обработке сигналов. Для работы в реальном масштабе времени, DSP-процессор должен быть рассчитан на выполнение всех шагов в программе фильтрации (включая все дополнительные операции) в пределах промежутка времени, соответствующего одному такту дискретизации, т. е. 1/fs, где fs – частота
Рис. 2.1. Пример цифровой фильтрации
Аналоговый фильтр Цифровой фильтр
Фильтр Чебышева 1 рода 6 по- КИО-фильтр 129 коэффициентов,
рядка, неравномерность 0,5 дБ неравномерность 0,002 дБ, fs=10 кГц
дБ дБ
Рис. 2.2. АЧХ аналогового и цифрового фильтров
дискретизации входного сигнала. Высокопроизводительный универсальный DSP-процессор с фиксированной точкой типа ADSP-2189M, обладающий быстродействием 75 миллионов операций в секунду (MIPS), способен выполнить операцию умножения с накоплением при реализации одного каскада фильтра за 13,3 нс. DSP-процессор ADSP-2189M затрачивает N+5 инструкций при реализации фильтра с количеством каскадов N. Для 100-каскадного фильтра полное время вычисления составляет приблизительно 1,4 мкс. Это соответствует максимально возможной частоте дискретизации 714 кГц, ограничивая, таким образом, ширину полосы частот обрабатываемого сигнала несколькими сотнями килогерц [3].
Более того, с ростом частоты, сигналы выходят за рамки возможностей доступных АЦП, и цифровая фильтрация становится невозможной. Но на крайне высоких частотах и активная аналоговая фильтрация тоже невозможна из-за ограничений, связанных с полосой пропускания и искажениями ОУ, и в этих случаях требования фильтрации удовлетворяются пассивными элементами. Дальнейшее описание будет сфокусировано, в первую очередь, на фильтрах, которые могут работать в реальном масштабе времени и могут быть программно реализованы с использованием DSP.
Ниже рассмотрен пример сравнения аналогового и цифрового фильтров с амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ), показанными на рис. 2.2. Частота среза обоих фильтров равна 1 кГц. Аналоговый фильтр реализован в виде фильтра Чебышева первого рода 6 порядка (характеризуется неравномерностью коэффициента передачи в полосе пропускания и равномерностью коэффициента передачи вне полосы пропускания). На практике этот фильтр может быть собран на трех фильтрах второго порядка, каждый из которых состоит из операционного усилителя и нескольких резисторов и конденсаторов. Проектирование фильтра 6 порядка является непростой задачей, а удовлетворение техническим требованиям по неравномерности характеристики в 0,5 дБ требует точного подбора компонентов. С другой стороны, представленный цифровой фильтр с конечным импульсным откликом (КИО) имеет неравномерность характеристики всего 0,002 дБ в полосе пропускания, линейную фазовую характеристику и значительно более крутой спад частотной характеристики. Таких показателей невозможно достичь аналоговыми методами! На практике существует много других факторов, учитываемых при сравнительной оценке аналоговых и цифровых фильтров. В большинстве современных систем управления используются комбинации аналоговых и цифровых методов для реализации желаемых функций и используются преимущества всех методов, как аналоговых, так и цифровых.
Цифровой фильтр - линейная импульсная система, обеспечивающая преобразование цифрового сигнала в соответствии с некоторой предопределенной АЧХ или амплитудно-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ).
Рассмотрим особенности цифровой фильтрации, которые должны учитываться в архитектуре специализированных процессоров DSP. Цифровая фильтрация выполняется в соответствии с выражением (1.3):
. Отсюда:
, (2.1) следовательно,
, (2.2) найдем передаточную функцию:
. (2.3) Умножение на
в комплексной области эквивалентно запаздыванию на один такт во временной, т.е. процессоры должны иметь соответствующую память для хранения данных массивов 
и 
на последних 
и 
шагах.В ходе вычислений используются два массива постоянных коэффициентов, которые также должны храниться в памяти.
Для определения последнего значения последовательности
необходимо разрешить выражение (1.3) относительно :
. (2.4) Содержимое хранящихся в памяти массивов
и на каждом шаге работы устройства должно сдвигаться на один элемент, это долгая процедура, поэтому а практике используются кольцевые буфера. После -го элемента идет первый. Элементы массива записываются по кругу и каждый новый записывается на место выбывшего.Синтез цифрового фильтра заключается в определении значений коэффициентов передаточной функции (2.3), применение которых обеспечивает системе обладание требуемыми свойствами.
Существуют следующие типы цифровых фильтров (см. рис 2.3):
фильтр с конечным импульсным откликом (КИО);
фильтр с бесконечным импульсным откликом (БИО);
адаптивные фильтры.
Рис. 2.3. Типы цифровых фильтров и их краткие характеристики
Сводная таблица характеристик КИО- и БИО-фильтров представлена ниже.
Таблица 2.1.
Сравнение КИО- и БИО-фильтров
| БИО-фильтры | КИО-фильтры |
| Более эффективны | Менее эффективны |
| Есть аналоговый эквивалент | Нет аналогового эквивалента |
| Могут быть не устойчивы | Всегда устойчивы |
| Нелинейная фазовая характеристика | Линейная фазовая характеристика |
| Наличие накапливаемой ошибки | Отсутствие накапливаемой ошибки |
| Доступны средства САПР | Доступны средства САПР |
2.2 Простейшие примеры цифровых фильтров
Простейшим примером КИО-фильтра является усреднитель, который позволяет отделить низкочастотный цифровой сигнал от высокочастотной помехи и является простейшим фильтром нижних частот:
. (2.5) Если на вход усреднителя подать единичную ступеньку:
, (2.6)то получим на выходе:
;
;…
;
.Если
, то 
,следовательно, передаточная функция имеет вид:
.
АЧХ системы описывается формулой:
.В общем случае уравнение КИО-фильтра имеет вид:
. (2.7)Найдем импульсную переходную характеристику для КИО-фильтра. Для этого на вход фильтра подадим –функцию:
. (2.8)В этом случае получаем на выходе фильтра:
;
;…
;
.Таким образом, получаем:
импульсный отклик конечен;
импульсная переходная характеристика совпадает с коэффициентами фильтра.
Простейшим примером БИО-фильтра является цифровой вариант инерционного звена, который также является простейшим фильтром нижних частот и описывается передаточной функцией:
. (2.9)Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид:
. (2.10)От дифференциального уравнения перейдем к разностному путем замены производной приближенной формулой ее вычисления через разделенную разность 1-го порядка:
.Отсюда
,
,
.Принципиальным отличием БИО-фильтров от КИО-фильтров является наличие
в правой части уравнения.В общем виде уравнение БИО-фильтра имеет вид:
. (2.11)Найдем импульсную переходную характеристику для БИО-фильтра. Для этого на вход фильтра подадим –функцию (2.8).
В этом случае получаем на выходе фильтра:
;
;…
;
.Теоретически переходная импульсная характеристика до бесконечности не равна нулю.