скачать doc
Лекция 1 АКБ. Основы теории цифровых систем
Литература, организация курса.
Содержание ЦОС:
живем в мире аналоговых сигналов, а обрабатываем их цифровыми устройствами (аудиопример; стандартная организация цифровой системы, рис. 1.1);
иерархическая организация системы ЦОИ (рис. 1.2);
понятие ЦОС.
История развития.
Применение.
Основы теории цифровых систем:
исходные положения теории управления:
понятие линейной системы;
преобразование Лапласа и Фурье;
передаточная функция;
временные характеристики;
частотные характеристики;
понятие устойчивости;
понятия квантования по уровню и дискретизации по времени;
теорема Котельникова;
ЦАП и АЦП;
численное дифференцирование;
дискретное преобразование Фурье.
Преимущества.
Типовые структурные схемы и типы преобразований.
Содержание ЦОС
живем в мире аналоговых сигналов, а обрабатываем их цифровыми устройствами (аудиопример; стандартная организация цифровой системы, рис. 1.1);
иерархическая организация системы ЦОИ (рис. 1.2);
понятие ЦОС.
При реализации систем управления все шире используются цифровые вычислительные машины (ЦВМ), и поэтому необходимо иметь представление о возможностях и особенностях цифровых систем управления. Последние можно рассматривать как аппроксимацию непрерывных систем, хотя при этом заведомо сужаются потенциальные возможности автоматизированного управления. В лучшем случае такой подход дает результаты не хуже достигнутых при непрерывном управлении. Только глубокое изучение цифровых систем управления позволяет полностью использовать их возможности.
Цифровая система управления схематично изображена на рис. 1.1. Объект управления имеет на выходе непрерывный сигнал
, который преобразуется в цифровую форму аналого-цифровым преобразователем (АЦП). В зависимости от желания исследователя АЦП может рассматриваться либо как отдельное устройство, либо как составная часть ЦВМ. Преобразование осуществляется в моменты квантования 
. Преобразованный сигнал 
интерпретируется вычислительной машиной как последовательность чисел; она производит изменения по некоторому алгоритму и вырабатывает новую последовательность чисел 
. Полученная последовательность преобразуется в непрерывный сигнал цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП). Заметим, что система между ЦАП- и АЦП разомкнута.Работа синхронизируется в компьютере таймером реального времени. ЦВМ функционирует последовательно; каждая операция занимает определенное время, но на выходе ЦАП должен иметь непрерывный по времени сигнал. Обычно это достигается путем сохранения постоянного уровня управляющего сигнала между преобразованиями. Цифровые системы управления содержат как непрерывные, так и квантованные, или дискретные по времени сигналы. Такие системы традиционно называют дискретными системами.
При наличии сигналов различного типа описание поведения системы может вызывать затруднения. Однако часто можно ограничиться описанием поведения системы в моменты квантования. В этом случае сигналы выделяются только в дискретные моменты времени. Такие системы, называемые системами дискретного времени, оперируют с последовательностями чисел, и, следовательно, для их описания естественно использовать разностные уравнения.
Первые попытки использования вычислительных машин в качестве компонентов систем управления были предприняты в начале 50-х годов с целью удовлетворения нужд ракетной и авиационной техники. Однако ЭВМ общего назначения того времени оказались для этих целей непригодными: они были слишком громоздкими, слишком энергоемкими и недостаточно надежными. В связи с этим были созданы специализированные вычислительные машины – цифровые дифференциальные анализаторы.
В настоящее время автоматизированное управление широко используется а промышленности, в частности для управления производственными процессами (рис. 1.2).
Идея применения ЭВМ для управления технологическими процессами возникла в середине 50-х годов. Первая серьезная работа в этой области относится к марту 1956 г., когда аэрокосмическая компания Thomson Ramo Woolridge (TRW) и фирма Техасo договорились о совместном исследовании возможности использования ЭВМ для управления производственными процессами. После предварительных обсуждений было принято решение об исследовании полимеризационного агрегата нефтеперегонного завода в г. Порт-Артур (шт. Техас). Группа инженеров из TRW и Техасo провела тщательное обследование объекта, потребовавшее около 30 человеко-лет. В результате была разработана и введена в эксплуатацию система автоматизированного управления полимеризационным агрегатом на базе ЭВМ RW-300. Система контролировала 26 материальных потоков, температуру в 72 точках, давление в трех точках и химический состав трех смесей. Ее основными функциями были: минимизация давления в реакторе, установление оптимального режима на выходе пяти реакторов, управление подачей горячей воды в зависимости от каталитической активности и поддержание оптимальной рециркуляции.
Новаторская работа фирмы TRW открывала широкие возможности для производителей ЭВМ — потенциальный рынок для сбыта продукции. Это в свою очередь стимулировало многочисленные исследования возможности использования ЭВМ в процессах управления, результаты которых представлены на рис. 1.2.
Процесс внедрения ЦВМ в системы управления условно можно разбить на четыре этапа:
начальный этап (c 1955);
этап прямого цифрового управления (c 1962);
этап мини-компьютерной техники (c 1967);
этап микропроцессорной техники (c 1972).
Процесс внедрения ЦВМ в системы управления
| №№ п/п | Название | Период | время сложения | время умножения | среднее время наработки на отказ (MTBF- Mean Time Between Failures) | Количество входных данных | Функции и проблемы | Количество | Стоимость |
| | начальный этап | c 1955 | 1 мс (1958) | 20 мс (1958) | 50—100 ч. (2-4 суток) (1958) | контролировала 26 материальных потоков, температуру в 72 точках, давление в трех точках и химический состав трех смесей | управление через оператора и управление по контрольным точкам Построение моделей процессов, идентификация систем. | К марту 1967 г. - 37, а через год – 159. | |
| | этап прямого цифрового управления | c 1962 | 100 мкс (1962) | 1 мс (1962) | 1000 ч. (40 суток) (1962) | измеряла 224 параметра и непосредственно контролировала 129 вентилей, | функции системы остались прежними. | | |
| | этап мини-компьютерной техники | c 1967 | 2 мкс | 7 мкс | 20 тыс. ч. | длину слова 16 бит (первичная память составляла 8—124 К слов, а в качестве вторичной памяти обычно использовался накопитель на магнитном диске); | | 5000 -1970 г., 50000 - 1975г. | 10000 долл., т. е. даже небольшая система управления редко стоила меньше 100 тыс. долл. |
| | этап микропроцессорной техники | c 1972 | | | | | | | одноплатной ЭВМ (с возможностями мини-компьютера 1975 г.) в 1980 г. упала до 500 долл. и модуль -50 долл. за изделие. |
| | | | | | Блоки 10-30 лет, наименее надежные – клавиатуры, оцениваются по числу нажатий | | | | |
Начальный этап
Работа, выполненная фирмами TRW и Техасо, вызвала существенный интерес среди производителей вычислительной техники и исследовательских организаций: использование ЭВМ в системах управления означало для электронной промышленности появление нового рынка сбыта для своей продукции, для университетов—новую область исследований. Производители вычислительных машин, стремясь понять, что должен представлять собой компьютер, предназначенный для управления технологическими процессами, стали инициаторами специальных исследований. Процесс исследования возможностей ЭВМ продолжался все 60-е годы.
Вычислительные системы того времени имели низкое быстродействие, были дорогими и ненадежными. Они строились на вакуумных лампах. Вычислительная машина 1958 г. имела следующие параметры: время сложения 1 мс, умножения 20 мс, среднее время наработки на отказ (MTBF- Mean Time Between Failures) 50—100 ч. Для более полного использования дорогих машин последние должны были выполнять множество заданий. Из-за ненадежности вычислительных машин они осуществляли управление объектом, лишь печатая инструкции оператору или изменяя контрольные точки аналогового регулятора. Такие режимы управления получили название управление через оператора и управление по контрольным точкам.
К основным задачам, решаемым на ЭВМ этого периода, относились: определение оптимального режима функционирования; диспетчеризация и планирование производства; выдача справок о произведенной продукции и расходе сырья. При этом определение наилучших условий функционирования рассматривалось как статическая оптимизационная задача, для постановки и решения которой были необходимы математические модели рассматриваемых процессов. Достаточно полные модели строились на основе физических моделей и статистической обработки измеряемых данных. Делались также попытки оптимизации в реальном масштабе времени.
Прогресс внедрения ЦВМ в системы управления часто тормозился из-за неполного знания процесса управления. Кроме того, стало ясно, что статическая постановка оптимизационных задач неадекватна реальности—требовались динамические модели. В связи с этим значительная часть усилий исследователей была направлена на построение моделей процессов, что отнимало массу времени из-за отсутствия хорошей методологии. Это в свою очередь стимулировало разработку методов идентификации систем.
В ходе исследований был накоплен огромный опыт. Стало очевидным, что управление процессами предъявляет специфические требования к вычислительным машинам. Так, необходимость быстро реагировать на запросы объекта управления привела к развитию системы прерываний — специального оборудования, позволяющего внешнему событию прерывать текущую работу ЭВМ для обслуживания более неотложного задания. Вместе с тем ощущалась нехватка многих необходимых датчиков, и существовали определенные трудности с внедрением новой технологии в ряде отраслей промышленности.
Достижения в области автоматизации управления подробно обсуждались на конференциях, симпозиумах и на страницах журналов. В журнале Control Engineering была опубликована серия статей, посвященная применению вычислительных машин для управления технологическими процессами. К марту 1967 г. было внедрено 37 систем автоматизированного управления производственными процессами (прокатными станами, химическими процессами, энергетикой), а через год их число возросло до 159.
Прямое цифровое управление
Первые управляющие ЭЦВМ работали в режиме косвенного управления либо через оператора, либо по контрольным точкам. В обоих случаях для реализации управления требовалось традиционное аналоговое оборудование. В 1962 г. было положено начало новой эры в управлении технологическими процессами: английская фирма Imperial Chemical Industries (ICI) заменила все аналоговое оборудование для управления процессом одним компьютером Ferranti Argus. Вычислительная машина измеряла 224 параметра и непосредственно контролировала 129 вентилей, при этом функции системы остались прежними. Чтобы подчеркнуть, что компьютер сам управляет объектом, был введен термин прямое цифровое управление (ПЦУ). В 1962 г. типичной управляющей вычислительной машине требовалось 100 мкс на сложение двух чисел и 1 мс на их умножение. Время наработки на отказ составляло около 1000 ч.
Основным критерием оценки системы управления стала стоимость, которая росла пропорционально числу контуров управления. Хотя начальная цена ЭВМ была велика, стоимость новых и дополнительных контуров была незначительна, и, таким образом, «удельная» цена цифровых систем управления падала при увеличении их размеров. Одним из преимуществ таких систем являлось радикальное изменение связи с оператором— вместо нагромождения аналоговых приборов появилась операторская панель управления вычислительной машины; панель системы, созданной фирмой ICI, представляла собой цифровой дисплей и несколько кнопок.
Другим преимуществом цифровых систем была гибкость: если изменение аналоговых систем управления осуществлялось перекомпоновкой звеньев, то цифровых систем—перепрограммированием. Цифровая техника имела и другие преимущества. Стало возможным простое взаимодействие между несколькими контурами управления, параметры которых изменялись в зависимости от условий работы. Программирование упрощалось за счет использования специальных языков управления. Пользователю такой системы не нужно было разбираться в программировании—ему следовало только занести входы, выходы, типы регулирования, масштабные коэффициенты и параметры регуляторов в таблицы. Поэтому для него система выглядела как объединение обычных регуляторов. Однако при эксплуатации таких систем возникала проблема осуществления непредусмотренных стратегий управления, что, естественно, тормозило создание систем управления.
Развитие цифровых систем управления шло главным образом в направлении прямого цифрового управления, при этом основное внимание уделялось реализации активного управления в отличие от пассивного слежения за состоянием процесса в системах первых поколений. Значительный шаг вперед был сделан в период 1963—1965 гг. Пользователи и проектировщики совместно выработали технические требования к системам ПЦУ. Наряду с ключевой проблемой надежности обсуждались вопросы, связанные с выбором периода квантования и управляющих алгоритмов. Концепция ПЦУ быстро завоевала признание, несмотря на то, что эти системы часто оказывались значительно дороже соответствующих аналоговых систем управления.
Период мини-компьютерной техники
В 60-е годы отмечалось интенсивное развитие цифровой вычислительной техники. Требования к управляющей вычислительной машине росли параллельно с прогрессом в технологии производства интегральных схем. Компьютеры стали меньше, производительней, надежнее, дешевле. ЭВМ этого поколения получили название мини-компьютер. На их основе стало возможным создавать эффективные цифровые системы управления.
Достижения в области мини-компьютерной техники в сочетании со знаниями об управлении технологическими процессами с помощью ЭВМ, накопленными в начальный период и период прямого цифрового управления, позволили расширить сферу применения цифровых систем. Ряд фирм стали выпускать специализированные управляющие компьютеры. Типичная управляющая ЭВМ этого периода имела длину слова 16 бит (первичная память составляла 8—124 К слов, а в качестве вторичной памяти обычно использовался накопитель на магнитном диске); типичный компьютер (CDC 1700) имел время сложения 2 мкс и время умножения 7 мкс. Время безотказной работы процессора составляло около 20 тыс. ч.
Важным фактором, благодаря которому стало возможным быстрое распространение цифрового управления, явилась миниатюризация ЭВМ. Появилась возможность использовать компьютерное управление для управления небольшими объектами и решения локальных проблем. В результате появления мини-компьютеров количество ЭВМ, используемых для управления процессами производства, выросло с 5000 в 1970 г. до 50000 в 1975г.
Микрокомпьютеры
Мини-компьютер представлял собой довольно-таки большую систему, поэтому, несмотря на расширение возможностей и снижение цен, стоимость его в базовой конфигурации оставалась около 10000 долл., т. е. даже небольшая система управления редко стоила меньше 100 тыс. долл. Реализация цифрового управления все еще вызывала существенные затруднения. С развитием микрокомпьютеров цена одноплатной ЭВМ (с возможностями мини-компьютера 1975 г.) в 1980 г. упала до 500 долл. и вычислительные мощности стало возможно наращивать модулями, стоимостью, не превышающей 50 долл. за изделие. Это означало, что цифровое управление в принципе могло быть реализовано в любом объекте независимо от его масштабов.
Микро-ЭВМ дали толчок совершенствованию управляющего оборудования: они заменяют аналоговые регуляторы даже в одноконтурных системах управления. Появились небольшие микропроцессорные системы цифрового управления; связь с оператором в этих системах значительно улучшилась после появления цветных графических видеодисплеев. Сконструированы иерархические системы управления с большим количеством микропроцессоров и спроектированы регуляторы специального назначения на базе микро-ЭВМ.
Перспективы
Прогресс автоматизированного управления производственными процессами определяют четыре фактора:
• знание об объекте управления и динамике процесса;
• технология измерений;
• вычислительная техника;
• теория управления.
Знания об объекте управления и динамике процесса накапливаются медленно. Возможности изучения характеристик объекта управления существенно возрастают с внедрением систем управления, так как при этом упрощается сбор данных, проведение 'экспериментов и анализ результатов. Прогресс в идентификации систем и анализе данных способствует получению ценной информации.
Технология измерений на современном уровне позволяет сочетать выходы нескольких различных датчиков и математических моделей. Кроме того, возможна реализация автоматической настройки параметров. (Заметим, что создание новых измерительных приборов всегда таит в себе новые возможности.)
С появлением СБИС открывается захватывающая перспектива развития вычислительной техники. Ожидается значительное понижение отношения стоимости к возможностям ЭВМ, увеличение производительности микрокомпьютеров и существенное улучшение дисплейной техники и средств связи.
Одним из узких мест теории управления до сих пор является программирование. За период 1950—1970 гг. удалось добиться лишь частичного улучшения его продуктивности. В конце 70-х годов многие цифровые системы управления все еще программировались на ассемблере. В области автоматизированного управления преодоление указанных трудностей осуществлялось, как правило, за счет использования таблично-управляемого математического обеспечения. Пользователь систем прямого цифрового управления снабжался так называемым пакетом ПЦУ, что существенно упрощало генерирование системы—для этого пользователю было достаточно заполнить таблицу; в результате создание системы требовало незначительных усилий.
Заметный прогресс теории управления начался с 1955 г., однако ее вклад в существующие цифровые системы управления был незначителен. Одной из причин этого являлась стоимость программирования.
Итак, многие факторы свидетельствуют о том, что наметились интересные тенденции в области развития цифровых систем управления. Один из возможных способов подготовиться к этому—тщательно изучить материал, изложенный в данной книге.
Принципиальная схема цифровой системы управления показана на рис. 1.1. Система содержит пять блоков: объект управления, аналого-цифровой и цифро-аналоговый преобразователи, управляющий алгоритм и таймер. Момент времени, в который измеряемый сигнал преобразуется в цифровую форму, называется моментом квантования; промежуток времени между двумя последовательными моментами квантования—периодом квантования и обозначается буквой h. Обычно применяется периодическое квантование, хотя существуют и другие способы. Например, можно осуществлять квантование при изменении выходных сигналов на определенную величину. Допустимо также использование разных периодов квантования для различных цепей в системе; так называемое многочастотное квантование.
Единственное отличие цифровой системы управления от простой непрерывной системы с обратной связью состоит в том, что в первом случае управление реализуется с помощью цифровой вычислительной машины, следовательно, налицо большее разнообразие законов управления. Например, в регуляторе нетрудно использовать нелинейные операции, включить логику и выполнять сложные вычисления. Для сбора информации о свойствах системы можно использовать таблицы.
Необходимость теории цифровых систем
Хорошая теория позволяет уяснить принцип действия системы аналогичной изображенной на рис. 1.1, и принцип ее создания Очевидно, что если период квантования достаточно мал, то дискретная система должна вести себя как непрерывная. Тогда возникает вопрос о целесообразности создания специальной теории цифровых систем управления. Однако, как следует из приводимых ниже примеров, система, изображенная на рис. 1.1, не может быть полностью объяснена в рамках теории стационарных линейных систем, даже если объект управления представляет собой линейную стационарную непрерывную систему.
Пример 1.1. Временная зависимость
Предположим, что требуется реализовать компенсатор, который является просто звеном линейного запаздывания. Такой компенсатор может быть выполнен с использованием аналого-цифрового преобразования, ЭВМ и цифро-аналогового преобразования. Дифференциальное уравнение первого порядка аппроксимируется разностным уравнением первого порядка. Реакция на ступенчатое воздействие рассматриваемой системы показана на рис. 1.3. Очевидно что дискретная система не инвариантна по времени, поскольку ее реакции зависит от момента подачи ступенчатого воздействия. При запаздывании входного сигнала выходной сигнал задерживается на ту же величину, но при условии, что время запаздывания кратно периоду квантования.
Наблюдаемое явление (рис. 1.3) обусловлено тем, что система управляется таймером (ср. с рис. 1.1). Реакция системы на внешнее воздействие зависит от того, как оно синхронизировано с таймером вычислительной системы.
Цифровая система управления с периодическим квантованием называется периодической системой. Эффекты периодичности можно свести к минимуму, выбрав достаточно высокую частоту квантования. Для полного понимания работы дискретных систем необходимо учитывать их периодическую природу. Проиллюстрируем это с помощью следующего примера.
Пример 1.2. Высшие гармоники
Хорошо известно, что синусоидальный сигнал на входе линейной, стационарной, непрерывной системы после переходного процесса дает на выходе синусоиду той же частоты. На рис. 1.4 показано, что происходит, когда цифровая система управления подвергается периодическому воздействию (к сн-
стеме, изображенной на рис. 1.1, приложен синусоидальный сигнал с частотой
4 9 Гц)
Очевидно, что наблюдаемое явление (рис. 1.4) не может быть объяснено в рамках теории линейных стационарных систем: колебания на выходе цифровой системы управления — следствие взаимного влияния частоты на входе и более высокой частоты, генерируемой в процессе квантования.
В задаче синтеза оптимального управления (проектирования закона управления) можно вначале применить теорию непрерывного управления, а затем непрерывное управление аппроксимировать дискретным процессом.
Пример 1.3. Дискретная аппроксимация
Двойной интегратор легко управляется обратной связью по состоянию. Непосредственный путь ее реализации — вычисление коэффициента усиления звена обратной связи методами теории непрерывного управления с последующей дискретной аппроксимацией. По-видимому, при достаточно малом периоде квантования цифровое управление будет иметь те же свойства и будет пригодным для любых практических целей в той же мере, как и непрерывное В том что это действительно так, нетрудно убедиться с помощью рис. 1.5. Согласование с непрерывным регулятором может улучшиться при уменьшении периода квантования.
Результаты примера 1.3 казалось бы свидетельствуют об отсутствии какой-либо необходимости в теории дискретных систем. Однако это не так, поскольку цифровые системы управления на самом деле могут функционировать лучше, чем их непрерывные аналоги.
Пример 1.4. Апериодическое управление
Рассмотрим двойной интегратор из примера 1.3. На рис. 1.6 показан результат применения обратной связи, управляемой ЭВМ с особой линейной
стратегией, как и стратегия управления в примере 1.3, т.е. линейная обратная связь по дискретным значениям состояния, но коэффициенты обратной связи и период квантования другие. Такая стратегия управления называется апериодическим управлением.
Сравнение рис. 1.5 и 1.6 показывает, что система, изображенная на рис. 1.6, переходит в установившийся режим быстрее, чем непрерывная система, даже если максимальное значение управляющего сигнала одинаково в обоих случаях. На самом деле величина скорости для системы, представленной на рис. 1.6, выше. У дискретной системы, кроме того, отсутствует перерегулирование. Следует также отметить, что сигналы достигают постоянного значения за конечное время, что невозможно в случае непрерывных систем, где сигналы есть сумма функций, являющихся в свою очередь композицией полиномиальных и экспоненциальных функций. Кроме того, период
квантования (рис. 1.6) в пять раз больше, чем период квантования, используемый при аппроксимации непрерывной системы управления, изображенной на рис. 1.5.
Приведенный пример показывает, что даже в линейном случае возможно нечто лучшее, чем просто аппроксимация непрерывного регулятора.
1.3. СИСТЕМЫ С КВАНТОВАНИЕМ
Дискретные модели представляют собой естественный способ описания многих явлений, поэтому теория дискретных систем применяется не только в цифровом управлении.
Дискретные системы как модели алгоритмов для ЭВМ
Алгоритмы в ЭВМ могут быть представлены как дискретные процессы. Это иллюстрируется итеративным алгоритмом и системой реального времени.
Пример 1.5. Итеративное решение
Итеративные алгоритмы представляют собой пример систем, которым присуще квантование. Предположим, что ищется решение уравнения вида
х – f(х) = 0.
Один из способов нахождения решения состоит в задании начального приближения и последующего применения алгоритма Пикара, т.е. в использование итерации.
x(k+1)=f[x(k)],
где x(k)— значение на k-й итерации. Таким образом, численный алгоритм можно интерпретировать как дискретную систему, у которой время — номер итераций.
Предположим, в частности, что
. В этом случае легко показать, что 
. Последовательность чисел, приведенная на рис. 1.7, получена при выборе начального приближения х(0) = 0.Пример 1.6. Алгоритм управления
Простейшим алгоритмом для пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора является следующий. Программа выполняется планировщиком в каждый период квантования, как показано на рис. 1.8, и эквивалентна следующим разностным уравнениям!
е (k) = uc (k) - у (k),
u(k)=k[e{k)+i(k- 1)],
i(k)=i(k-1)+he(k)/ti.
Квантование, обусловленное системой измерений
Во многих случаях квантование порождается самой процедурой измерения.
Пример 1.7. Радар
При вращении антенны радара информация о дальности и направлении поступает за один оборот антенны. Модель с квантованием, таким образом, является естественным способом описания работы радара. (Попытки описания радарной системы были одной из отправных точек теории дискретных систем.)
Пример 1.8. Аналитические приборы
В системах управления технологическими процессами многие параметры не могут быть измерены непосредственно; в результате образец продукта анализируется «на стороне» с помощью аналитических приборов, например масс-спектрографа или хроматографа.
Пример 1.9. Экономические системы
Отчетные операции в экономических системах часто привязываются к календарю. Хотя сделки совершаются в любое время, информация по важнейшим статьям выдается только за конкретный период, например за день, неделю, месяц, квартал или год.
Квантование, обусловленное импульсной операцией
Многим системам изначально присуще квантование, так как информация в них передается импульсами.
Пример 1.10. Тиристорное управление
Электронные устройства, использующие тиристоры, — системы с квантованием. Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 1.9. Ток протекает в ней
только в том случае, когда напряжение положительно. Следовательно, ток синхронизирован с периодом источника питания.
Пример 1.11. Биологические системы
Биологические системы также в основном дискретные, так как передача сигналов в нервной системе осуществляется в форме импульсов.
Пример 1.12. Двигатели внутреннего сгорания
Двигатель внутреннего сгорания — система с квантованием; зажигание можно рассматривать как таймер, синхронизирующий работу двигателя. В каждый момент зажигания создается импульс крутящего момента.
В приведенных выше примерах все системы периодические вследствие импульсного характера своей работы. Управление такими системами достаточно сложное, но оно существенно упрощается, если дискретные модели рассматривать только в момент пульсации. Процессы, таким образом, могут быть представлены в моменты квантования как стационарные, дискретные системы (примеры 1.10 и 1.12).
1.4. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ
Хотя основные приложения теории дискретных систем связаны с цифровым управлением, многие ее задачи возникли довольно давно. Рассмотрим некоторые основные идеи, сформировавшиеся в процессе развития теории.
Теорема о квантовании (теорема Котельникова)
Все цифровые системы управления оперируют со значениями параметров процесса только в дискретные моменты времени, поэтому важно знать условия, при которых непрерывный сигнал может быть полностью восстановлен по дискретным выборкам. Фундаментальный результат был получен Найквистом, который показал, что для восстановления синусоидального сигнала его необходимо квантовать по крайней мере дважды за период [6].
Разностные уравнения
Первые зачатки теории цифровых систем управления с квантованием явились результатом анализа особых систем управления, и в частности поведения гальванометра с падающей дужкой [4]. Было показано, что многие свойства объекта можно понять, анализируя линейное, стационарное разностное уравнение. Разностное уравнение здесь заменяет дифференциальное уравнение для непрерывных систем. Например, устойчивость систем может быть исследована методом Шура — Коха, эквивалентным критерию Рауса—Гурвица.
Методы преобразования
Во время и после второй мировой войны большое внимание уделялось анализу радарных систем. Такие системы являются дискретными, так как каждое измерение положения цели производится за один оборот антенны. Естественным следствием эффективности применения методов преобразования для анализа непрерывных систем явилась попытка построить аналогичный аппарат для дискретных систем. Первый шаг в этом направлении был сделан автором работы [5], который ввел преобразование последовательности {f(kh)}, определяемое как
Это преобразование, подобное производящей функции, успешно используемой во многих отраслях прикладной математики, впоследствии было названо г-преобразованием [11]. Теория преобразования независимо развивалась в Советском Союзе, Соединенных Штатах и Великобритании. Я. 3. Цыпкин назвал его дискретным преобразованием Лапласа и на его основе создал строгую теорию импульсных систем управления. Метод z-преобразования был также независимо предложен в Англии Баркером [8].
Дальнейшее развитие теория преобразования (методы анализа и проектирования дискретных систем) получила в докторской диссертации Джури (Колумбийский университет, США), который установил, что дискретные системы могут функционировать лучше, чем соответствующие им непрерывные (см. пример 1.4), и что можно создать замкнутую систему, достигающую установившегося состояния за конечное время. В более поздних работах он показал, что квантование может вызвать компенсацию полюсов и нулей. Тщательное исследование этого свойства в дальнейшем послужило толчком к развитию понятий наблюдаемости и достижимости.
Теория z-преобразования приводит к сравнительно простым результатам, но она описывает систему только в моменты квантования. Между тем поведение системы между моментами квантования представляет не только академический интерес, поскольку было обнаружено, что в ней могут появиться скрытые колебания. Эти колебания не фиксируются в моменты квантования, но очень заметны между ними.
Иной подход к развитию теории дискретных систем был предпринят Линвиллом [10]. Следуя идеям Маккола [З], он рассматривал квантование как амплитудную модуляцию и, используя описывающие функции, смог дать характеристику поведения системы между моментами квантования.
Одним из способов решения проблемы является известное модифицированное z-преобразование, предложенное Цыпкиным [13], Баркером и Джури [12]. Большой вклад в теорию внесла группа ученых, работавшая под руководством Рагаццини (Колумбийский университет, США).
К концу 50-х г. подход на основе z-преобразования стал хрестоматийным [14—17]. Теория дискретных систем, созданная по аналогии с теорией линейных стационарных систем, оказалась удобным средством анализа и синтеза дискретных систем. Требовались лишь некоторые усовершенствования, связанные с зависимостью дискретных систем от времени.
Теория пространства состояний
Данная теория основана на работах таких математиков, как Лефшец, Понтрягин, Беллман. Огромная заслуга в разработке подхода пространства состояний в теории управления принадлежит Калману, который сформулировал основные принципы и нашел решения многих важных задач.
Несколько фундаментальных концепций явились результатом анализа проблемы возможности построения систем, переходящих в установившийся режим за конечное время. Это привело к понятиям достижимости и наблюдаемости. Работа Калмана [22] также способствовала развитию более простого представления задачи анализа дискретных систем: основные уравнения получались интегрированием исходных дифференциальных уравнений при допущении, что управляющий сигнал между моментами квантования постоянен.
Оптимальное и стохастическое управление
В конце 50-х г. Беллман [23] и Понтрягин [25] показали, что многие задачи проектирования могут быть сформулированы как задачи оптимизации. Для нелинейных систем это привело к неклассическому вариационному исчислению. Беллманом и др. [24] было найдено точное решение для линейных систем с квадратичными функциями потерь. В своей знаменитой работе [26] Калман доказал, что линейная квадратичная задача сводится к решению уравнения Риккати. Он также показал, что классическая задача фильтрации Винера может быть переформулирована в рамках теории пространства состояний. Это позволило добиться «решения» с помощью рекурсивных уравнений, очень удобных для решения на ЭВМ.
В начале 60-х г. стохастическая вариационная задача была сформулирована исходя из предположения, что возмущения являются случайными процессами. Задачу оптимального управления для линейных систем смогли сформулировать и решить для случая квадратичных потерь. Это привело к развитию теории стохастического управления. В результате возникла теория оптимального управления системами с квадратичным критерием качества, которая сейчас является основным средством проектирования многомерных линейных систем.
Алгебраическая теория систем
В конце 60-х—начале 70-х годов были пересмотрены фундаментальные проблемы теории линейных систем. В результате был восстановлен алгебраический характер задач, что привело к более глубокому пониманию основ теории линейных систем и позволило создать технику вычислений, использующую полиномиальные методы, для решения специальных задач [27—31].
Идентификация систем
Потребность в эффективных средствах моделирования стала очевидной уже при первых попытках применить теорию на практике. Это стимулировало множество исследований в области способов построения моделей, непосредственно использующих информацию от объекта управления, что в свою очередь привело к разработке большого количества алгоритмов [32, 33].
Адаптивное управление
Появление цифрового управления позволило реализовать более сложные алгоритмы, что возродило интерес к адаптивному управлению. В 70-х г. был достигнут определенный прогресс в развитии как численных алгоритмов, так и самой теории. Жизнеспособность адаптивного управления была также продемонстрирована в исследованиях принципиальных возможностей использования ЭЦВМ для целей управления [35—37].
4. Основы теории цифровых систем
4.1. Исходные положения теории управления
понятие линейной системы;
Оператор ставит в соответствие функции функцию.
.Оператор
называется линейным, если он удовлетворяет двум определениям (свойствам, аксиомам).
Свойство однородности.
Пусть
,тогда 
, где 
– вещественное число.
Свойство аддитивности.
Пусть
и 
,тогда.Если оператор однороден и аддитивен, то он линейный.
Нелинейность – свойство отсутствия линейности.
Устройство обычно линейно только в каком-то диапазоне.
преобразование Лапласа и Фурье;
Операция получения спектральной функции X(j) аналогового сигнала x(t) и обратная операция получения сигнала x(t) по известной его спектральной функции X(j) производится с помощью пары преобразований Фурье:
, (5.1)
. (5.2)
передаточная функция;
Для стационарных объектов с сосредоточенными параметрами передаточная функция – это дробно-рациональная функция комплексной переменной. Знаменатель передаточной функции — это характеристический полином системы. Полюсы передаточной функции – это корни соответствующего характеристического полинома. В физически реализуемых системах порядок числителя передаточной функции
не может превышать порядка ее знаменателя 
.
временные характеристики;
Импульсная переходная функция является оригиналом (в смысле преобразования Лапласа) для передаточной функции.
частотные характеристики;
Частотные характеристики показывают способность устройства пропускать синусоидальный сигнал по амплитуде и фазе в зависимости от частоты.
понятие устойчивости
Cистема устойчива, если действительные части всех корней
характеристического уравнения отрицательны.
4.2. Понятия квантования по уровню и дискретизации по времени
Для реализации алгоритмов ЦОС входные сигналы должны быть представлены в цифровом виде. Большинство сигналов в природе аналоговые, поэтому они должны предварительно подвергнуться аналогово-цифровому преобразованию, которое состоит из следующих этапов:
сигнал дискретизируется, т.е. аналоговый сигнал преобразуется в дискретный по времени сигнал с непрерывной амплитудой;
амплитуда каждого значения дискретного сигнала квантуется;
дискретные уровни амплитуды представляются или кодируются в виде различных двоичных слов.
Описанный процесс иллюстрируется рис. 2.1. Таким образом, выделяется три основных типа сигнала (аналоговый, дискретный и цифровой) и три основных вида преобразования этих сигналов слева направо (дискретизация, квантование, кодирование).
Основные типы сигнала:
аналоговый входной сигнал непрерывен как по времени, так и по амплитуде;
дискретный сигнал непрерывен по амплитуде, но определен только в дискретных точках времени;
цифровой сигнал существует только в дискретных точках времени и может иметь только одно из заданного конечного множества значений (дискретный во времени сигнал с дискретной амплитудой).
Дискретизация – это определение значений аналогового сигнала в дискретные моменты времени, как правило, отстающие друг от друга на равные интервалы времени.
Квантование сигнала – это преобразование сигнала, непрерывного по уровню в дискретный по уровню сигнал, отображающий исходный сигнал с заранее установленной ошибкой.
4.3 Теорема Котельникова [Прохоров, стр. 66]
Любая непрерывная функция
, спектр которой ограничен сверху 
, может быть восстановлена без погрешности по своим отсчетным значениям 
, взятым с интервалом:
.Функция выражается
через с помощью ряда:
.Устройством, в котором реализуется это вычисление, может служить идеальный фильтр нижних частот с частотой среза
. Такой фильтр обладает АЧХ 
, представленной на рис. _._, и импульсной реакцией вида 
.4.4 Аналогово-цифровые преобразователи (АЦП) и цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП).
Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) – устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал). Обратное преобразование осуществляется при помощи ЦАП (цифро-аналогового преобразователя).
Как правило, АЦП – электронное устройство, преобразующее напряжение в двоичное цифровой код. Тем не менее, некоторые неэлектронные устройства, такие как преобразователь «угол-код», следует также относить к АЦП.