скачать doc
3.фильтры с конечным импульсным откликом
(КИО-фильтры, FIR-фильтры (Finite Impulse Response Filter))
3.1.Структурная схема КИО-фильтра
КИО-фильтры длиной N в общем случае описываются следующим разностным уравнением, реализующим свертку:
. (3.1)Отсюда передаточная функция КИО-фильтра
следующая:
. (3.2)Следовательно, АФЧХ КИО фильтра имеет вид:
. (3.3)Структурная схема КИО-фильтра длиной N представлена на рис. 3.1.
3.2. Характеристика КИО-фильтров
КИО-фильтры имеют некоторые конструктивные преимущества по сравнению с БИО фильтрами.
1.Структурная устойчивость. Знаменатель передаточной функции КИО-фильтра (3.2) тождественно равен единице, т.е. не имеет корней, следовательно КИО-фильтры при любых значениях коэффициентов
устойчивы.2.Отсутствие накапливаемой ошибки. В разностное уравнение КИО-фильтра (3.1) не входят значения выходной переменной на предыдущих
а) Частотная характерис- б) Импульсная характерис- в) Усечённая импульс-
тика идеального ФНЧ тика идеального ФНЧ ная характеристика
г) АЧХ усечённой импульсной характеристики
д) Оконная весовая е) Взвешенная импульс- ж)Окончательная
функция ная характеристика АЧХ
Рис. 3.2. Проектирование КИО-фильтра по методу sin(x)/x со взвешиванием (windowed-sinc)
отсчетах, а только значения входной переменной. Нерекурсивные КИО-фильтры имеет конечную "память", т. е. после снятия входного сигнала переходный процесс завершится за конечное число периодов дискретизации, и, следовательно, по истечении времени реакции, соответствующем N-1 отсчетам, все последствия неправильного задания начальных условий исчезнут.
3. Наличие прототипа в области непрерывных сигналов. КИО-фильтры имеют свой прототип в области непрерывных сигналов (линии задержки), что существенно при решении задач с переходом из цифровой области в непрерывную и обратно.
4. Доступность средств автоматизированного проектирования (САПР), такие как Matlab, Lab View, QED2000 и др.
5.Простота выбора коэффициентов и лёгкость проектирования. Это объясняется предыдущими двумя свойствами.
6.КИО-фильтры принципиально вносят запаздывание
.7.Линейная фазо-частотная характеристика (ФЧХ). Изменяя веса коэффициентов и число звеньев КИО-фильтра, можно реализовать практически любую частотную характеристику. КИО-фильтры могут иметь такие свойства, которые невозможно достичь методами аналоговой фильтрации (в частности, совершенно линейную фазовую характеристику). Это обеспечивает отсутствие искажения от задержки и только фиксированную задержку.
8.Высокоэффективные КИО-фильтры строятся с большим числом операций умножения с накоплением и поэтому их реализация требует значительных вычислительных затрат, т.е. использования быстрых и эффективных процессоров DSP.
9.При одной и той же амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) БИО-фильтры имеют меньший порядок, чем КИО-фильтры, т.е. обеспечивают более высокое быстродействие, меньшее запаздывание и более простую реализацию.
3.3.Общий порядок синтеза КИО-фильтра.
Проектирование КИО-фильтров базируется на том, что частотная характеристика фильтра определяется импульсной характеристикой. Таким образом, процесс проектирования КИО-фильтра состоит в определении его импульсной характеристики по желаемой частотной характеристике с последующим квантованием импульсной характеристики в ходе генерации коэффициентов фильтра.
Различают следующие основные способы проектирования КИО-фильтров:
оконный метод sin(x)/x (Windowed-Sinc);
разложение в ряд Фурье с взвешиванием (Windowing);
синтез произвольной частотной характеристики и использование обратного БПФ.
Метод проектирования, основанный на использовании окон для усечения импульсной характеристики и получения желаемой частотной характеристики, исторически был первым методом проектирования КИО-фильтров, он является наиболее популярным и простым методом синтеза КИО-фильтра.
Процесс проектирования КИО-фильтра состоит из нескольких этапов:
1.Задаться амплитудно-частотной характеристикой КИО-фильтра.
2. Вычислить импульсную характеристику.
3.Задаться периодом дискретизации.
4.Провести дискретизацию импульсной характеристики.
5.Выбрать длину КИО-фильтра N.
6.Применить оконную функцию к импульсной характеристике.
На рис.3.2 представлены основные идеи метода оконного проектирования со взвешиванием.
1.АЧХ
идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) представлена на рис. 3.2а. Если предположить, что ФЧХ 
, то передаточная функция ФНЧ описывается выражением:
. (3.4)2.Вычисление идеальной импульсной характеристики
производится с использованием обратного преобразования Фурье по формуле [4]:
. (3.5)Соответствующая импульсная характеристика ФНЧ во временной области представлена на рис. 3.2б.
3.Задаться периодом дискретизации.
Изображения по Фурье сигналов или передаточные функции систем, дискретизированных по времени с периодом
, являются периодическими функциями циклической частоты с периодом 
:
. (3.6)Следовательно,
надо выбрать таким образом, чтобы 
было заведомо выше в два раза, чем самая высокая частота входного сигнала (смесь полезного сигнала и помехи) и передаточной функции системы, что обеспечит отсутствие помех.4.Провести дискретизацию импульсной характеристики.
. (3.7)5. Выбрать длину КИО-фильтра N.
Импульсная характеристика на рис. 3.2б начинается слева от нуля, что невозможно реализовать, т.к. невозможно реагировать на то, что еще не произошло. Для преодоления этой трудности необходимо внести запаздывание, т.е. сдвинуть импульсную характеристику вправо, но она бесконечна во времени в обоих направлениях, значит необходимо обрезать импульсную характеристику до разумного числа точек N, как на рис. 3.2в. Ограничение импульсной переходной характеристики эквивалентно ее умножению на одиночный прямоугольный импульс шириной
, что соответствует свертке исходной передаточной функции и изображения одиночного прямоугольного импульса. АЧХ фильтра, изображённая на рис. 3.2г, имеет влияние волн Гиббса и боковых лепестков.Значение N определяется следующими соображениями:
если выбрать N очень большим, то реализация КИО-фильтра будет требовать значительных объемов памяти и вычислительных ресурсов, будет вноситься значительное запаздывание в его функционирование
;если выбрать его маленьким, то АЧХ фильтра будет иметь слишком большое влияние боковых лепестков.
6.Следующий шаг в процессе проектирования состоит в применении к усеченному импульсу соответствующей весовой (кадрирующей) функции, как показано на рис. 3.2д, обнуляющей конечные точки. Окном
называют некоторую четную функцию, определенную на интервале 
, равную нулю за пределами этого интервала и обладающую следующими свойствами:
; (3.8)
. (3.9)Выбранная таким образом весовая функция определяет спад и характеристики боковых лепестков фильтра. Коэффициенты цифрового полосового КИО-фильтра вычисляются по формуле:
, (3.10)где
– кадрирующая функция. Примеры кадрирующих функций приведены в таблице 3.1. Как правило, существует несколько приемлемых вариантов в зависимости от желаемой частотной характеристики. АЧХ фильтра с усеченной импульсной характеристикой, умноженной на оконную функцию (рис. 3.2е), представлена на рис. 3.2ж. Умножение на нерпямоугольное окно способствует уменьшению волн Гиббса и влияния боковых лепестков АЧХ.Преобразование спроектированной импульсной характеристики ФНЧ в импульсную характеристику ФВЧ может быть выполнено одним из двух способов. По методу инверсии спектра знак каждого коэффициента фильтра в импульсной характеристике ФНЧ изменяется на противоположный. Затем к центральному коэффициенту прибавляется 1. По методу реверсирования спектра изменяется знак каждого второго коэффициента. Это приводит к изменению характеристик в частотной области. Другими словами, если частота среза ФНЧ равна 0,2*fs, то результирующий ФВЧ будет иметь частоту среза 0,5*fs - 0,2*fs = 0,3*fs. Это должно приниматься во внимание при проектировании исходного ФНЧ.
Полосовой и режекторный фильтры можно спроектировать, комбинируя надлежащим образом соответствующие ФНЧ и ФВЧ. Полосовые фильтры проектируются посредством каскадного соединения ФНЧ и ФВЧ. Вычисляя свертку двух индивидуальных импульсных характеристик, получают эквивалентную импульсную характеристику каскадных фильтров. Режекторный фильтр проектируется посредством параллельного подключения ФНЧ и ФВЧ и суммирования сигналов с их выходов. Суммируя индивидуальные импульсные характеристики, получают эквивалентную импульсную характеристику.
Теорема Котельникова [Прохоров, стр. 66]
Любая непрерывная функция
, спектр которой ограничен сверху 
, может быть восстановлена без погрешности по своим отсчетным значениям 
, взятым с интервалом:
.Функция выражается
через с помощью ряда:
.Устройством, в котором реализуется это вычисление, может служить идеальный фильтр нижних частот с частотой среза
. Такой фильтр обладает АЧХ 
, представленной на рис. _._, и импульсной реакцией вида 
.Таблица 1.1.
Цифровая обработка сигналов. Сергиенко А.Б. – СПб.: Питер, 2003. – 608с.: ил.С.288-297.
Кадрирующие функции и их характеристики
| Тип окна | Кадрирующая функция  | Ширина полосы пропуска-ния  | Минимальное затухание в полосе запирания, дБ | Уровень первого бокового лепестка, дБ | Комментарий |
| Прямоугольное | 1 |  | 21 | -13,5 | |
| Треугольное |   | | | -26,5 | Аналог Бартлетта При нечетном n окно симметричное   При четном n окно несимметричное и соответствует симметричному окну, кторое начинается при k=0,5 и заканчивается при  с вершиной в  и амплитудой ;  |
| Бартлетта |    |  | 25 | -26,5 | Аналог треугольного, при нечетном n ненулевые отсчеты окна Бартлетта совпадают с отсчетами треугольного окна длины n-2. Окно всегда симметричное;  ,  |
| Ханна (Хэннинга) |   |  | 44 | -31,5 | |
| Хэмминга |   |  | 53 | -40 | |
| Блэкмена |   |  | 74 | -58 | |
| Кайзера | | | | | |
| Чебышева | | | | | |
| Бартлетта-Ханна | | | | | Линейная комбинация окон Бартлетта и Ханна |
| Блэкмена-Харриса | | | | | Суммируется три косинусоидальных слагаемых |
| Бомена | | | | | Свертка двух одинаковых косинусоидальных импульсов |
| Гауссово окно | | | | | |
| Версия окна Блэкмена-Харриса, предложенная Наттоллом | | | | | Отличаются весовые коэффициенты при суммировании косинусоидальных слагаемых |
| Тьюки | | | | | Прямоугольник со сглаженными |