скачать doc
Лекция 8. ВычисленИЕ автокорреляционной и взаимнокорреляционной функций и их применение
8.1 Определение автокорреляционной и взаимнокорреляционной функций
Для определения статистической связи между двумя случайными функциями используют второй смешанный центральный момент – взаимную корреляционную функцию[Баранов, стр. 9]:
, (8.1)где
, 
– математические ожидания случайных функций 
и 
соответственно при 
и 
; 
– двумерная плотность вероятности случайных величин и соответственно при и .Для стационарных и стационарно-связанных и взаимная корреляционная функция зависит только от промежутка времени между сечениями:
. (8.2)Стационарный процесс называют эргодическим, когда средние по множеству реализаций равны средним по времени одной реализации.
. (8.3)
. (8.4)Для последовательностей конечной длины:
. (8.5)Сложность при нахождении ВКФ последовательностей данных конечной длины связана с тем, что при смещении влево сигналы уже не перекрываются, и данные в конце последовательностей не формируют парные произведения – возникает краевой эффект.
Два сигнала могут быть связаны друг с другом в разной степени: от полной идентичности до полной независимости.
Коэффициент взаимной корреляции получается в результате нормирования ВКФ:
. (8.6)В частном случае, когда
можно найти корреляцию сигнала с самим собой – автокорреляцию:
. (8.7)Автокорреляционная функция имеет весьма полезные свойства: она четная и убывающая справа в правой полуплоскости (рис. 8.1):
, (8.8)где
– нормированная энергия сигнала. Справедливо следующее соотношение:
. (8.9)ВКФ может иметь любую форму. Некоторые примеры ВКФ:
если
и 
идентичны, то 
имеет один пик при 
;
если и имеют одну форму за исключением масштаба и сдвига по времени 
, то имеет один пик при 
(рис. 8.2);
если и не связаны, то 
; это условие выполняется, если суммирование ведется бесконечно долго, при конечном времени суммирования 
, а при увеличении времени суммирования 
.
«Белым шумом» называют случайный процесс с постоянной спектральной плотностью мощности в полосе частот от
до 
: 
. корреляционная функция этого процесса 
свидетельствует от отсутствии статистической связи между сечениями случайного процесса.8.2 Связь корреляционных функций и ДПФ. Быстрая корреляция
Пусть
и 
– периодические последовательности длины 
, их ДПФ-образы равны соответственно 
и 
. Расчет корреляции можно ускорить с использованием теоремы о корреляции:
, (8.2)где
– обратное дискретное преобразование Фурье. Данный подход требует выполнения двух ДПФ и одного обратного ДРФ, что легче всего сделать, используя алгоритм БПФ. Если число членов в последовательностях достаточно велико, данный метод дает результат быстрее, чем непосредственный расчет взаимной корреляции.Чем уже 
, тем шире спектр. Если два сигнала имеют общие частотные компоненты, преобразование Фурье от ВКФ демонстрирует общие компоненты.
Корреляционный анализ представляет во временной области ту же информацию, что спектральный – в частотной. Выбор зависит от того, в какой области более естественно отображать информацию для данного приложения.
8.3 Применение корреляции
Вычисление корреляции используется в случаях, когда необходимо определить степень независимости одного процесса от другого или установить сходство одного набора данных с другим. Соответствующий математический аппарат нашел применение:
в обработке изображений в сфере компьютерного зрения или дистанционного зондирования со спутников, в которых сравниваются данные с различных изображений;
в радарных и гидроакустических установках для дальнометрии и местоопределения (пеленгации), в которых сравниваются переданные и отраженные сигналы;
в детектировании и идентификации сигналов в шуме;
в организации технического контроля для наблюдения за влиянием входа на выход;
в идентификации систем – определении импульсной характеристики неизвестной системы;
виброанализ и определение нарушений в структуре без разрушения;
анализ линий связи и определение потоков;
нейрофизиология;
анализ пульса в медицине;
сейсмические поиски нефти;
акустическое поглощение и усиление;
определение и предотвращение шума;
радиоастрономия;
моделирование звуковых путей и распознавание речи;
корреляционные методы в химии и физике;
определение ошибок и их исправление в аудиомире;
понижение шумов и ошибок в цифровых системах связи.
Взаимная корреляция помогает определить отдельный сигнал в присутствии помех. Стимулирующий сигнал
с особой формой волны (сейсмическая вспышка, импульс радара или очередь тонов сонара) излучаются через определенные интервалы времени. Отклик принимается, дискретизируется и коррелируется с дискретным, задержанным . Форма содержит много информации: задержка определяет диапазон и дипплеровский сдвиг несущей частоты при измерении скорости цели. Множество эхосигналов появляется от отражения от нескольких объектов. Цель – найти положение и скорость цели, ее физические свойства (плотность – при поисках нефти, форму, размер).Рассмотрим акустический пример ВКФ (рис. 8.4). Задержка между стимулом и откликом определяет сдвиг максимума ВКФ. Путь 1 через стену самый прямой (меньше время), но зашумленный. Путь 2 над стеной длиннее и содерэжит меньше препятствий, т.е. больше амплитуда. Дальний и зашумленный путь 3 через пол появляется за счет вибрации основания микрофона. Наличие помех и задержек определяется по положению и форме пиков ВКФ, на основании этой информации определяется расстояние и физические свойства среды.
Взаимная корреляция используется для детектирования периодических сигналов в принятом из линии связи сигнале.
Определение величины максимума. Теоретически он меньше или равен
. Если ВКФ пронормирована, то максимум меньше или равен единице. Степень близости к единице говорит о наличии взаимосвязи между двумя сигналами. Если единица, то сигналы совпадают.
Определение смещения максимума от начала координат. Если
,то запаздывает по отношению к , если 
,то запаздывает по отношению к .
Существует три группы задач, в которых по паре сигналов требуется определить, одинаковые ли они:
Задача обнаружения сигналов.
Задача различения сигналов.
Задача, связанная с поиском запаздывания.
Задача 1.Есть сигнал
, приходящий из линии связи, и некоторый эталон . Требуется определить, является ли полученный извне сигнал таким же, как (рис. 8.5).Можно было бы сравнить сигналы по точкам, но нули времени сигналов
и могут не совпадать.Задача 3.
