скачать doc
4.фильтры с бесконечным импульсным откликом
(БИО-фильтры, IIR-фильтры (Infinite Impulse Response Filter))
4.1.Структурная схема БИО-фильтра
БИО-фильтры длиной N в общем случае описываются следующим разностным уравнением:
. (4.1)или
(4.2)Это представление определяет выход БИО-фильтра как функцию предыдущих отсчетов выходной переменной, а также текущего и предыдущих отсчетов входной переменной. БИО-фильтры получили такое название, потому что их импульсные характеристики растянуты на бесконечном временном интервале. Это объясняется тем, что данные фильтры являются рекурсивными, т. е. используют обратную связь.
КИО-фильтры являются частным случаем БИО-фильтров, для которых
(4.3)Передаточной функцией БИО-фильтра
является дробно-рациональная функция:
. (4.4)Следовательно, АФЧХ БИО-фильтра имеет вид:
. (4.5)Существует несколько структур реализации БИО-фильтров.
БИО-фильтры обычно реализуются с помощью звеньев второго порядка, которые называются биквадратными фильтрами, потому что описываются биквадратными уравнениями в z-области. Фильтры высокого порядка проектируют, используя каскадирование биквадратных звеньев или их параллельное соединение.
Каскадная форма. В ней передаточная функция в равенстве (4.4) факторизуется (разбивается) на произведение передаточных функций секций 2-го порядка:
; (4.6)
; (4.7)
. (4.8)Вся система представляет собой каскад этих секций (рис. 4.1). Выход предыдущей секции является входом следующей.
Параллельная форма. В этом случае передаточная функция в равенстве (4.4) представляется как сумма передаточных функций секций 2-го порядка:
; (4.9)
; (4.10)
. (4.11)Вся система представляет собой параллельное соединение этих секций (рис. 4.2). Параллельная реализация требует использования многопроцессорной системы.
Прямая форма. При использовании каскадной или параллельной реализации БИО фильтра каждая из биквадратных секций реализуется в прямой форме. В ней точно реализуется разностное уравнение (4.2). Так как разностное уравнение содержит две части, а именно КИО-фильтр и рекурсивную или части числителя и знаменателя передаточной функции, эта реализация имеет две версии: прямая форма I и прямая форма II.
Прямая форма I реализации БИО-фильтра длиной N представлена на рис. 4.3.
Прямая форма II реализации БИО-фильтра длиной N является эквивалентной схемой прямой формы I (рис. 4.4). В этом случае передаточная функция БИО-фильтра преобразуется с использованием вспомогательной переменной 
:
, (4.12)где
– предсказательная часть;
– обратная связь.Соответствующие разностные уравнения имеют вид:
; (4.13)
. (4.14)В этом случае необходимо хранить только переменную
, что в два раза сокращает объем необходимой для хранения данных памяти.Хотя существует возможность создания непосредственно по уравнениям (4.12)–(4.13) БИО-фильтра более высокого порядка (так называемая прямая реализация), накапливающиеся ошибки квантования (из-за арифметики с фиксированной точкой и конечной длины слова) могут вызывать неустойчивость работы фильтра и большие ошибки. По этой причине правильнее расположить каскадно несколько биквадратных звеньев с соответствующими коэффициентами, чем использовать прямую форму реализации. Данные при вычислении биквадратных фильтров могут масштабироваться раздельно, а затем биквадратные звенья каскадируются для минимизации ошибок квантования коэффициентов и накапливающихся ошибок рекурсивного накопления. Каскадные биквадратные фильтры работают более медленно, чем их эквиваленты прямой формы реализации, но они более устойчивы и в них минимизируются эффекты, связанные с арифметическими ошибками конечной разрядности данных [3].
4.2. Характеристика БИО-фильтров
Природа БИО-фильтров как фильтров с обратной связью или рекурсивного фильтра – главный его признак.
Простая структура. БИО-фильтры могут быть реализованы с более простой структурой, меньшим количеством вычислений и объемом памяти, чем КИО-фильтры, при тех же требованиях по качеству и обеспечении устойчивости. Это связано с тем, что БИО-фильтры реализуются при помощи нулей и полюсов передаточной функции, тогда как КИО-фильтры реализуются только через нули.
Реализация с использованием каскадного соединения секций второго порядка. Анализ БИО-фильтров сводится к анализу секций 2-го порядка.
Аналоговые прототипы. БИО-фильтры имеют традиционные аналоговые эквиваленты (фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптический и Бесселя) и могут быть проанализированы и синтезированы с использованием традиционных методов проектирования фильтров и также в общем случае имеют бесконечную импульсную характеристику.
Фильтр Баттерворта, не имеющий нулей частотной характеристики, (также называемый фильтром с максимально плоской характеристикой), не создает пульсаций (неравномерности) в полосе пропускания и в полосе подавления, т.е. обладает монотонной характеристикой в обеих полосах. Фильтр Чебышева 1-го рода имеет более быстрый спад частотной характеристики, чем фильтр Баттерворта (при равном порядке), и создает пульсации (неравномерность) в полосе пропускания. Реже используются фильтры Чебышева 2-го рода, имеющие пульсации (неравномерность) в полосе задержки, а не в полосе пропускания.
Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра) имеет полюса и нули частотной характеристики и создает пульсации (неравномерность) и в полосе пропускания, и в полосе задержки. Этот фильтр имеет более быстрый спад частотной характеристики, чем фильтр Чебышева при том же числе полюсов (порядке). Эллиптический фильтр часто используется там, где допускается несколько худшая фазовая характеристика.
Наконец, фильтр Бесселя (Томпсона), который не имеет нулей частотной характеристики, обладает оптимальной линейной фазовой характеристикой, но имеет худший спад частотной характеристики из всех рассмотренных типов фильтров при том же числе полюсов (порядке).
Все вышеперечисленные типы аналоговых фильтров описаны в литературе, их преобразования по Лапласу H(s) доступны либо из таблиц, либо могут быть получены с помощью средств САПР.
Доступность средств автоматизированного проектирования (САПР), такие как Matlab, Lab View, QED2000 и др.
Наличие проблем с устойчивостью.
Нелинейность ФЧХ. БИО-фильтр имеет нелинейную ФЧХ, что неприемлемо в некоторых приложениях.
Наличие накапливаемой ошибки на выходе БИО-фильтра при нуле на входе. Это связано с рекурсивностью БИО-фильтров.
4.3. Синтез коэффициентов БИО-фильтров
Популярный метод проектирования БИО-фильтра сводится к тому, что сначала проектируется эквивалентный аналоговый фильтр, а затем функция передачи H(s) преобразуется математически в z-область, H(z) (рис. 4.5) с использованием комплексных отображений. Эта технология называется Filter Transformation (преобразование фильтров). Однако этот метод позволяет создавать лишь ФНЧ. Для получения ФВЧ, ПФ и фильтров-пробок применяется Spectral Transformation (спектральное преобразование).
Существует два подхода к процедуре получения цифрового фильтра из аналогового ФНЧ. В первом случае аналоговое спектральное преобразование применяется к аналоговому ФНЧ для получения частотно-избирательного фильтра. Затем применяется преобразование фильтров для получения требуемого цифрового фильтра.
Во втором случае, сначала получается цифровой ФНЧ из соответствующего аналогового фильтра через преобразование фильтров. Затем требуемый частотно-избирательный цифровой фильтр получается путем спектрального преобразования цифрового ФНЧ.
Рассмотрим общий порядок синтеза коэффициентов БИО-фильтра во втором случае.
1.Используя заданные цифровые спецификации, получить соответствующие характеристики аналогового ФНЧ:
2. Спроектировать аналоговый ФНЧ.
3.Применить преобразование фильтров для получения цифрового ФНЧ: по известной импульсной характеристике и билинейная трансформация.
4.Применить спектральное преобразование для получения требуемого цифрового фильтра из ФНЧ.
5.Если требуется, получить каскадную форму БИО-фильтра.
Главная проблема этого метода состоит в том, что мы не управляем ФЧХ, которая в идеале должна быть линейной в полосе пропускания.
Теперь подробнее рассмотрим каждый из этапов.
1.Используя заданные цифровые спецификации, получить соответствующие характеристики аналогового ФНЧ.
Аналоговые ФНЧ задаются следующими характеристиками:
частота среза полосы пропускания
, 
;
частота среза полосы затухания
, ;
максимальное затухание в полосе пропускания
, дБ;
минимальное затухание в полосе затухания
, дБ.
Цифровые спецификации связываются с аналоговыми следующими выражениями:
; 
, (4.15)где
, 
– нормированные циклические частоты среза полос пропускания и подавления в цифровой области;
– частота дискретизации в цифровой области, Гц;
– частота среза полосы пропускания в цифровой области, Гц;
– частота среза полосы затухания в цифровой области, Гц.2. Спроектировать аналоговый ФНЧ.
Рассмотрим проектирование фильтра-прототипа Баттерворта:
(4.16)где
– это частота среза, на которой затухание равно 3dB. Передаточная функция системы
получается из выражения (4.16) подстановкой =-js:
(4.17)По исходным данным
, , и необходимо определить два параметра, определяющих фильтр Баттерворта: порядок 
и частоту запирания , при которой обеспечивается затухание 3dB. Требуется обеспечить выполнение следующих равенств:
(4.18)и
. (4.19)Разрешив эти два неравенства относительно
и получим:
; (4.20)
или 
. (4.21)Тогда полюса
вычисляются по формуле:
. (4.22)Устойчивость фильтра
определяются выбором полюсов в левой полуплоскости. Результирующая передаточная функция системы имеет вид:
. (4.23) Теперь рассмотрим проектирование аналогового фильтра (прототип Чебышева-I). I. Квадрат АЧХ фильтра Чебышева-I
-го порядка имеет следующий вид:
(4.24)где
– коэффициент пульсации в полосе пропускания;
. (4.25)Равномерно пульсирующий характер фильтров Чебышева определяется этим выражением.
. (4.26)По исходным данным
, , и необходимо определить три параметра, определяющих фильтр Чебышева-I: порядок и частоту запирания , при которой обеспечивается затухание 3dB, и коэффициент пульсаций :
; 
; (4.27)
;
; (4.28)
. (4.29)Устойчивость
определяется путем определения полюсов 
и выбором полюсов, лежащих в левой полуплоскости, для . Полюса находятся путем нахождения корней выражения:
. (4.30)Полюса
, представленные как 
, вычисляются по формулам:
, (4.31)
, (4.32)где
, 
, 
. Теперь передаточная функция системы имеет вид:
, (4.33)где
.На этом заканчивается проектирование аналогового фильтра.
3. Следующим шагом в проектировании БИО-фильтров является преобразование аналоговых фильтров в цифровые. Наиболее популярными комплексными преобразованиями являются импульсное инвариантное преобразование и билинейная трансформация.
Импульсное инвариантное отображение использует импульсную характеристику аналогового фильтра для определения импульсной характеристики цифрового фильтра как дискретной версии характеристики непрерывного времени. В результате частотная характеристика цифрового фильтра – это зашумленная в результате дискретизации частотная характеристика аналогового фильтра.
Процедура синтеза имеет следующую последовательность:
Задаться ЛАЧХ, учитывая, что это звено не выше второго порядка.
Записать передаточную функцию системы.
Вычислить импульсную характеристику
с использованием обратного преобразования Лапласа.
Задаться периодом дискретизации.
Провести дискретизацию импульсной характеристики, перейти к 
.
Взять
-преобразование от :
Поскольку бесконечна во времени, то ряд тоже бесконечный и сумма в п.6 тоже бесконечна.
Записать сумму членов получившегося ряда в виде дробно-рациональной функции:
.Поскольку последний шаг довольно сложен, этот метод используется не всегда.
Пример.
Инерционное звено.
.
.
.
.
.
Т.к. полученное выражение является убывающей геометрической прогрессией, то
.
Билинейная трансформация – это отображение один к одному, которое исключает проблему помех от дискретизации путем перевода аналоговой частотной характеристики в передаточную функцию цифровой системы с соответствующим частотным откликом, это переход от производных в дифференциальных уравнениях к конечным разностям.
Билинейная трансформация определяется отображением
на :
, (4.34)где Т – это параметр. Обратное преобразование:
. (4.35)Для того чтобы выразить частотную характеристику, введем обозначение
и 
в равенстве (4.35). Тогда
. (4.36) Выразив
как функцию от 
, получим
. (4.37) Приведенное выражение дает эффект нелинейного сжатия между аналоговой частотой
и цифровой частотой . Оно называется трансформацией аналоговых частот, которое также означает отсутствие помех от дискретизации. Вся мнимая ось на -плоскости отображается в окружность на -плоскости. Эта трансформация тем не менее не является проблемой, т. к. цифровые частоты могут быть предварительно трансформированы в аналоговые при проектировании аналоговых фильтров. Эта обратная трансформация задается выражением:
. (4.38)4.Применить спектральное преобразование для получения требуемого цифрового фильтра из ФНЧ. Результатом этого шага является передаточная функция в прямой форме. Это преобразование с комплексной переменной z очень похожи на билинейную трансформацию и соответствующие проектировочные выражения являются алгебраическими.
Пусть HФНЧ(Z) – это созданный цифровой ФНЧ и H(z) – требуемый цифровой фильтр. Стоит отметить, что используется две переменных для обозначения частоты, Z и z, с функциями HФНЧ и H, соответственно. Преобразование вида
преобразует
,если это действующее преобразование с соответствующими параметрами. Общий вид функции
для любого типа фильтра:
,где ак<1 - условие устойчивости. Путем выбора подходящего n и соответствующих значений ак, можно получить множество спектральных преобразований. Наиболее широко используемые преобразования приведены в таблице 4.1.
5.Если требуется, преобразуя
в произведение секций второго порядка, получим коэффициенты многочленов второго порядка.На этом заканчивается проектирование заданного фильтра, для которого получены коэффициенты для двух реализаций: прямой и каскадной.
4.4. Синтез фильтров со сложной формой АЧХ
Формирование АЧХ с несколькими полосами пропускания достигается комбинированием параллельного и последовательного соединений фильтров, каждый из которых имеет порядок не выше второго (рис. 4.6).
Увеличение крутизны перехода от полосы пропускания к полосе подавления достигается путем последовательного соединения фильтров, каждый из которых имеет порядок не выше второго.
Таблица 4.1.
Спектральные преобразования цифровых фильтров
| Тип преобра-зования | Преобразование | Параметры  , ’с- частота запирания HФНЧ(Z) |
| ФНЧ |  | c- частота запирания нового фильтра  |
| ФВЧ |  | c- частота запирания нового фильтра  |
| ПФ |  | l- нижняя частота запирания u- верхняя частота запирания     |
| Фильтр- пробка |  | l- нижняя частота запирания u- верхняя частота запирания  |