Закон сохранения эл заряда. Электрический заряд замкнутой системы сохраняется. Иными словами, алгебраическая сумма зарядов всех тел в системе не меняется со временем

скачать doc

1.Закон сохранения эл.заряда.

Электрический заряд замкнутой системы сохраняется. Иными словами, алгебраическая сумма зарядов всех тел в системе не меняется со временем.

Закон сохранения заряда можно записать в виде: q1 + q2 + ... + qN = const.

-------Электрическое поле неподвижных электрических зарядов, осуществляющее взаимодействие между ними, называется электростатическим. Характеристики: Е.

Напряженность электрического поля неподвижных зарядов – вектор, направленный так же, как и сила, действующая со стороны этих зарядов на положительный пробный заряд, и равный по величине отношению величины этой силы к величине пробного заряда. Размерность электрического поля: [E] = Н/Кл.

Т.е. Е – это количественная характеристика силового действия эл.поля на заряженные частицы и тела. Потенциалом электростатического поля называется физическая величина, равная отношению потенциальной энергии пробного точечного эл.заряда, помещенного в конкретную точку к этому заряду =W_Пq. Принцип суперпозиции: электрическое поле, созданное несколькими зарядами, равно векторной

сумме полей отдельных зарядов. Математически это записывается в виде: Е(х,у,z)=E_iНаглядное изображение напряженности электрического поля дают силовые линии поля, т.е. непрерывные линии, касательные к которым в каждой

точке совпадают с направлением силы, действующей на пробный заряд в этой точке. Силовые линии электрического поля неподвижных зарядов всегда идут от '+’ к ‘-‘либо уходить на бесконечно большое расстояние. Силовые линии не могут пересекаться.

???Пример расчета методом суперпозиции для поля диполя.-Сканирует Виталик

2. Потоком вектора Е электростатического поля сквозь малый участок поверхности, проведенной в поле, называется величина dФ=EdScos(E^n)=EdS. Где Е – вектор напряженности электростатического поля в точках малого участка поверхности площадью dS; n-единичный вектор, нормальный к площадке dS.

Теор. Гаусса (интегральная форма)-Вывод.

Поток вектора электрич. смещения D cквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов заключенных внутри поверхности.

∫DdS=q_i1)

^{S i=1}

∫EdS=(1/₀)q_i2)(для вакуума)

^{S i}

Док - во.

1. Пусть имеется полож. точечн. заряд. q .

∫DdS=∫DdS

^{S2 S}

Dn =0 D_n=D

Вынесем за знак интеграла

D∫dS=D4r²=(q/4r²)4r²=q

^S

3) ∫DdS=q

^S

Очевидно если точечный заряд расположен не в центре, а в любой точке внутри поверхности S, то количество линий

D пронизывающих поверхность не изменится , т.е. для любого положения точечного заряда q внутри сферы формула 3) справедлива.

Поток сквозь поверх. другой формы (произвол.) при прежнем заряде q не изменится и 3) справедлива.

Внутри замкнутой сферы находится несколько зарядов q₁, q₂ ,q₃, ...,q_i,...q_n 1i n Докажем что в этом случае теорема Гаусса верна.

На основе 1) для каждого заряда теорема справедлива.

_ _

4) ∫D_idS=qi

^S

в 4) просуммируем левую и правую часть.

_ _

∫D_idS=q_i

^{i i}

_ _

∫(D_i)dS=q_i

^{s i i}

_ _ _n

∫DdS=q_i5)

^{s i}

Форма записи 5) имеет назв. интегральной формы записи.

Интегр. форм. - обознач. что в формуле характеристики слева и справа относятся к разным точкам пространства.

- об. плотность.

=dq/dv (Кл/м₃)

6)q_i=dv

^{i v}

_ _

∫DdS=dv S и V -

^v согласо-

ванны.

Практич. применение теор. Гаусса.

Дано: Сфера =const , R - радиус шара

1) r>R (вне шара)

2) r
Найти Е и D вне и внутри шара).

1) Наход. картину линий поля.

2) Выбор замкнутой поверхности удобной для реш. задач.

Во всех точках поверх. или к части точек cos=1.

3) Это замкнутая поверхность должна проходить через исслед. точку.

4) К построенной поверхности строят нормаль. Очевидно что для всех точек поверх =0 D=const.

5) Вычисляем формально поток (левую часть формулы Гаусса) _ _ _n

∫DdS=q_i

^{S i=1}

_ _

∫DdS=D∫dS=DS=D4r²(1)

^{S S}

6) Вычисляем алгебраич. сумму зар. попавших внутрь поверх. (прав. часть форм.)

q_i=V=(4/3)r³(2)

7) Приравниваем (1) и (2)

D4r²=(4/3)r³

D=((R³)/3)1/r²D1/r²

q=(4/3)r³ D=q/4r²

Электрич. смещение D и напр. поля Е в люб. точке. вне шара. определ. по тем же формулам что и для точечн. заряда.

Рассм. точку внутри шара.

1)_ _

∫DdS=D∫dS=DS=D4r²

^{S S}

2)q_i=V=(4/3)r³

D=4r²=(4/3)r³

D=/3r Dr

Постр. граф. завис. D(r).

D_{в диэлектр} и D_{в вакууме} - одинаков.

Для напр. поля но основ. получ. формулы для D и на основ. связи D=/3r

E=D/₀

для А E=(q/4₀r²)=k(q/r²) b)

для С E=(/3₀)r a)

Найдем знач. Е в точках на поверхности. Воспользуемся а) и b) и подходом к поверхности снаружи и изнутри.

6) E_R=q/4₀R² r=R

Подходим к поверх. изнутри.

7) E_R=(/3₀)R

E=(4R³)/(34₀R²)

8) E=(/3₀)R

Сравнивая 7) и 8) видим что напр. поля не равны.

E_RE_RE_R>E_R(скачок)

^{вн сн вн сн}
3. т.О.Гаусса - полный поток электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную ε₀.(формулировка)

Расчет полей: нити и плоскости.

1)Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости:

Б

есконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью += dQ/dS - заряд приходящийся на единицу поверхности). Линия напряженности перпендикулярна плоскости и направленный в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основание параллельно плоскости. Полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания, т.е. равен 2ЕS. Заряд заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности равен S. Согласно теор. Гаусса 2ЕS=S/₀, откуда Е=S/2₀. Из формулы видно, что Е не зависит от расстояния.

2)Поле равномерно заряженной длинной нити:

Бесконечная нить заряжена равномерно с линейной плотностью (=dQ/d- заряд, приходящийся на единицу длины). Поток сквозь торцы нити равен 0, а сквозь боковую поверхность 2rhЕ, где h-высота. По теореме Гаусса, для r>R 2hЕ=h/₀₎, от сюда Е=(1/2₀)(r) (r R). Если r4) Работа по перемещению заряда в однородном поле:

Сила, действующая на пробный заряд q₀, помещенный в однородное поле E, направленное вдоль оси x, равна F = q₀E.

Работа по перемещению заряда на расстояние dx равна dA = Fdx = q₀Edx. Так как поле не зависит от координаты, то

работа по перемещению заряда из точки x₁

в точку x₂ равна A_1-2 = q₀E(x₂ – x₁).Видно, что значение работы зависит только от значений начальной и конечной координат заряда. Всякую траекторию заряда можно представить как последовательность сколь угодно малых участков, часть которых проходится вдоль силовых линий поля (при

этом совершается работа), а часть – по нормали к силовым линиям поля (на этих участках работа не совершается, так как

перемещение перпендикулярно направлению силы). В результате суммирования по участкам, где заряд

переносится вдоль линий поля, получается та же формуле, что и ранее. Следовательно, работа по переносу заряда в однородном

поле не зависит от пути перемещения.

Потенциал поля.

Силы электростатического поля консервативные т.е. независимые от траектории движения заряда.

F=- gradП

F_x= -П/x аналогич F_y и F_z

1) F= - dП/dr

Для электростатич. сил F=f(r). Воспользуемся этой зависемостью для введения третей характеристики поля - потенцеала. Преобр. 1) 2) dП= - Fdr F - куллоновская сила взаимодействия между двумя точечн. зарядами q и q₀.

F=k(qq₀/r²) Подставим F в 2) и проинтегрируем лев. и прав. часть.

3) dП= -k(qq₀/r²)dr из 3)

П= -kqq₀dr/r²=

=kqq₀1/r)+C

Разделим лев. и прав. часть 4) на q₀.

5)=П/q₀=(1/4₀)q/r)+C
6) =П/q₀Потенцеал поля в данной точке численно равен потенцеальной энерии пробного заряда помещенного в данную точку.

[]=B=Дж/К

7) =(1/4₀)q/r) при =0 rd при r=const ,

1/r при q=const

При q>0 >0 +

При q<0 <0 -

Связь между напряженностью поля и потенциалом в дифференциальной форме.

Для получения связи между Е и  в одной точке воспользуемся выражением для элементарной работы при перемещении q₀ на d по произвол. траектории.

dA=q₀E_d

В силу потенциального характера сил электростатического поля эта работа совершается за счет убыли потенциальной энергии.

dA= - q₀d = - П

E_d = - d

3) E_= - (d /d )

Проекция вектора напряженности поля на произвольном направлении () равна взятой с обратным знаком производной по этому направлению.

4) E_x= - (d /dx)

E_y= - (d /dy) E_z= - (d /dz)

_ _ _

E= - ( i (/x)+j (/y)+

_

+k (/z))

E= -grad Напряженность

поля в данной т. равна взятому с обратным знаком градиенту потенциала в этой точке.

Градиент скалярной функции является вектором.

Градиент показывает быстроту изменения потенциала и направлен в сторону увеличения потенциала.

Пусть точечный заряд q₀перемещается вдоль эквипотенциала =const , d- на эквипотенцеали.

dA=q₀E_ddA=0 т.к. =0

E_=Ecosq₀Ecos d=0

q₀0 E0 d0 cos=0 =90⁰
5) Потенциал поля.

Силы электростатического поля консервативные т.е. независимые от траектории движения заряда.

F=- gradП

F_x= -П/x аналогич F_y и F_z

1) F= - dП/dr

Для электростатич. сил F=f(r). Воспользуемся этой зависемостью для введения третей характеристики поля - потенцеала. Преобр. 1) 2) dП= - Fdr F - куллоновская сила взаимодействия между двумя точечн. зарядами q и q₀.

F=k(qq₀/r²) Подставим F в 2) и проинтегрируем лев. и прав. часть.

3) dП= -k(qq₀/r²)dr из 3)

П= -kqq₀dr/r²=

=kqq₀1/r)+C

Разделим лев. и прав. часть 4) на q₀.

5)=П/q₀=(1/4₀)q/r)+C
6) =П/q₀Потенцеал поля в данной точке численно равен потенцеальной энерии пробного заряда помещенного в данную точку.

[]=B=Дж/К

7) =(1/4₀)q/r) при =0 rd при r=const ,

1/r при q=const

При q>0 >0 +

При q<0 <0 -

Связь между и Е в диф. форме смотри билет №4.

Связь между и Е в инт. форме смотри Детлаф стр.188.:)))

Пример расчета потенциала приводите из головы(соседа)

6) Поле в диэлектрике.

Электрически заряженные частицы –электроны и ядра – в диэлектриках связаны друг с другом, образуя электрически

нейтральные атомы. Поэтому внутри диэлектриков нет свободных носителей заряда. Однако простой опыт убеждает, что при внесении во внешнее электрическое поле диэлектрик искажает это поле, а следовательно, в нем возникает внутреннее

электрическое поле, которое индуцируется внешним полем. Всякое поле создается какими-то зарядами, следовательно, внутри диэлектрика при внесении его во внешнее поле появляются заряды. Однако в отличие от свободных зарядов в металле заряды в диэлектриках называются связанными.

Так как в плоском конденсаторе U = Ed, то можно дать другое

определение диэлектрической проницаемости: е = E0/E.

      Используя определение электроемкости С = q/U, можно

убедиться, что C = eC0, т.е. емкость конденсатора увеличивается при внесении в него диэлектрика. Энергия, запасенная в плоском конденсаторе, уменьшается в e раз при внесении диэлектрика между пластинами: Wп = q2/(2C) = q2/(2eC0) = q2/(2C0)/e = Wп(0)/e. Модель диэлектрика       а) Полярные диэлектрики       Молекулы полярных диэлектриков обладают постоянным дипольным моментом, возникающим из-за того, что центр положительного заряда в этих молекулах не совпадает с центром отрицательного заряда (пример: молекула воды Н2О).

Если поместить простейший диполь во внешнее электрическое поле, то возникающий момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы дипольный момент d = el стал параллелен вектору E.

Полярный диэлектрик состоит из молекул с ненулевым дипольным моментом. При отсутствии внешнего поля

молекулы хаотично ориентированы вследствие теплового движения, так что средний дипольный момент объема

диэлектрика равен нулю. При помещении такого диэлектрика во внешнее электрическое поле происходит ориентация молекулярных диполей вдоль поля и появление отличного от нуля среднего дипольного момента (поляризация диэлектрика). В результате на противоположных внешних поверхностях

диэлектрика «выступают» связанные заряды противоположного знака. Поле E_пол, создаваемое этими поляризационными

зарядами, противоположно по направлению внешнему полю и ослабляет его внутри диэлектрика. б) Неполярные диэлектрики

      Молекулы таких диэлектриков не имеют дипольного момента. Однако во внешнем поле они поляризуются,

приобретая индуцированный дипольный момент за счет сдвига центров распределения положительного и отрицательного зарядов. Возникшие дипольные моменты стремятся

ориентироваться вдоль поля, поляризуя диэлектрик.

Диполь во внешнем эл. поле.

Рассмотрим электрический диполь образованный зарядом q.

Электрич. момент p=q , где - плечо диполя. Вносим диполь во внеш. поле.

_

Е=const

+q=-q=q

Запишем силы действующие на заряд.

_ _

На +q - F₊ , на -q - F_

_ _ _

F₊=F_=F=F На электрич. момент действ. пара сил , при этом возник вращающий момент М.

М=Fd=Fsin=Eqsin=

=Epsind - плечо силы

_

M=[P,E] -вращ. момент (сколяр. произв.)В однородн. эл поле электрический диполь поворачивается до тех пор пока эл. момент не станет направлен по внешнему

_ _

полю PE т.е. эл. диполь в положении устойчивого равновесия. В неоднородном эл. поле диполь наряду с поворотом испытывает поступательное движение в область неоднородного поля.

Поляризация. Проводники и диэлектрики.

У проводников электроны могут свободно перемещаться по всей толще образца.

явление электростатической индукции

Диэлектрики - вещества плохо или совсем непроводящие эл. ток.

В диэлектрике свободные заряды отсутствуют. У диэлектрика очень большое сопротивление.

Во внешнем поле у диэлектриков происходят очень существенные изменения. Заряды находящиеся в атоме во внешнем поле Е₀ смещаются или пытаются сместиться. Диэлектрик во внеш. эл. поле поляризуется.

При поляризации диэлектрика Е0.

У диэлектрика во внеш. эл. поле на поверхности образца появл. связнные некомпенсированные поляризованные заряды.

Явл. поляризации заключ. в появлении электрич. поля Е при внесении во внеш. поле Е₀ появл. связанных поверхностных зар. и появлении в толще образца , в каждой единице объема дипольного момента.

Диэлектрическая восприимчивость - ???

Диэлектрическая проницаемость неполярного диэлектрика не зависит от температуры. Температура может влиять на диэл. восприимчивость косвенно – изменив концентрацию молекул.

7) Электростатическое поле диэлектрика см.билет №6

Теор. Гаусса при наличии диэлектриков.

Связанные заряды – входят в состав атомов и молекул, а также заряды ионов в кристаллических диэлектриках с ионной решеткой. Любые другие заряды называются свободными.

Электрическое поле создается обоими видами зарядов. Е=Е_своб+Е_связ –напряженность поля по принципу супер-пупер…

ЕdS=1/ε₀*(q_своб+q_связ)
Для воздуха и для вакуума две равные теор. Гаусса.

1) D_nds=q_i

^{S i}

2) ₀E_nds=q_i

ⁱ

1)=2)

При наличии деэлектриков значимость 1) и 2) различна. В формуле 2) при наличии диэлектрика в прав. часть надо добавить алгебраич. сумму всех связанных зарядов 2)₀E_nds=q_i+q_i'

ⁱ

Величина связанных зарядов зависит от Е_n.

Поток вектора эл. смещения сквозь произвол. замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех свободных зарядов заключенных внутри поверхности.

D_nds=q_i- теор. Гаусса

^Sⁱпри наличии диэлектрика.

Связь D и Е.

Вектор D = ε₀Е+Р называется электрическим смещением.  ∫DdS=q_охв

По т.Гаусса – вектор электрического смещения(поток смещения) электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведенную в поле, равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью. D=₀E.

8) т.Гаусса для диэлектрика - Вектор электрического смещения(поток смещения) электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведенную в поле, равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью. ∫DdS=q_охв

Связь D и Е.

Вектор D = ε₀Е+Р называется электрическим смещением.  ∫DdS=q_охв

Условия на границе двух сред.

Явление на границе двух диэлектриков .

Граничные условия.

До сих пор мы рассм. диэл. вносимый в поле так что поверхность его совпадала с эквипотонц. поверх. , а линии

Е и D были поверхности. Каково направление Е и D если Е и D не эквипотенциальной поверхности.

Для построения картины поля внутри диэлектрика нужно знать граничные условия.

Граничные условия для нормальных составляющих

Е и D.

Рассмотрим границу раздела двух диэлектриков.

Пусть у 1) - ₁2) - ₂

при ₂>₁

Пусть на границе раздела

двух диэлектриков D направлен под углом .

Раскладываем D₁ и D₂ на составляющие нормальную к поверхности и тангенциальную.

D₁=D₁_n+D₁_{}D₂=D₂_n+D₂_

Для применен. Теоремы Гаусса надо построить замен. поверх.

Нужно выбрать цилиндрическую поверхность.

Найдем поток вектора эл. смещения через замкнутую поверхность.

Ф_D=D₂_nS - D₁_nS

Найдем алгебр. сумму зарядов попавших внутрь.

D₂_nSD₁_nS=0

S0

1) D₂_n=D₁_n

согласно связи.

₂₀E₂_n=₁₀E₁_n

E₁_n/E₂_n =₂/₁

2) - втор. гранич. усл. показ. каково повидение Е на грпнице: E_n на границе раздела двух диэл. изменяется скачком.

Граничные условия для тангенц. состовляющей.

Для получ. этих гранич. усл. воспольз. теор.о циркуляции вектора напряженности электрич поля.

Е_d=0

^L

Нужно построить четеж для

_

Е аналогично рис 1.

_ _ _ _

(1) - Е₁ Е₁=E₁_n+E₁_

_ _ _ _

(2) - Е₂ Е₂=E₂_n+E₂_

Для применения теор. о циркул. нужно выбрать замкн. контур. В качестве замкнутого контура выбираем прямоугольник стороны котор. границе раздела , высота h0.

АВ=CD=а

Направление обхода по часовой стрелке.

Е_d=0 L=ABCD

^L

В каждой точке на расст AB E₁_  этому участку.

Поэтому циркуляция E₁_ на AB равна

_{B D}

Е_d=E₁_d- E₂_d=0

^{L A C}

E₁_a - E₂_a=0

a0

3) E₁_=E₂_

У вектора напряженности поля при переходе через границу раздела двух диэлектриков не меняется тангенциальная составляющая.

D₁_/₁₀=D₂_/₂₀Используя 3) и связь между D и E получим: D₁_/₁₀=D₂_/₂₀- 4-ое условие . На границе раздела двух диэлектриков тангенциальная сoставляющая D изменися.1,2,3,4 - условия позволяют правильно построить картину линий поля.

И в кратце: 1 правило: E₂_=E₁_ -касательная к поверхности раздела двух сред составляющая напряженности не изменится при переходе через эту поверхность, из одной среды в другую.

D₂_=(₂/₁)D₁_

2 правило: D₂_n=D₁_n т.е. при переходе через границу раздела двух сред, на которой нет поверхностных свободных зарядов; нормальная составляющая электрического смещения не изменится. Е₂_n=(₂/₁)Е₁_n.

Теор. Гаусса при наличии диэлектриков.

Для воздуха и для вакуума две равные теор. Гаусса.

1) D_nds=q_i

^{S i}

2) ₀E_nds=q_i

ⁱ

1)=2)

При наличии деэлектриков значимость 1) и 2) различна. В формуле 2) при наличии диэлектрика в прав. часть надо добавить алгебраич. сумму всех связанных зарядов 2)'₀E_nds=q_i+

ⁱ

+q_i'

ⁱ

Вел. связанных зарядов зависет от Е_n.

Поток вектора эл. смещения сквозь произвол. замкн поверх. равен алгебраич. сумме всех свобод. зарядов заключ. внутри поверхности.

D_nds=q_i- теор. Гаусса

^Sⁱпри наличии диэлектрика.

9) См.билет №6.

Свободные и связанные заряды.

Связанные – заряды, которые входят в состав атомов и молекул, а также заряды ионов в кристаллических диэлектриках с ионной решеткой.

Свободные –

а) заряды частиц, способных перемещаться под действием электрического поля на макроскопические расстояния(электронов проводимости в металлах, электронов в вакууме, ионов в электролитах…)

б) положительные заряды атомных остатков в металлах.

в) избыточные заряды, сообщенные телу.

Диэлектрическая проницаемость неполярного диэлектрика не зависит от температуры. Температура может влиять на диэлектрическую восприимчивость косвенно – изменив концентрацию молекул.
10) Проводники в электрическом поле

В ряде веществ, называемых проводниками, существуют заряженные частицы, способные перемещаться по

объему проводника под действием сколь угодно слабого внешнего электрического поля. В наиболее привычных в быту

проводниках – металлах – подвижными носителями являются свободные электроны, оторвавшиеся от внешних оболочек атомов и образующие отрицательно заряженный «электронный газ», заполняющий промежутки между положительно

заряженными ионами. Под действием электрического поля свободные электроны способны перемещаться. Кроме того, эти

электроны участвуют в тепловом движении, и газ свободных электронов можно охарактеризовать определенной

температурой.

После включения внешнего электрического поля происходит

достаточно быстрое смещение электронов против силовых линий поля (возникает кратковременный ток), после чего

устанавливается равновесное распределение зарядов по поверхности проводника, обеспечивающее равенство

нулю электрического поля внутри проводника. Кроме того, равен нулю и полный заряд любой области внутри

проводника. Все неподвижные заряды могут находиться только на поверхности проводника.

Поле у поверхн. заряж. проводника.

Рассм. произаольную форму проводника заряж. по поверх. с поверхностной плотностью .

Воспольз. теор. Гаусса в интегральной форме.

DdS=q_i

^s

На заряж. поверхности отсечем круг площадью S.

₀EdS=₀EdS

^{s s}

₀ES=S

в т. А E=/₀

D=₀E D=

Напр. поля прямопропорц. поверх. плотности заряда проводника в окрестностях этой точке.

Разделение зар. по проводнику завис. от его поверх. (у острых углов заряд больше , напряж. сильнее).

Учащимся

Учителям