§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой

Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А и В, называется направленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая — концом. Направленный отрезок с началом А и концом В обозначается символом АВ. Величиной направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к концу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси. Величина отрезка АВ обозначается символом АВ, его длина — символом АВ. Если точки А и В совпадают, то определяемый ими отрезок называется нулевым; очевидно, в этом случае АВ = ВА = 0 (направление нулевого отрезка следует считать неопределённым).

Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой а положительное направление (после чего она становится осью) и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем самым на прямой а будет введена система координат.

Координатой любой точки М прямой а (в установленной системе координат) называется число х, равное величине отрезка ОМ:
х = ОМ.

Точка О называется началом координат; её собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М (х) означает, что точка М имеет координату х.

Если M₁ (x₁) и М₂(x₂) — две произвольные точки прямой а, то формула

M₁M₂ = x₂– x₁

выражает величину отрезка формула M₁M₂выражает его длину.
|M₁M₂| = | x₂– x₁ |
1. Построить точки:

А(3), B(5), С(—1), D(

), E(—

), F(

) и H(—).

2. Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям

1) |x| = 2; 2) |x—1| = 3; 3) |1— x|=2; 4) | 2+x| = 2.

3. Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

1) |x| >2; 2) х — 30; 3) 12— x<0; 4) 2x—30;

5) 3x—5>0; 6) 1<x<3; 7) — 2x3; 8)

>0;

9)

>1; 10)

<0; 11)

<1;

12) x² — 8x+150; 13) x² — 8x+15>0;

14) x² + x—12>0; 15) x²+x— 120.

4. Определить величину АВ и длину | АВ | отрезка, заданного точками: 1) А(3) и В(11); 2) А (5) и В (2); 3) А (—1) и В (3); 4) А (—5) и В (—3);

5) А (— 1) и В (—3); 6) А (— 7) и В (—5).

5. Вычислить координату точки Л, если известны:

1) В (3) и АВ = 5; 2) В (2) и АВ = — 3; 3) В (—1) и ВА = 2;

4) В (—5) и ВА = —3; 5) В(0) и |АВ| = 2; 6) В (2) и | АВ | = 3;

7) В(— 1) и | АВ |==5; 8) В(—5) и | АВ| = 2.

6. Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют следующим неравенствам:

1) |x|<1; 2) |x|>2; 3) |x| 2; 4) |x|3; 5) х — 2|<3;

6) |x — 5|l; 7) х— 1|2; 8) |x—3=1; 9) |x+1|<3;

10) |x+2|>1; 11) x+5|l; 12) |x+1|2.

7

. Определить отношение

, в котором точка С делит

отрезок АВ при следующих данных:

1) А(2); В(6) и С(4); 2) А (2), В (4) и С(7);

3) А (—1), В (5) и С(3); 4) А (1), В (13) и С(5);

5) А (5), В (—2) и С(—5).

8. Даны три точки А (—7), В (—1) и С(1). Определить отношение

, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.

9

. Определить отношение

, в котором данная точка

М(х) делит отрезок M₁M₂ ограниченный данными точками М₁(х₁) и М₂(х₂).

10. Определить координату х точки М, делящей отрезок M₁M₂, ограниченный данными точками M₁(x₁) и М₂(х₂) в данном отношении

11. Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками M₁(x₁) и М₂(х₂) .

12. Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками, в каждом из следующих случаев:

1) А(3) и В(5); 2) С(— 1) и D(5); 3) M₁(— 1) и M₂(—3);

4) Р₁(—5) и Р₁ (1); 5) Q₁(3) и Q₂(—4).

13. Определить координату точки М, если известны:

1) M₁(3), М₂(7) и

;

2) A(2), B(—5) и

;

3) С(—1), D(3) и

;

4) A(—1), B(3) и

;

5) A(1), B(—3) и

;

6) A(—2), B(—1) и

.

14. Даны две точки: A (5) и B (—3). Определить:

1) координату точки М, симметричной точке A относительно точки B;

2) координату точки N, симметричной точке B относительно точки A.

15. Отрезок, ограниченный точками A (—2) и 5(19), разделён на три равные части. Определить координаты точек деления.

16. Определить координаты концов A и B отрезка, который точками Р(—25) и Q(—9) разделён на три равные части.

Учащимся

Учителям