§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора

Направленные отрезки принято называть также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по—прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из них обозначает . Черт. 40

начало, вторая — конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (см. черт. 40, где изображён вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться также его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вектора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора а обозначается символом |а| или а. Если |а| = 1, то вектор a называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором а, называется ортом вектора а и обозначается обычно символом а⁰.

Проекцией вектора

на ось и называется число, равное величине отрезка

оси и, где точка А₁ является проекцией на ось и точки А, а B₁ — проекцией точки В.

Проекция вектора

на ось и обозначается символом: пр_и

Если вектор обозначен символом а, то его проекцию на ось и принято обозначать: пр_иa.

Проекция вектора а на ось и выражается через его модуль и угол

наклона к оси и формулой

(1)

Проекции произвольного вектора а на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство

означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси.

Проекции вектора на координатные оси называют также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки M₁(x₁ ; у₁ ; z₁ ) и М₂(x₂ ; у₂ ; z₂), являющиеся соответственно началом и концом вектора а, то его координаты X, Y, Z определяются по формулам

, ,

Формула

(2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если

— углы, которые составляет вектор а с координатными осями (черт, 41), то

называются направляющими косинусами вектора а.

Вследствие формулы (1) , , .

Отсюда и из формулы (2) следует, что

. Последнее равенство позволяет определить один из углов

если известны два других.

748. Вычислить модуль вектора а — {6; 3; — 2}.

749. Даны две координаты вектора Х=4, У= —12. Определить его третью координату Z при условии, что

.

Черт. 41. 750. Даны точки А(3; —1; 2)и В(— 1; 2; 1).Найти координаты векторов

.

751. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора а = {3; —1; 4}, если его начало совпадает с точкой М (I; 2; —3).

752. Определить начало вектора а = {2; —3; —1}, если его конец совпадает с точкой (1; —1; 2).

753. Дан модуль вектора

и углы

= 45°,

= 60°,

=120°. Вычислить проекции вектора а на координатные оси.

754. Вычислить направляющие косинусы вектора а ={12; —15; —16}.

755. Вычислить направляющие косинусы вектора

756. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 1)

= 45°,

= 60°,

= 120°; 2)

= 45°,

=135°,

= 60°; 3)

= 90°,

=150°;

= 60°?

757. Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы: 1)

= 30°,

= 45°; 2)

= 60°,

= 60°; 3)

= 150°,

= 30°?

758. Вектор составляет с осями Ох и Oz углы

=120° и

= 45°. Какой угол он составляет с осью Оу?

759. Вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу углы

= 60°,

= 120°. Вычислить его координаты при условии, что

.

760. Определить координаты точки М, если её радиус—вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.

Учащимся

Учителям