§ 15. Уравнение пучка прямых

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 15. Уравнение пучка прямых
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром S.

Если A₁x + B₁y + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С₂ = 0 — уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение

 (А₁х + В₁у + С₁) +  (А₂х + В₂у + С₂) = 0, (1)

где ,  — какие угодно числа, не равные одновременно нулю, определяет прямую, также проходящую через точку S.

Более того, в уравнении (1) числа ,  всегда возможно подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение вида (1) называется уравнением пучка (с центром S).

Если   0, то, деля обе части уравнения (1) на  и полагая

получим:

A₁x+B_ly + C₁ + (A₂x + B₂y + C₂) = 0. (2)

Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с центром S, кроме той, которая соответствует  = 0, т. е. кроме прямой (A₂x + B₂y + C₂) = 0.

353. Найти центр пучка прямых, данного уравнением

 (2х+3у— 1) + (х — 2у — 4) = 0.

354. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых

 (х + 2у —5) +  (3х —2у+1) = 0 и

1) проходящей через точку А(3; —1);

2) проходящей через начало координат;

3) параллельной оси Ох;

4) параллельной оси Оу;

5) параллельной прямой 4х + 3у — 5 = 0;

6) перпендикулярной к прямой 2х + 3у + 7 = 0.

355. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

3х —2у + 5 = 0, 4х + 3у—1=0

и отсекающей на оси ординат отрезок b = — 3. Решить задачу, не определяя координат точки пересечения данных прямых.

356. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых

2х + у —2 = 0, х —5у —23 = 0

и делит пополам отрезок, ограниченный точками М₁(5; —6) и М₂(—1; —4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

357. Дано уравнение пучка прямых
(3х—4у—3) + (2х + 3у—1) = 0.
Написать уравнение прямой этого пучка, проходящей через центр тяжести однородной треугольной пластинки, вершины которой суть точки А(—1; 2), В(4; —4) и С(6; —1).

358. Дано уравнение пучка прямых
 (3х — 2у— 1) +  (4х — 5у + 8) = 0.
Найти прямую этого пучка, проходящую через середину отрезка прямой

х + 2у + 4 = 0,

заключённого между прямыми

2х + 3у + 5 = 0, х + 7у — 1 = 0.

359. Даны уравнения сторон треугольника

х + 2у — 1 = 0, 5х + 4у—17 = 0, х — 4у + 11 = 0.

Не определяя координат его вершин, составить уравнения высот этого треугольника.

360. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

2x + 7y — 8 = 0, 3х + 2у + 5 = 0

под углом в 45° к прямой

2х + 3у —7 = 0.

Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

361. В треугольнике ABC даны уравнения высоты AN: x + 5y — 3 = 0, высоты BN: х + у — 1 = 0 и стороны АВ: х + 3у — 1 = 0. Не определяя координат вершин и точки пересечения высот треугольника, составить уравнение двух других сторон и третьей высоты.

362. Составить уравнения сторон треугольника ABC, зная одну его вершину А(2; — 1), а также уравнения высоты

7х — 10у + 1 = 0

и биссектрисы

3х — 2у + 5 = 0,

проведённых из одной вершины. Решить задачу, не вычисляя координат вершин В и С.

363. Дано уравнение пучка прямых

(2х + у + 8) + (х + у + 3) = 0.

Найти прямые этого пучка, отрезки которых, заключённые между прямыми

х—у —5 = 0, х—у —2 = 0,

равны /5.

364. Дано уравнение пучка прямых

(3х + у — 1) + (2х — у — 9) = 0.

Доказать, что прямая

х + 3у + 13 = 0

принадлежит этому пучку.

365. Дано уравнение пучка прямых

(5х + 3у + 6) + (3х — 4у — 37) = 0.

Доказать, что прямая

7х + 2у — 15 = 0

не принадлежит этому пучку.

366. Дано уравнение пучка прямых

(3х + 2у — 9) +  (2х + 5у + 5) = 0.

Найти, при каком значении С прямая

4х —3у + С = 0

будет принадлежать этому пучку.

367. Дано уравнение пучка прямых

(5x + 3у —7) + (3х + 10у + 4) = 0.

Найти, при каких значениях а прямая

х + 5у + 9 = 0

не будет принадлежать этому пучку.

368. Центр пучка прямых

(2х — 3у + 20) + (3х + 5у — 27) = 0

является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой

х+7у—16 = 0.

Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

369. Дано уравнение пучка прямых

(2х+5у + 4) + (3х —2у+25) = 0.

Найти прямую этого пучка, отсекающую на координатных осях отличные от нуля отрезки равной величины (считая от начала координат).

370. Дано уравнение пучка прямых

(2х+у+1) + (х — 3у— 10) = 0.

Найти прямые этого пучка, отсекающие на координатных осях отрезки равной длины (считая от начала координат).

371. Дано уравнение пучка прямых

(21х + 8у— 18) + (11х+Зу+12) = 0.

Найти прямые этого пучка, отсекающие от координатных углов треугольники с площадью, равной 9 кв. ед.

372. Дано уравнение пучка прямых

(2х+у + 4) + (х —2у —3) = 0.

Доказать, что среди прямых этого пучка существует только одна прямая, отстоящая от точки Р(2; —3) на расстоянии d =

. Написать уравнение этой прямой.

373. Дано уравнение пучка прямых

(2х — у — 6) + (х — у — 4) = 0.

Доказать, что среди прямых этого пучка нет прямой, отстоящей от точки Р(3; —1) на расстоянии d = 3.

374. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3х+у — 5 = 0, х — 2у+10 = 0 и отстоящей от точки С(— 1; —2) на расстоянии d = 5. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

375. Дано уравнение пучка прямых

(5х + 2у + 4) + (х + 9у — 25) = 0.

Написать уравнения прямых этого пучка, которые вместе с прямыми

2х—3у + 5 = 0, 12х + 8у —7 = 0

образуют равнобедренные треугольники.

376. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых

11х + 3у —7 = 0, 12х+у—19 = 0

на одинаковых расстояниях от точек А(3;—2) и В(—1; 6). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

377. Даны уравнения двух пучков прямых

₁(5x + 3y — 2) + ₁(3х — у — 4) = 0,

₂(х—у+1) + ₂(2х—у —2) = 0.

Не определяя их центров, составить уравнение прямой, принадлежащей обоим пучкам.

378. Стороны АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD заданы соответственно уравнениями

5х+у+13 = 0, 2х —7у—17 = 0,

3х+2у—13 = 0, 3х—4у+17 = 0.

Не определяя координат вершин этого четырёхугольника, составить уравнение его диагоналей АС и BD.

379. Центр пучка прямых

а(2х + 3у + 5) + (3х — у + 2) = О

является одной из вершин треугольника, две высоты которого даны уравнениями

х — 4у + 1=0, 2х + у + 1= 0.

Составить уравнения сторон этого треугольника.

Учащимся

Учителям