40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

40. Нормальное уравнение плоскости.

Расстояние от точки до плоскости.
Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, написанное в виде

x cos α + y cos β + z cos — p = 0, (1)

где cos α, cos β, cos  суть направляющие косинусы нормали плоскости, р — расстояние до плоскости от начала координат. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Пусть М* — какая угодно точка пространства, d — расстояние от неё до данной плоскости. Отклонением о точки М* от данной плоскости называется число + d, если точка М* и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число — d, если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если М* лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).

Если точка М* имеет координаты x*, у*, z*, а плоскость задана нормальным уравнением

x cos α + y cos β + z cos — p = 0, то отклонение точки М* от этой плоскости даётся формулой

δ = x*cos α + y* cos β + z* cos — p

Очевидно, d= | δ |.

Общее уравнение плоскости

Ах + By + Cz + D = 0

приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой

;

знак нормирующего множителя берётся противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

956. Определить, какие из следующих уравнений плоскостей являются нормальными:

1)

х —

у—

z — 5 = 0; 2)

х +

y —

z — 3 = 0;

3)

x —

y +

z + 5 = 0; 4) —

х +

у —

z — 5 = 0;

5)

х +

z —3 = 0; 6) —

y +

z +1 = 0

7)

y +

z —1 = 0; 8)

х —

y + 5 = 0

9) х— 1= 0; 10) у + 2 = 0;

11) – y —2 = 0; 12) z —5 = 0.

957. Привести каждое из следующих уравнений плоскостей к нормальному виду:

1) 2х —2у + 2 —18 = 0; 2) х — у —z

+ 16 = 0;

3) 4х — 6у — 12z — 11=0; 4) — 4x — 4у + 2z + 1 =0;

5) 5у — 12z + 26 = 0; 6) 3х — 4у — 1=0;

7) у + 2 = 0; 8) —х + 5 = 0;

9) — z + 3 = 0; 10) 2z — 1= 0.

958. Для каждой из следующих плоскостей вычислить углы α, β и , образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат:

1) х + у

+z—10 = 0; 2) х —у — z

+16 = 0;

3) х + z —6 = 0; 4) у — z + 2 = 0; 5) х

+у + 10 = 0;

6) z— 2 = 0; 7) 2х + 1 = 0; 8) 2у + 1=0;

9) х — 2у + 2z — 6 = 0; 10) 2х +3у — 6z + 4 = 0.

959. Вычислить величину отклонения

и расстояние d точки от плоскости в каждом из следующих случаев:

1) М₁(—2; — 4; 3), 2х— у + 2z + 3 = 0;

2) М₂ (2; — 1; — 1), 16х—12у + 15г —4 = 0;

3) М₃(1; 2; — 3), 5х—3у+ z+4 = 0;

4) М₄(3; —6; 7), 4х — 3z— 1=0;

5) М₅(9; 2; —2), 12у —5z + 5 = 0.

960. Вычислить расстояние d от точки Р (—1; 1; —2) до плоскости, проходящей через три точки М₁ (1; —1; 1), М₂(—2, 1; 3) и М₃(4; —5; —2).

961. Определить, лежат ли точка Q(2; — 1; 1) и начало координат по одну или по разные стороны относительно каждой из следующих плоскостей:

1) 5х — 3у + z — 18 = 0; 2) 2х +7у + 3z + 1 = 0;

3) х + 5у + 12z — 1 = 0; 4) 2х—у + z + 11 = 0;

5) 2х + 3у —6z + 2 = 0; 6) 3х — 2у + 2z — 7 = 0.

962. Доказать, что плоскость 3х — 4у — 2z + 5 = 0 пересекает отрезок, ограниченный точками M₁(3; —2; 1) и M₂(—2; 5; 2).

963. Доказать, что плоскость 5х — 2у + z — 1= 0 не пересекает отрезка, ограниченного точками M₁(1; 4; —3) и M₂(2; 5; 0).

964. В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

1) х — 2у — 2z— 12 = 0, 2) 2х—3у + 6z—14 = 0,

х — 2у — 2z — 6 = 0; 4х —6у + 12z + 21 =0;

3) 2х — y + 2z + 9 = 0, 4) 16х + 12у — 15г + 50 = О,

4х —2у + 4z —21=0; 16х+ 12у — 15z + 25 = 0;

5) 30х — 32у + 24z—75=0, 6) 6х—18у—9z —28 = 0,

15х — 16у + 12z—25 = 0; 4х—12у—6г— 7 = 0.

965. Две грани куба лежат на плоскостях

2х —2у + 2—1=0, 2х —2у + z + 5 = 0.

Вычислить объём этого куба.

966. На оси Оу найти точку, отстоящую от плоскости х + 2у— 2z— 2 = 0 на расстоянии d = 4.

987. На оси Oz найти точку, равноудалённую от точки М(1; —2; 0) и от плоскости 3х — 2у + 6z — 9 = 0.

968. На оси Ох найти точку, равноудалённую от двух плоскостей:

12х—16у+15z+1=0, 2х + 2у — г— 1=0.

969. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости 4х — 4у — 2z + 3 = 0 равно 2.

970. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости 6х + 3у + 2z—10 = 0 равно —3.

971. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2х—2у—z — 3 = 0 и отстоящих от неё на расстоянии d=5.

972. В каждом из следующих случаев составить уравнение геометрического места точек, равноудалённых от двух параллельных плоскостей:

1) 4х — у — 2z — 3 = 0; 2) 3х + 2у — z + 3 = 0,

4х—у —2z —5 = 0; 3х + 2у — z — 1=0;

3) 5х — 3у + 2 + 3 = 0,

10х — 6у + 2z + 7 = 0.

973. В каждом из следующих случаев составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные двумя пересекающимися плоскостями:

1) х — 3у + 2z — 5 = 0, 2) 5х — 5у — 2z — 3 = 0,

3х —2у — z + 3 = 0; х + 7у —2z + 1=0;

3) 2х— у + 5z + 3 = 0, 2х— 10у + 4z — 2 = 0.

974. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точка M ₁(2; —1; 3) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:

1) 2х—у + 32 — 5 = 0, 2) 2х + 3у — 5z — 15 = 0,

3х + 2у —z+3 = 0; 5х—у —3z —7 = 0;

3) х + 5у —z +1 = 0, 2х+17у + z + 2 = 0.

975. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точки М(2; —1; 1) и N (1; 2; —3) в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:

1) 3х—у + 2z —3 = 0, 2) 2х—у + 5z—1=0,

х — 2у —z + 4 = 0; 3х —2у +6z—1=0.

976. Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями: х — 2у + 3z — 5 = 0, 2х —у —z + 3 = 0.

977. Определить, лежит ли точка М(3; 2; —1) внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями: 5х—у + z + 3 = 0, 4х — 3у + 2z +5 = 0.

978. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями 2х—14у + 6z – 1 =0, 3х + 5у — 5z + 3 = 0, в котором лежит начало координат.

979. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями 2х—у + 22 — 3 = 0, 3х + 2у — 6z —1=0, в котором лежит точка М(1; 2; —3).

980. Составить уравнение плоскости, которая делит пополам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями: 2х — 3у — 42 — 3 = 0, 4х — 3у — 2z — 3 = 0.

981. Составить уравнение плоскости, которая делит пополам тупой двугранный угол, образованный двумя плоскостями: 3х — 4у — z + 5=0, 4х —3 у + z +5 = 0.

Учащимся

Учителям