Решение*). Пусть м ( r

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 45. Уравнения плоскости, прямой и

сферы в векторной символике
В дальнейшем символ М (г) означает, что r есть радиус-вектор точки М.

1121. Составить уравнение плоскости α, которая проходит через точку M₀(r₀) и имеет нормальный вектор п.

Р е ш е н и е*). Пусть М (r) — произвольная точка. Она лежит в плоскости о в том и только в том случае, когда вектор

перпендикулярен к п. Признаком перпендикулярности векторов является равенство нулю их

скалярного произведения. Таким образом,

в в том и только в том случае, когда

n =0 (1)

Выразим вектор

через радиус-векторы его конца и начала:

=r-r₀

Отсюда и из (1) находим: (r-r₀) n=1 (2)

Это есть уравнение плоскости а в векторной символике; ему удовлетворяет радиус-вектор r точки М в том и только в том случае, когда М лежит, на плоскости α [r называется текущим радиус-вектором уравнения (2)].

*) Задачи 1121 и 1129 существенны для правильного понимания задач этого параграфа. Их решения приводятся в текие.

1122. Доказать, что уравнение r n + D = 0 определяет плоскость, перпендикуляр-ную к вектору n. Написать уравнение этой плоскости в координатах при условии, что n = {А; В; С}.

1123. Даны единичный вектор n⁰ и число р>0. Доказать, что уравнение

rn⁰— p = 0

определяет плоскость, перпендикулярную к вектору n⁰и что р есть расстояние от начала координат до плоскости. Написать уравнение этой плоскости в координатах при условии, что вектор n⁰ образует с координатными осями углы α, β и γ.

1124. Вычислить расстояние d от точки M₁(r₁) до плоскости rn⁰— p = 0. Выразить расстояние d также в координатах при условии, что

r₁ = {x₁, у₁, z₁,}, n⁰ = {cos α, cos β, cos γ}.

1125. Даны две точки М₁(r₁) и M₂(r₂). Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₁ перпендикулярно к вектору

. Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что

r₁ = {x₁, у₁, z₁,}, r₂ = {x₂, у₂, z₂,}.

1126. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁(r₀) параллельно векторам a₁ и а₂. Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что

r₀ = {x₀, у₀, z₀,}, a₁ = {l₁; т₁, п₁,}, а₂ = {l₂; т₂, п₂,},

1127. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M₁(r_i), M₂(r₂) и М₃(г₃). Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что

r₁ = {x₁, у₁, z₁,}, r₂ = {x₂, у₂, z₂,}, r₃ = {х₃; у₃; z₃}.

1128. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(r₀) перпендикулярно к плоскостям:

rn₁ + D₁ = 0, rn₂ + D₂ = 0.

Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что

r₀ = {x₀, у₀, z₀,}, n₁ = {А₁; В₁, С₁}, п₂ = {А₂, В₂; C₂}.

1129. Доказать, что уравнение

[(r — r₀)а] = 0

определяет прямую, которая проходит через точку М₀ (r₀,) параллельно вектору а, т. е. что этому уравнению удовлетворяет радиус-вектор r точки М(r) в том и только в том случае, когда М лежит на указанной прямой.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку М(r). Пусть r удовлетворяет данному уравнению; по правилу вычитания векторов r — r₀ = М₀М₁; так как [(r — r₀) а] = 0, то [М₀М а] = 0; следовательно, вектор М₀М коллинеарен вектору а. Значит, точка М действительно лежит на прямой, которая проходит через М₀ в направлении вектора а. Обратно, пусть М лежит на этой прямой. Тогда М_йМ коллинеарен а. Следовательно, [М₀Ма] = 0; но М₀М= r — r₀; отсюда [(r — r₀) а] = 0. Итак, заданному уравнению удовлетворяет радиус-вектор r точки М в том и только в том случае, когда М лежит на указанной прямой (r называется текущим радиус-вектором уравнения).
1130. Доказать, что уравнение

[rа] = т

определяет прямую, параллельную вектору а.

1131. Доказать, что параметрическое уравнение

r = r₀ + at,

где t—переменный параметр, определяет прямую, которая проходит через точку M₀(r₀) (т. е. при изменении t точка М(r) движется по указанной прямой). Написать в координатах канонические уравнения этой прямой при условии, что

r₀ = {x₀, у₀, z₀,}, a = {l; т, п,}.

1132. Прямая проходит через две точки: М₁(r₁). и М₂(r₂). Составить её уравнения в виде, указанном в задачах 1129, 1130, 1131.

1133. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(r₁) перпенди-кулярно к прямой r = r₀ + at. Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что

r₁ = {x₁, у₁, z₁,}, a = {l; т, п,}.

1134. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(r₀) параллельно прямым [rа₁] = m₁, [rа₁] = т₂.

1135. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(r₀) перпендику-лярно к плоскостям

rn₁ + D₁ = 0, rn ₂ + D₂= 0.

1136. Прямая проходит через точку М₀(r₀) перпендикулярно к плоскости rn + D = 0. Составить её уравнение в параметрическом виде. Написать каноничес-кие уравнения этой прямой в координатах при условии, что

r₀ = {x₀, у₀, z₀,}, n = {A; B, C,}.

1137. Прямая проходит через точку М₀(r₀) параллельно плоскостям rn₁ + D₁ = 0, rn ₂ + D₂= 0. Составить её уравнение в параметрическом виде. Написать канони-ческое уравнение этой прямой в координатах при условии, что

r₀ = {x₀, у₀, z₀,}, n₁= {A₁; B₁; С₁}, n₂ = { А₂; В₂; С₂}.

1138. Вывести условие, при котором прямая r = r₀ + at лежит на плоскости rn + D = 0. Написать это условие также в координатах при условии, что

r₀ = {x₀, у₀, z₀,}, a = {l; т, п,}, n = { А; В; С}.

1139. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую r = r₀ + a₁t параллельно прямой
[rа₂] = т.

1140. Вывести условие, при котором две прямые
r = r₁ + a₁t и r = r₂ + a₂t

лежат в одной плоскости.

1141. Найти радиус-вектор точки пересечения прямой r = r₀ + at и плоскости rn + D = 0. Вычислить также координаты х, у, z точки пересечения при условии, что
r₀ = {x₀, у₀, z₀,}, a = {l; т, п,}, n = { А; В; С}.

1142. Найти радиус-вектор проекции М₁(r₁) на плоскость rn + D = 0. Вычислить также координаты х, у, z этой проекции при условии, что
r₁ = {x₁, у₁, z₁,}, n = {А; В; С}.

1143. Найти радиус-вектор проекции точки М₁(r₁) на прямую r = r₀ + at. Вычислить также координаты х, у, z этой проекции при условии, что
r₁ = {x₁, у₁, z₁,}, r₀ = {x₀; у₀; z₀}, а = {l; т; п}.

1144. Вычислить расстояние d точки M_l(r_l) от прямой rn + D = 0. Выразить расстояние d также в координатах при условии, что
r₁ = {x₁, у₁, z₁,}, r₀ = {x₀; у₀; z₀}, а = {l; т; п}.

1145. Вычислить кратчайшее расстояние d между двумя скрещивающимися прямыми:
r = r₁ + a₁t и r = r₂ + a₂t.

Выразить расстояние d также в координатах при условии, что
r₁ = {x₁, у₁, z₁,}, r₂ = {x₂, у₂, z₂,},

а₁ = {l₁; т₁; п₁}, а₂ = {l₂; т₂; п₂}.

1146. Доказать, что уравнение
(r — r₀)² = R²

определяет сферу с центром С(r₀) и радиусом, равным R (т. е., что этому уравнению удовлетворяет радиус-вектор r точки М в том и только в том случае, когда М лежит на указанной сфере).

1147. Найти радиус-векторы точек пересечения прямой

r = at

и сферы

r² = R².

Вычислить также координаты точек пересечения при условии, что

а = {l; т; п}.

1148. Найти радиус-векторы точек пересечения прямой

r = r₀ + at

и сферы

(r — r₀)² = R².

Вычислить также координаты точек пересечения при условии, что

r₀ = {x₀; у₀; z₀}, а = {l; т; п}.

1149. Точка M₁(r₁) лежит на сфере
(r — r₀)² = R².

Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М₁.

1150. Составить уравнения сферы, которая имеет центр С(r₁) и касается плоскости rn + D = 0. Написать уравнение этой сферы также в координатах при условии, что

r₁ = {x₁, у₁, z₁,}, п = {А; В; С}.

1151. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере
r² = R²

и параллельных плоскости

rn + D = 0.

Написать уравнения этих плоскостей также в координатах при условии, что
п = {А; В; С}.

1152. Через точки пересечения прямой
r = r₀ + at

и сферы

(r — r₀)² = R²

проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения.

Написать уравнения этих плоскостей также в координатах при условии, что

r₀ = {x₀; у₀; z₀}, а = {l; т; п}.

Учащимся

Учителям