§ 32. Векторное произведение векторов

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 32. Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [а b] и определяемый следующими тремя условиями:

1) модуль вектора [a b] равен [a] [b] sin φ, где φ — угол между векторами а и b;

2) вектор [ab] перпендикулярен к каждому из векторов а и b;

3) направление вектора [ab] соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы а, b и [аb] приведены к общему началу, то вектор [аb] должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, .большой палец которой направлен по первому сомножителю (т. е. по вектору а), а указательный — по второму (т. е. по вектору b).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

[аb] = —[bа].

Модуль векторного произведения [ab] равен площади S параллелограмма, построенного на векторах а и b:

[ [аb]] = S.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

[ab] = Se,

где е — орт векторного произведения.

Векторное произведение [ab] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны. В частности [аа] = 0.

Если система координатных осей правая и векторы а и b заданы в этой системе своими координатами:

А = {X _1:; Y₁; Z₁}, b ={X _2:; Y₂; Z₂},

то векторное произведение вектора а на вектор b определяется формулой

[ab] =

839. Векторы а и b образуют угол φ =

. Зная, что | а | = 6, |b| = 5, вычислить

|[аb] | .

840. Даны: |а| = 10, |b| = 2 и a b=12. Вычислить |[аb] | .

841. Даны: |а| = 3, |b| = 26 и |[ab]| = 72. Вычислить аb.

842. Векторы а и b взаимно перпендикулярны. Зная, что |а|— = 3, |b|=4, вычислить:

1) |[(a + b) (a- b)]|; 2) | [(3a—b)(a—2b)]|.

843. Векторы а и b образуют угол φ =

. Зная, что |а| = 1, |b| = 2, вычислить:

1) [a b]²; 2) [(2а + b)(а + 2b)]²; 3) [(а + 3b)(3а — b)}²;

844. Какому условию должны удовлетворять векторы а, b, чтобы векторы а+ b и

a — b были коллинеарны?

845.Доказать тождество [a b]² + (a b)² = a²b².

846. Доказать, что

[a b]² ≤ а²b²;

в каком случае здесь будет знак равенства?

847. Даны произвольные векторы: р, q, r, п. Доказать, что векторы

а = [рп], b = [qn], c = [rn]

компланарны (т. е., будучи приведены к общему началу, располагаются в одной плоскости).

848. Векторы а, b и с удовлетворяют условию

а + b + с = 0.

Доказать, что

[ab] = [bc] = [ca].

849. Векторы а, b, с и d связаны соотношениями

[ab] = [cd]; [ac]= [bd].

Доказать коллинеарность векторов а — d и b — с.

850. Даны векторы

а = {3; — 1; — 2} и b = {1;2;—1}.

Найти координаты векторных произведений:

1) [ab]; 2) [(2a + b)b]; 3) [(2a —b )(2a + b)].

851. Даны точки А(2; — 1; 2), B(1;2; — 1) и C(3; 2; 1). Найти координаты векторных произведений 1) [

]; 2) [(

— 2

)

].

852. Сила f ={3; 2; —4} приложена к точке А(2; —1; 1). Определить момент этой силы относительно начала координат*).

853. Сила P={2; —4; 5} приложена к точке М ₀(4; —2; 3). Определить момент этой силы относительно точки А(3; 2; —1).

854. Сила Q={ 3; 4; —2} приложена к точке С(2; — 1; —2). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

855. Сила P = { 2; 2; 9 } приложена к точке А (4; 2; — 3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С(2; 4; 0).

856. Даны три силы М = { 2; — 1; — 3 }, N — {3; 2; — 1} и Р = { — 4; 1; 3}, приложенные к точке С(—1; 4; —2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки А (2; 3; —1).

857. Даны точки А(1; 2; 0), В(3; 0; — 3) и С(5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника ABC.

858. Даны вершины треугольника А(1; —1; 2), В(5; —6; 2) и С(1; 3; —1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

859. Вычислить синус угла, образованного векторами а = {2; —2; 1} и b = {2; 3; 6}.

860. Вектор х, перпендикулярный к векторам а = { 4; — 2; — 3 } и a = {0; 1; 3}, образует с осью Оу тупой угол. Зная, что |х| = 26, найти его координаты.

861. Вектор т, перпендикулярный к оси Oz и к вектору a = {8; —15; 3}, образует острый угол с осью Ох. Зная, что |m| = 51, найти его координаты.

862. Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен к векторам a = {2; —3; 1) и b = {1; —2; 3} и удовлетворяет условию:

x(i + 2j— 7k)=10.

86З. Доказать тождество

(l²₁ +m ²₁ + n ²₁) (l²₂ +m ²₂ + n ²₂)- (l₁l₂ +m₁m₂ + n₁n₂)²=

= (m₁n₂ + m₂n₁)²+ (l₂ n₁ -l ₂ n₁)²+ (l₁m₂- l₂m₁)²

У к а з а н и е. Воспользоваться тождеством задачи 845. 864. Даны векторы;

a = {2;— 3; 1}, b = {— 3;1;2} и c = {1;2;3}.

Вычислить [[ab] с] и [a [bc]}.

___________________________

*) Если вектор f изображает силу, приложенную к какой—нибудь точке М, а вектор а идёт из некоторой точки О в точку М, то вектор [af] представляет собой момент силы f относительно точки О.

Учащимся

Учителям