§ 23. Центр линии второго порядка

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 23. Центр линии второго порядка
Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде:

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0. (1),

Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Точка S (х₀; у_а) является центром линии, определяемой уравнением (1) в том и только в том случае, когда её координаты удовлетворяют уравнениям:

(2)

Обозначим через

определитель этой системы:

.

Величина

составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.

Если

 0, то система (2) является совместной и определённой, т. е. имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:



Неравенство

0 служит признаком центральной линии второго порядка.

Если S (х₀ , у₀) — центр линии второго порядка, то в результате преобразования координат по формулам

(что соответствует переносу начала координат в центр линии) её уравнение примет вид

,

где А, В, С — те же, что в данном уравнении (1), а

определяется формулой

В случае

 0 имеет место также следующая формула:

где

.

Определитель  называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.

665. Установить, какие из следующих линий являются центральными (т. е. имеют единственный центр), какие не имеют центра, какие имеют бесконечно много центров:

1) 3х² — 4ху — 2у² + 3х — 12у — 7 = 0;

2) 4х² + 5ху + 3y² — х + 9у — 12 = 0;

3) 4х² — 4ху +y² — 6х + 8у + 13 = 0;

4) 4х² — 4ху + y² — 12х + 6у — 11 = 0;

5) х² — 2ху + 4у² + 5х —7у+12=0;

6) х² — 2ху + у² — 6х + 6у — 3 = 0;

7) 4х² — 20ху + 25у² — 14х + 2у — 15 = 0;

8) 4х² — 6ху — 9у² + 3х — 7у + 12 = 0.

666. Установить, что следующие линии являются центральными, и для каждой из них найти координаты центра:

1) 3х² + 5ху +y² — 8х — 11у — 7 = 0;

2) 5х² + 4ху + 2y² + 20х+ 20у — 18 = 0;

3) 9х² — 4ху — 7y² — 12 = 0;

4) 2х² — 6ху + 5у² + 22х — 36у + 11 = 0.

667. Установить, что каждая из следующих линий имеет бесконечно много центров; для каждой из них составить уравнение геометрического места центров:

1) х² — 6ху + 9y²— 12х + 36y + 20 = 0;

2) 4х² + 4ху + у² — 8х — 4у — 21 = 0;

3) 25x² — 10ху + у² + 40х — 8у + 7 = 0.

668. Установить, что следующие уравнения определяют центральные линии; преобразовать каждое из них путём переноса начала координат в центр:

1) 3х² — 6ху + 2у² — 4х + 2у+1=0;

2) 6х² + 4ху +y² + 4х — 2у + 2=0;

3) 4х² + 6ху+у²— 10х —10 = 0;

4) 4х² + 2ху + 6y² + 6х — 10у + 9 = 0.

669. При каких значениях т и п уравнение

mх² + 12ху + 9у² + 4х + пу — 13 = 0

определяет:

а) центральную линию;

б) линию без центра;

в) линию, имеющую бесконечно много центров.

670. Дано уравнение линии 4х² — 4ху +у² + 6х + 1 =0.

Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая

у = kx

а) пересекает эту линию в одной точке;

б) касается этой линии;

в) пересекает эту линию в двух точках;

г) не имеет общих точек с этой линией.

671. Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит через точку М (6; —2) и касается прямой

х —2 = 0

в точке N (2; 0).

672. Точка Р (1; —2) является центром линии второго порядка, которая проходит через точку Q (0;—3) и касается оси Ох в начале координат. Составить уравнение этой линии.

Учащимся

Учителям