скачать doc
§ 14. Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой
Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведём через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовём его нормалью. Обозначим
ч
ерез Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.Если а есть полярный угол нормали, p — длина отрезка
(черт.10), то уравнение данной пря мой может быть записано в видех cos α + у sin α — р = 0;
уравнение этого вида называется нормальным.
Пусть дана какая—нибудь прямая и произвольная точка
Черт. 10 М*; обозначим через d расстояние точки М* от данной прямой. Отклонением
точки М* от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и — и, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой, = 0.)Если даны координаты x*, у* точки М* и нормальное уравнение прямой х cos α + у sin α -р = 0; то отклонение
точки М* от этой прямой может быть вычислено по формуле = х* соs α а + у*sin α — р.Таким образом, чтобы найти отклонение какой—нибудь точки М* от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки М*. Полученное число будет равно искомому отклонению.
Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: d =
Если дано общее уравнение прямой Аx+Bу+С=0, то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель μ., определяемый формулой
Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.
309. Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными:
1)
x—
y—3=0; 2) 
x—y—1 = 0;3)
х—
у + 2 = 0; 4) —х +у — 2 = 0;5) — х + 2 = 0; 6) х — 2 = 0; 7) у + 2 = 0; 8) — у — 2 = 0.
310. Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев:
1) 4х —3у—10 = 0; 2)
x —y+10 = 0;3) 12х — 5у + 13 = 0; 4) х + 2 = 0; 5) 2х — у —
= 0.311. Даны уравнения прямых:
1) х—2 = 0; 2) х + 2 = 0; 3) у —3 = 0; 4) у + 3 = 0;
5) х
+у—6 = 0; 6) х—у+2 = 0; 7) х + у+2 = 0;8) x cos —y sin — q = 0, q >0; — острый угол;
9) x cos + y sin + q = 0, q > 0; — острый угол.
Определить полярный угол нормали и отрезок р для каждой из данных прямых; по полученным значениям параметров и р построить эти прямые на чертеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считая = 30 и q = 2).
312. Вычислить величину отклонения и расстояние d точки от прямой в каждом из следующих случаев:
1)А(2;—1)) 4х + 3у+10 = 0;
2) В(0; — 3), 5х—12у—23=0;
3) Р(—2; 3), 3х —4у —2 = 0;
4) Q(l; —2), х—2у —5 = 0.
313. Уcтaнoвить, лежит ли точка М(1; —3) и начало координат по одну или по разные стороны каждой из следующих прямых:
1) 2х—у + 5 = 0; 2) х —3у —5 = 0; 3) 3х+2у—1 = 0;
2) х—3у + 2 = 0; 5) 10х + 24у+15 = 0.
314. Точка А(2; —5) является ве2шиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой
х — 2у — 7 = 0.
Вычислить площадь этого квадрата.
315. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
3х —2у — 5 = 0, 2х + 3у + 7 = 0
и одна из его вершин А(—2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.
316. Дoкaзaть, что прямая
2х+у+3 = 0
пересекает отрезок, ограниченный точками А(—5; 1) и В(3; 7).
317. Доказать, что прямая
2х —3у+6 = 0
не пересекает отрезка, ограниченного точками М1(—2; —3) и М2(1; —2).
318. Последовательные вершины четырёхугольника суть точки А(—3; 5), В(— 1; —4), С(7; — 1) и D(2; 9). Установить, является ли этот четырёхугольник выпуклым.
319. Последовательные вершины четырёхугольника суть точки А(—1; 6), B(1; —3), С(4; 10) и D(9; 0). Установить, является ли этот четырёхугольник выпуклым.
320. Даны вершины треугольника: А(—10; —13), В(—2; 3) и С(2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведённую из вершины С.
321. Стороны АВ, ВС и СА треугольника ABC соответственно даны уравнениями
х + 21у — 22 = 0, 5х — 12у + 7 = 0, 4х — 33у + 146 = 0.
Вычислить расстояние от центра тяжести этого треугольника до стороны ВС.
322. Вычислить расстояние d между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:
1) 3х —4у—10 = 0, 2) 5х—12у + 26 = 0,
6х —8у + 5 = 0; 5х—12у—13 = 0;
3) 4х — 3у + 15 = 0, 4) 24х—10у + 39 = 0,
8х—6у + 25 = 0; 12х —2у —26 = 0.
323. Две стороны квадрата лежат на прямых
5х — 12у — 65 = 0, 5х — 12у + 26 = 0.
Вычислить его площадь.
324. Доказать, что прямая
5х — 2у — 1 = 0
параллельна прямым
5х —2у + 7 = 0, 5х —2у —9 = 0
и делит расстояние между ними пополам.
325. Даны три параллельные прямые
10х+15у —3 = 0, 2х+3у + 5 = 0, 2х+3у —9 = 0.
Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.
326. Доказать, что через точку Р(2; 7) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(l; 2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых.
327. Доказать, что через точку Р(2; 5) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(5; 1) были равны 3. Составить уравнения этих прямых.
328. Доказать, что через точку С(7; — 2) можно провести только одну прямую так, чтобы расстояние её от точки А(4; —6) было равно 5. Составить её уравнение.
329. Доказать, что через точку В (4; —5) невозможно провести прямую так, чтобы расстояние её от точки С(—2; 3) было равно 12.
330. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от прямой 8х—15у — 25 = 0 равно —2.
331. Составить уравнения прямых, параллельных прямой 3х—4у— 10 = 0 и отстоящих от неё на расстоянии d=3.
332. Даны две смежные вершины квадрата А(2; 0) и В(—1; 4). Составить уравнения его сторон.
333. Точка А(5; —1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой
4х — 3у — 7 = 0.
Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
334. Даны уравнения двух сторон квадрата
4х —3у + 3 = 0, 4х—3у—17 = 0
и одна из его вершин А(2; —3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.
335. Даны уравнения двух сторон квадрата
5х+12у—10 = 0, 5х+12у+29 = 0.
Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка M1(—3; 5) лежит на стороне этого квадрата.
336. Отклонения точки М от прямых
5х—12у—13=0 и 3х —4у—19 = 0
равны соответственно — 3 и — 5. Определить координаты точки М.
337. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(—2; 3) на одинаковых расстояниях от точек А(5; — 1) и В(3; 7).
338. Составить уравнение геометрического места точек, равноудалённых от двух параллельных прямых:
1) 3х — у + 7 = 0, 2) х — 2у + 3 = 0, 3) 5х — 2у — 6 = 0,
3х — у — 3 = 0; х —2у + 7 = 0; х —4у + 3 = 0.
339. Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:
1) х — 3у + 5 = 0, 2) х — 2у — 3 = 0, 3) 3х + 4у — 1 = 0,
3х—у —2 = 0; 2х + 4у + 7 = 0; 5х + 12у — 2 = 0.
340. Составить уравнения прямых, которые проходят через точку Р(2; —1) и вместе с прямыми
2х— у + 5 = 0, 3х + 6у — 1 = 0
образуют равнобедренные треугольники.
341. Определить, лежат ли точка М (1; —2) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:
1) 2х—у —5 = 0, 2) 4х+3у—10 = 0, 3) х — 2у— 1=0,
3х+у+10 = 0; 12х—5у —5 = 0; 3х—у —2 = 0.
342. Определить, лежат ли точки М (2; 3) и N (5; —1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:
1) х—3у—5 = 0, 2)2х+7у —5 = 0, 3) 12х+у— 1=0,
2х+9у —2 = 0; х + 3у + 7 = 0; 13х + 2у—5 = 0.
343. Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями
7х —5у—11=0, 8х + 3у + 31=0, х + 8у—19 = 0.
344. Определить, лежит ли точка М (— 3; 2) внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями
х + у —4 = 0, 3х — 7у + 8 = 0, 4х — у — 31 = 0.
345. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми
3х — 2у + 5 = 0 и 2х + у — 3 = 0,
содержит начало координат.
346. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми
3х —5у —4 = 0 и х + 2у + 3 = 0,
содержит точку М (2; — 5).
347. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми 3х—у—4= 0 и 2х+6у+3 = 0, в котором лежит начало координат.
348. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми
х—7у+5= 0, 5х+5у—3 = 0,
смежного с углом, содержащим начало координат.
349. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми х + 2у—11 = 0 и 3х — 6у — 5 = 0, в котором лежит точка М(1; —3).
350. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми
2х — 3у — 5 = 0, 6х — 4у + 7 = О,
смежного с углом, содержащим точку С (2; —1).
351. Составить уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя прямыми
3x+4y —5 = 0, 5х—12у+3 = 0.
352. Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного двумя прямыми х—3у+ 5 = 0, 3х—у+15 = 0.