§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 25. Приведение к простейшему виду

параболического уравнения
Пусть уравнение

(1)

является параболическим, т. е. удовлетворяет условию

.

В этом случае линия, определяемая уравнением (1), либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение параболического уравнения целесообразно начать с поворота координатных осей, т. е. сначала преобразовать уравнение (1) при помощи формул

(2)

Угол

следует найти из уравнения

(3)

тогда в новых координатах уравнение (1) приводится либо к виду

, (4)

где

, либо к виду

(5)

где

.

Дальнейшее упрощение уравнений (4) и (5) достигается путём параллельного перенесения (повёрнутых) осей.
689. Установить, что каждое из следующих уравнений является параболическим; каждое из них привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:

1) 9х² —24ху+16у² —20х+110у —50 = 0;

2) 9х² + 12ху + 4у² — 24х — 16у + 3 = 0;

3) 16х² — 24ху + 9у^а — 160х+ 120у + 425 = 0.

690. То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:

1) 9х² + 24ху+16у²—18х + 226у +209 = 0;

2) х² — 2ху+у² — 12х+12у— 14 = 0;

3) 4х² + 12ху + 9у² —4х —6у+1=0.

691. Для любого параболического уравнения доказать, что коэффициенты А и С не могут быть числами разных знаков и что они одновременно не могут обращаться в нуль.

692. Доказать, что любое параболическое уравнение может быть написано в виде:

Доказать также, что эллиптические и гиперболические уравнения в таком виде не могут быть написаны.

693. Установить, что следующие уравнения являются параболическими, и записать каждое из них в виде, указанном в задаче 692:

1) х² + 4ху + 4у² + 4х+у—15 = 0;

2) 9х² —6ху+у² —х + 2у—14 = 0;

3) 25х² — 20ху + 4у² + 3х —у +11=0;

4) 16х²+16ху + 4у² — 5х + 7у = 0;

5) 9х² — 42ху + 49у² + 3х — 2у — 24 = 0.

694. Доказать, что если уравнение второй степени является параболическим и написано в виде

то дискриминант его левой части определяется формулой

.

695. Доказать, что параболическое уравнение

при помощи преобразования

приводится к виду

где

— дискриминант левой части данного уравнения.

696. Доказать, что параболическое уравнение определяет параболу в том и только в том случае, когда

. Доказать, что в этом случае параметр параболы определяется формулой

697. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти параметр этой параболы:

1) 9х² + 24ху+16у² — 120х + 90у = 0;

2) 9х² — 24ху+16у² — 54х—178у+181=0;

3) х² —2ху+у² + 6х—14у + 29 = 0;

4) 9х² — 6ху +у² — 50х + 50у — 275 = 0.

698. Доказать, что уравнение второй степени является уравнением вырожденной линии в том и только в том случае, когда

= 0.

699. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару параллельных прямых, и найти их уравнения:

а) 4х² + 4ху+у² —12х —6у + 5 = 0;

б) 4х² — 12ху + 9у² + 20х — 30у — 11 = 0;

в) 25х² — 10xу +у² + 10х — 2у —15 = 0.

700. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет одну прямую (пару слившихся прямых), и найти уравнение этой прямой:

а) х² —6ху + 9у² + 4х—12у + 4 = 0;

б) 9х² + 30ху + 25у² + 42х + 70у + 49 = 0;

в) 16х²—16ху+4у² —72х+36у + 81=0.

Учащимся

Учителям