§ Функция двух переменных

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 8. Функция двух переменных
Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число и, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости) «задана функция точки»; задание функции символически выражают равенством вида u=f(M). Число и, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М. Например, если А — фиксированная точка плоскости, М — произвольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В данном случае f(M) = AM.

Пусть дана некоторая функция u=f(M) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами х, у. Соответственно этому и значение данной функции в точке М определяется координатами х, у, или, как ещё говорят, u=f(M) есть функция двух переменных х к у. Функция двух переменных х, у обозначается символом f (х, у); если f(M)=f(x, у), то формула u=f(x, у) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере f(M) = AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:

u =

.

146. Даны две точки Р и Q, расстояние между которыми равно а, и функция f(M) = , где d₁ = МР и d₂ = MQ. Определить выражение этой функции, если в качестве начала координат принята точка Р, а ось Ох направлена по отрезку PQ.

147. При условиях задачи 146 определить выражение функции f(M) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 146), если:

1) начало координат выбрано в середине отрезка PQ, ось Ох направлена по отрезку PQ;

2) начало координат выбрано в точке Р, а ось Ох направлена по отрезку QP.

148. Даны: квадрат ABCD со стороной а и функция f(M) = , где d₁= MA, d₂ = MB, d₃ = MC и d₄ = MD. Определить выражение этой функции, если за оси координат приняты диагонали квадрата (причём ось Ох направлена по отрезку АС, ось Оу — по отрезку BD).

149. При условиях задачи 148 определить выражение для f(M) (непосредствен-но и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 148), если начало координат выбрано в точке А, а оси координат направлены по его сторонам (ось Ох — по отрезку АВ, ось Оу — по отрезку AD).

150. Дана функция f(x, у) = х²+у²—6х+8у. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку О'(3; -4).

151. Дана функция f(x, у) = х²—у²—16. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повёрнуты на угол — 45°.

152. Дана функция f(x, у) = х²+у². Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повёрнуты на некоторый угол .

153. Найти такую точку, чтобы при переносе в неё начала координат выражение функции f(x, у) = х²—2xy + у²— 6х + 3 после преобразования не содержало членов первой степени относительно новых переменных.

154. Найти такую точку, чтобы при переносе в неё начала координат выражение функции f(x, y) = х²—4ху+4у²+2х+y—7 не содержало членов первой степени относительно новых переменных.

155. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы выражение функции f(x, у) = х²— 2ху +у²— 6x + 3 после преобразования не содержало члена с произведением новых переменных?

156. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы выражение функции f(x, у) = Зх²+2

ху+у² после преобразования не содержало члена с произведением новых переменных.

Учащимся

Учителям