§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 9. Понятие уравнения линии.

Задание линии при помощи уравнения

Равенство вида F(x, y) = 0 называется уравнением с двумя переменными x, у, если оно справедливо не для всяких пар чисел х, у. Говорят, что два числа x = x₀, у=у_0, удовлетворяют некоторому уравнению вида F(х, у)=0, если при подстановке этих чисел вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается в нуль.

Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(х, у) = 0» мы часто будем говорить короче: дана линия F (х, у) = 0.

Если даны уравнения двух линий F (х, у) = 0 и Ф(х, y) = Q, то совместное решение системы

даёт все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения.

*) В тех случаях, когда система координат не названа, подразумевается, что она — декартова прямоугольная.
157. Даны точки *) M₁(2; — 2), M₂(2; 2), M ₃(2; — 1), M ₄(3; —3), M₅(5; —5), M₆(3; —2). Установить, какие изданных точек лежат на линии, определённой уравнением х + у = 0, и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить её на чертеже.)

158. На линии, определённой уравнением х²+y² =25, найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: а) 0, б) — 3, в) 5, г) 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: д) 3, е) — 5, ж) — 8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить её на чертеже.)

159. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями (построить их на чертеже):

1) х — у = 0; 2) х + у = 0; 3) x — 2 = 0; 4) x + 3 = 0;

5) у — 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) x² — xy = 0; 10) xy + y² = 0; 11) x² — y² = 0; 12) xy = 0;

13) y² — 9 = 0; 14) xy² — 8 xy +15 = 0; 15) y²+5y+4 = 0;

16) х²у — 7ху + 10y = 0; 17) у = |x|; 18) х = |у |; 19) y + |x|=0;

20) х + |у |= 0; 21) у = |х— 1|; 22) y = |x + 2|; 23) х² + у² = 16;

24) (x—2)²+(y—1)²=16; 25) (x + 5)²+(y—1)² = 9;

26) (х — 1)²+ y² = 4; 27) x²+(y + 3)² = 1; 28) (x —3)²+ y² = 0;

29) х²+ 2y² = 0; 30) 2 х²+ 3y² + 5 = 0

31) ( x— 2)²+ (y + 3)² + 1=0.
160. Даны линии:

1) х + у = 0; 2) х — у = 0; 3) x²+ y² — 36 = 0;
4) x²+y ²—2x==0; 5) x²+y ²+ 4x—6y—1 =0.

Определить, какие из них проходят через начало координат.

161. Даны линии:

1) x²+ y ² = 49; 2) (x — 3)² + (y + 4)² = 25;

3) (x + 6)²+ (y — 3)² = 25; 4) (x + 5)²+ (y — 4)² = 9;

5) x²+ y²— 12х + 16у = 0; 6) x²+ y²— 2х + 8у + 7 = 0;

7) x²+ y²— 6х + 4у +12 = 0.

Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.

162. Найти точки пересечения двух линий;

1) х²+у² = 8, х—у = 0;

2) х²+у²—16x+4у+18 = 0, х + у = 0;

3) х²+у²—2x+4у —3 = 0, х²+ у² = 25;

4) х²+у² —8x+10у+40 = 0, х²+ у² =4.

163. В полярной системе координат даны точки

М₁(1;

), М₂(2; 0), М₃(2;

)

М₄(

;

) и М₅(1;

)

Установить, какие из этих точек лежат на линии, определённой уравнением в полярных координатах  = 2 cos , и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить её на чертеже:)

164. На линии, определённой уравнением  =

, найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а)

,б) —

, в) 0, г)

. Какая линия определена данным уравнением?

(Построить её на чертеже.)

165. На линии, определённой уравнением  =

, найти точки,полярные радиусы которых равны следующим числам: а) 1, б) 2,в)

. Какая линия определена данным уравнением? (Построить её на чертеже.)

166. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

1)  = 5; 2)  =

; 3)  =

; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  =

9) sin  =

167. Построить на чертеже следующие спирали Архимеда:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  =

; 4)р = -1.

168. Построить на чертеже следующие гиперболические спирали:

1)  =

; 2)  =

; 3)  =

; 4)  = —

.

169. Построить на чертеже следующие логарифмические спирали:

.

170. Определить длины отрезков, на которые рассекает спиральАрхимеда

луч, выходящий из полюса и наклонённый к полярной оси под углом

. Сделать чертёж.

171. На спирали Архимеда

взята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С, Сделать чертёж.

172. На гиперболической спирали

найти точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертёж.

173. На логарифмической спирали

найти точку Q, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертёж.

Учащимся

Учителям