§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 34. Двойное векторное произведение
Пусть вектор а умножается векторно на вектор b, после чего полученный вектор [ab] умножается снова векторно на вектор с. В результате получается так называемое двойное векторное произведение [[ab] с] (ясно, что [[ab] с] — вектор). Умножая вектор а векторно на [ab], получим двойное векторное произведение [a [[bс]].

Вообще говоря,
[[ab] с]  [a [bс]]

Докажем, что имеет место тождество

[[ab] с] = b(aс) — b(aс)

Доказательство. Введём (декартову прямоугольную) систему координат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси координат специальным образом, а именно: ось Ох направим по вектору а, ось Оу поместим в плоскости векторов а и b (считая, что векторы а, b приведены к общему началу). В таком случае будем иметь:

a = {X₁; 0; 0}, b = {X₂; Y₂; 0}, с = {X₃; Y₃; Z₃},

Теперь находим:

С другой стороны,

ас = Х₁Х₃; b(ас) = {Х₁Х₂Х,; Х₁X₂Х₃; 0},

bc = Х₂Х₃+ Y₂Y₃, a(bc) = {X₁X₂X₃ + X₁Y₂Y₃; 0; 0}.

Следовательно,

b (ас) — а (bс) = {— X₁X₂X₃; X₁Y₂Y₃; 0; }. (2)

Сравнивая правые части формул (1) и (2), получаем:

[[аb]с] = b(ас) — а(bс),

что и требовалось.

879. Доказать тождество

[a[bc]] = b(ac) — c(ab).

880. Решить задачу 864, используя тождества, данные в начале этого параграфа, и тождество задачи 879.

881. Даны вершины треугольника А(2; —1; —3), B(1; 2;—4) и С(3; —1; —2). Вычислить координаты вектора h, коллинеарного с его высотой, опущенной из вершины А на противоположную сторону, при условии, что вектор h образует с осью Оу тупой угол и что его модуль равен 2

.

882. Считая, что каждый из векторов а, b, с отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении справедливо равенство

[a[bc]] = [[ab]c],

883. Доказать тождества:

1) [a[bc]] + [b] [ca] + [c[ab] = 0;

2) [ab] [cd] = (ас) (bd) — (ad) (bc);

3) [ab] [cd] + [ас] [db]+[ad] [bc] = 0;

4) [[ab] [cd]] = c(abd) — d(abc);

5) [ab] [bc] [ca] = (abc)²;

6) [а [а [а [ab]]]] = a⁴b при условии, что векторы а и b взаимно перпенди-кулярны;

7) [а (b [cd]]] = [ас] (bd) — [ad] (bc);

8) [a[b[cd]]] = (acd)b — (ab)[cd];

9) [аb]² [ас]² — ([ab] [ас]) = а² (аbс)²;

10) [[ab] [bc]} [[bс] [са]] [[са] [ab]] = (abc)⁴;

11) (аb) [cd] + (ас) \db] + (ad) [bc] = a (bcd);

12)

884. Три некомпланарных вектора a, b и с приведены к общему началу. Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору

[аb] + [bс] + [са

Учащимся

Учителям